Cálculo de la trayectoria de los fotones cerca de un agujero negro

Question

Cálculo de la trayectoria de los fotones cerca de un agujero negro

Hannesh

Para una simulación, quiero calcular el camino que sigue la luz cerca de un agujero negro.

De manera no relativista, una partícula puntual masiva en un campo gravitacional newtoniano central sigue una elipse, una parábola o una hipérbola. ¿Es lo mismo cierto relativistamente para la luz alrededor de un agujero negro? Un problema que veo con esto es que mientras las partículas ganan velocidad cuando se acercan a un agujero negro, un fotón gana energía en su lugar. Entonces, ¿los fotones se comportan de manera diferente?

Florín Andrei

Nada que añadir, quiero hacer lo mismo. Trazador de rayos relativista que calcula la distorsión del fondo estelar cuando se ve en las proximidades de un agujero negro. Podría ser un ejercicio divertido en GPU o programación de celdas. Pero calcular las trayectorias de los fotones me dejó perplejo.

Respuestas (2)

Cálculo de la trayectoria de los fotones cerca de un agujero negro

Nada que añadir, quiero hacer lo mismo. Trazador de rayos relativista que calcula la distorsión del fondo estelar cuando se ve en las proximidades de un agujero negro. Podría ser un ejercicio divertido en GPU o programación de celdas. Pero calcular las trayectorias de los fotones me dejó perplejo.

Juan Rennie · Answer 1

Sí, los fotones se comportan de manera diferente, ¡lo cual estoy seguro no es una sorpresa! Cualquier libro de posgrado sobre GR derivará las órbitas para una métrica de Schwarzchild. En mi copia de "Un primer curso de relatividad general" de Bernard F. Schutz, las órbitas se calculan en el capítulo 11. Partiendo de esto, para los fotones, la órbita es:

{(\frac{d r}{d λ})}^{2} = {mi}^{2} - (1 - \frac{2 METRO}{r}) \frac{L^{2}}{r^{2}}

$\left(\frac {dr}{d\lambda}\right)^2 = E^2 - \left(1 - \frac {2M}{r}\right) \frac {L^2}{r^2}$

por lo que obtienes un potencial central efectivo:

V^{2} (r) = (1 - \frac{2 METRO}{r}) \frac{L^{2}}{r^{2}}

$V^2(r) = \left(1 - \frac{2M}{r}\right) \frac {L^2}{r^2}$

$L$ es el $p_\phi$ componente de los cuatro momentos y es constante. Para las partículas, la primera ecuación te daría $dr/d\tau$ pero el tiempo adecuado siempre es cero para un fotón, de ahí el uso del parámetro afín $\lambda$ en cambio, donde $\lambda$ es definido por $p^r$ = $dr/d\lambda$ . El $r$ y $\phi$ son las coordenadas de Scharwzchild, es decir, como las ve un observador en el infinito.

He implementado esto en una simulación y las órbitas se ven bastante bien. Sin embargo, he notado que si configuro M en 0, obtengo un potencial central efectivo de $V(r) = \frac{|L|}{r}$ , aunque hubiera esperado el potencial centrífugo, $V(r) = \frac{L^2}{r^2}$ , de modo que la luz viaje en línea recta. ¿Me estoy perdiendo de algo?
Ignora ese último comentario, ahora estoy usando la fórmula para la órbita, que funciona muy bien

willie wong · Answer 2

Para partículas puntuales masivas, la trayectoria relativista general puede ser muy diferente de la clásica. La gravedad newtoniana clásica requiere que la trayectoria de la partícula esté dada por una sección cónica: en particular, para escapar de las órbitas (hipérbola o parábola), las trayectorias en el espacio no pueden intersecarse a sí mismas. Si modela un agujero negro (o una estrella realmente pesada) usando la métrica de Schwarzschild, la imagen relativista general permite que una partícula entre desde el infinito, haga cualquier cantidad de bucles alrededor del cuerpo masivo y luego escape. Las soluciones al movimiento geodésico/caída libre son mucho más complicadas que la imagen newtoniana. (Puedes ver algunas fotos en la página 215 de estas notas de clase. Otra imagen no permitida en la gravedad newtoniana es la de la órbita asintótica: una partícula puede acercarse desde el infinito y establecerse gradualmente en una órbita circular inestable alrededor del cuerpo gravitante. En la gravedad newtoniana, si la partícula viene de lejos, debe seguir una órbita hiperbólica o parabólica y volar.

Para los fotones, la situación también es diferente del caso de las partículas masivas (suponiendo un fondo como el de Schwarzschild). En el caso de las partículas masivas, existen órbitas circulares tanto estables como inestables alrededor del cuerpo gravitante. Para los fotones, la única órbita unida es una única órbita inestable en la llamada "fotonsfera". Aparte de esas órbitas circulares inestables, no hay otras trayectorias limitadas para los fotones. Sin embargo, todavía se pueden tener las trayectorias de "dispersión" en las que un fotón entra desde muy lejos, gira alrededor de la estrella arbitrariamente muchas veces y luego se aleja volando, así como las trayectorias asintóticas en las que los fotones llegan desde lejos y se acercan gradualmente. la órbita circular en la fotónsfera.

Cálculo de la trayectoria de los fotones cerca de un agujero negro

Hannesh

Florín Andrei

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Juan Rennie

Hannesh

Hannesh

willie wong

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