Cálculo de la extensión de un bloque de masa que se tira

Un bloque de masa metro y longitud yo , mantenida sobre una superficie sin fricción, está siendo jalada hacia la derecha con fuerza constante F . ¿ Cómo podemos calcular la extensión total en bloque? Se da que el módulo de Young del material es Y .

Intenté dibujar diagramas de cuerpo libre pero con eso, ¡obtengo una extensión neta como cero !

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De acuerdo con mi método, tomamos el corte elemental dx y hacemos un diagrama de cuerpo libre. Equilibrando fuerzas, obtenemos

metro a yo ( yo − 2 X ) = F mi X t mi norte s i o norte

( Nota : Aquí a = F metro )

Ahora, dejemos que la extensión elemental sea d yo , Entonces:

d yo = F mi X t mi norte s i o norte A Y d X Δ yo = ∫ 0 yo metro a yo A Y ( yo − 2 X ) d X = 0

Esto parece bastante incorrecto. ¿Cuál es la forma correcta de entender y resolver este problema?

La respuesta dada fue Δ yo = F yo 2 A Y

Respuestas (1)

Tienes la idea correcta de pensar en rebanadas de espesor. d X . Recordemos qué sucede si el lado izquierdo está fijo. Entonces cada rebanada experimenta una fuerza F , y la rebanada de espesor d X obtiene una extensión de F A Y ∗ d X . Entonces la extensión total es la suma de las extensiones de cada rebanada: ∫ 0 yo F A Y ∗ d X = F yo A Y .

Ahora consideremos el caso en el que el lado izquierdo se puede mover libremente. Entonces, la fuerza en el corte más a la izquierda es en realidad cero y, en general, la fuerza en cualquier corte es proporcional a la masa a la izquierda (porque tiene que acelerar esa masa). Así que la fuerza en la rebanada en X es F ⋅ X yo . Por lo tanto, la extensión de esta rebanada es F A Y X yo ∗ d X , por lo que la extensión total es ∫ 0 yo F A Y X yo ∗ d X = F yo 2 A Y .

Entiendo tu punto, pero ¿cómo mostraremos esto en el diagrama de cuerpo libre? Supongamos que obtenemos la fuerza neta como dijiste, pero entonces, ¿cómo hacer un diagrama de cuerpo libre? Muchas gracias por el razonamiento.
Para el diagrama de cuerpo libre, dibujaría un diagrama como el que tienes, excepto que mostraría la fuerza en la pieza blanca a la izquierda de la pieza gris sombreada. la aceleración es F metro , por lo que la fuerza neta debe ser X yo F metro , y lo único que proporciona una fuerza es la pieza sombreada, por lo que te da la fuerza que estira la pieza sombreada.
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