Cálculo del tiempo para calentar agua fría en un recipiente con agua caliente

No hay una respuesta simple a su pregunta.

Suponga que tiene una botella sólida en lugar de una que contiene agua líquida, entonces puede resolver la ecuación del calor para describir el cambio de temperatura con el tiempo. Probablemente necesite hacer esto numéricamente ya que solo casos especiales como esferas permitirían una solución analítica. Sin embargo, incluso entonces no puede responder a una pregunta como "¿cuánto tiempo se tarda en calentar a xx grados" porque el objeto no está a una temperatura uniforme. Habría un gradiente de temperatura desde la superficie hacia el centro.

Con una botella de agua, la vida es aún más complicada porque el agua dentro de la botella desarrollará corrientes de convección a medida que comience a calentarse y esto dificultará aún más su cálculo.

Sin embargo, probablemente puedas simplificar el problema si asumes que el agua de la botella se agita vigorosamente y el agua de afuera se agita vigorosamente para que toda el agua tenga la misma temperatura. En ese caso, el flujo de calor estará controlado simplemente por el grosor de las paredes de la botella y la conductividad térmica de las paredes de la botella.

Si simplificamos ligeramente el sistema y asumimos que el flujo de calor a través de la pared de la botella es unidimensional, entonces podemos usar la ley de Fourier para el flujo de calor:

$$\dot{q} = k \frac{T_w - T_b}{d}$$

dónde$T_w$es la temperatura del baño de agua,$T_b$es la temperatura del agua en la botella,$k$es la conductividad térmica de la pared de la botella y$d$es el espesor de la pared de la botella. Para solucionar esto tomamos la temperatura exterior$T_w$ser constante, y tenga en cuenta que el cambio en la temperatura de la botella$T_b$es igual al calor transferido dividido por el calor específico total del contenido de la botella. Sin pasar por todos los detalles, resolver esta ecuación da:

$$T_w - T_b = A \space e^{-Bt}$$

dónde$A$y$B$son constantes que contienen contribuciones de cosas como la conductividad térmica de la pared de la botella, el área de la pared, el espesor de la pared y la capacidad calorífica del fluido en la botella. He resumido todo en las dos constantes porque, para ser honesto, calcular desde los primeros principios es difícil y, por lo general, solo hacemos algunos experimentos para calibrar el sistema. Una vez que haya medido las constantes, puede usarlas para calcular el comportamiento del sistema para cualquier condición inicial.