Cálculo de la función de transferencia de pulsos

Me han encargado demostrar que la función de transferencia de pulsos G(z) de la siguiente planta

GRAMO pag ( s ) = 12 ( s + 1 ) ( s + 4 )
siendo muestreado y retenido por una retención de orden cero con un período de muestreo T = 0.2s es igual a
GRAMO ( z ) = 0.1745 z − 1 + 0.1249 z − 2 1 − 1.268 z − 1 + 0.3678 z − 2

Empecé combinando la planta con la sujeción para obtener

12 ( 1 − mi − s T ) s ( s + 4 ) ( s + 1 )

Sé

( 1 − mi − s T )
es igual a

( z − 1 ) / z

y dividí la ecuación restante en fracciones parciales, encontré la transformada z de cada una y las recombiné para obtener,

0.173 z − 1 + 0.126 z − 2 1 − 2.27 z − 1 + 1.64 z − 2 − 0.368 z − 3
combinado con la transformada z de la bodega, esto es igual a

GRAMO ( z ) = 0.173 − 0.047 z − 1 − 0.126 z − 2 z − 2.27 + 1.64 z − 1 − 0.368 z − 2

Esto no es igual a la función de transferencia que se supone que debo obtener. ¿Alguien ve lo que estoy haciendo mal?

Respuestas (2)

Ha utilizado la expresión correcta para la retención de orden cero y, de hecho, la función de transferencia es:

H ( s ) = 12 ( 1 − mi − s T ) s ( s + 1 ) ( s + 4 )
Sin embargo, no está claro cómo procediste a partir de aquí. Parece que simplemente reemplazó s por z ( z es en realidad igual a e sT ) y luego dividió la función en fracciones parciales.

Alternativamente, primero puede encontrar h(t) y luego encontrar H(z) :

H ( s ) = 12 ( 1 − mi − s T ) s ( s + 1 ) ( s + 4 ) = ( 1 − mi − s T ) { 3 s − 4 s + 1 + 1 s + 4 }
Tomando la transformada inversa de Laplace:
h ( t ) = F ( t ) tu ( t ) − F ( t − T ) tu ( t − T )
dónde
F ( t ) = 3 − 4 mi − t + mi − 4 t
H(z) ahora se puede encontrar a partir de h(t) . Puede consultar este enlace para ver una tabla de fórmulas: http://lpsa.swarthmore.edu/LaplaceZTable/LaplaceZFuncTable.html

Después de dividir la función en fracciones parciales y obtener
H ( s ) =   ( 1 − mi − s T ) { 3 s − 4 s + 1 + 1 s + 4 }
, encontré la transformada z de cada parte de la ecuación usando una tabla de transformadas z, entonces
3 s = 3 1 − z − 1
4 s + 1 = 4 1 − mi − T z − 1
1 s + 4 = 1 1 − mi − 4 T z − 1
( 1 − mi − s T ) = z − 1 z
Luego los combiné para encontrar H(z)

Hay un factor común de ( z − 1 ) en el numerador y denominador de su expresión final. Cancele estos y se quedará con:

GRAMO ( z ) = 0.17 z ( z + 0.73 ) z 2 − 1.29 z + 0.38

compare con su expresión objetivo requerida:

GRAMO ( z ) = 0.1745 z − 1 + 0.1249 z − 2 1 − 1.268 z − 1 + 0.3678 z − 2 = 0.1745 z ( z + 0.7158 ) z 2 − 1.268 z + 0.3678

Nota: he trabajado con potencias positivas de z (¡más fácil de escribir en root solver!) y redondeé todos los cálculos a 2 dp

A d d mi norte d tu metro

Para ilustrar, considere el proceso simple TF: GRAMO pag ( s ) = 1 s + 1 , y muestrear/mantener: GRAMO H ( s ) = 1 − mi − s T s .

El TF combinado es:

GRAMO ( s ) = ( 1 − mi − s T ) s × 1 ( s + 1 ) = ( 1 − mi − s T ) 1 s ( s + 1 ) = ( 1 − mi − s T ) ( 1 s − 1 s + 1 )

Tomando transformadas z:

GRAMO ( z ) = z − 1 z ( z z − 1 − z z − a )
dónde a = mi − T

Si el paréntesis se evalúa primero, tenemos:

GRAMO ( z ) = ( z − 1 ) z × z ( 1 − a ) ( z 2 − ( 1 + a ) z + a ) = ( 1 − a ) ( z − 1 ) ( z 2 − ( 1 + a ) z + a )
...y el ( z − 1 ) factor en el denominador no es aparente.

Sin embargo, multiplicando por ( z − 1 ) z primero, da la forma simplificada:

GRAMO ( z ) = 1 − z − 1 z − a = 1 − a z − a

¿Tienes alguna idea de cómo llegó ahí el factor común de (z-1)? ¿Es solo un problema con mis matemáticas?
El ZOH z-TF es z − 1 z , y la transformada z de 1 s es z z − 1 , entonces la 's' en el denominador de Gp(s) pone un factor (z-1) en el denominador de G(z)
... Agregaré una nota a mi respuesta para ilustrar lo que está sucediendo.
Gracias por ilustrarlo, esto aclara las cosas.
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