Cálculo de la estructura de la banda electrónica mediante expansión de onda plana: ¿cuáles son los elementos de la matriz diagonal para un potencial de Coulomb?

Estoy tratando de hacer un cálculo de expansión de base de onda plana para la estructura de banda / funciones de onda de electrones en un sólido periódico, usando un potencial de culombio para los núcleos. Estoy trabajando desde Ashcroft y Mermin, principalmente. La ecuación 11.3 en la página 194 da el término de energía potencial:

tu k ≈ − ( 4 π Z a mi 2 k 2 ) 1 v

k (según tengo entendido) es la longitud de la diferencia entre 2 vectores de celosía recíprocos (NB, por supuesto, la diferencia entre 2 vectores de celosía recíprocos es en sí misma un vector de celosía recíproco)

v es el volumen de la celda unitaria

Z a es la carga en los núcleos

mi es la carga de un electron

Para elementos fuera de la diagonal k es distinto de cero, sin embargo, para la diagonal es 0 y por lo tanto lo anterior va a infinito negativo. ¿Cuál es el valor del potencial de los elementos diagonales?

Una idea que tuve fue integrar solo el potencial de Coulomb sobre la celda unitaria, pero eso parece contradecir la ecuación de Ashcroft & Mermin. 9.34, pág. 167, que indican es de donde sacan lo anterior, y que indica que la integral debe ser sobre todo el espacio:

ϕ ( k ) = ∫ a yo yo   s pag a C mi d r   mi − i k r ϕ ( r )

ϕ ( r ) es el potencial producido por un ion/núcleo individual en la red

Cualquier ayuda muy apreciada!

¿Alguien puede comentar para explicar el voto negativo?
No tengo a Ashcroft y Mermin a mano, así que ¿podría darnos algunos detalles sobre los símbolos? En tu k (tu primera ecuación) supongo que k es el impulso, pero ¿cuál es el v ?
Gracias por mirar, edité para agregar definiciones de las variables a mi mejor entendimiento

Respuestas (1)

No sé si puedo agregar mucho, pero puedo tratar de explicar cómo surgen estos elementos de la matriz. De hecho, la integral debería ser sobre todo el espacio, pero la estructura reticular se manifiesta en que el impulso k sólo toma valores discretos: los vectores reticulares recíprocos. Si realiza una transformada de Fourier del potencial de Coulomb, de hecho se encuentra con un problema de singularidad en r = 0 . Esto se puede solucionar modificando el potencial de Coulomb multiplicándolo por un factor mi − λ r , realizando la transformada de Fourier y luego dejando que el parámetro λ → 0 (también están disponibles otras formas de obtener el resultado).

El resultado que obtienes es el tu ( k ) (Eq. 113) que cita arriba, donde k es un vector reticular recíproco. Esto se comporta bien en todos los puntos excepto k = 0 . Puede configurar el tu ( k = 0 ) = 0 manualmente. Si esto parece bastante arbitrario, la k = 0 El valor está relacionado con la carga media de la celda unitaria, que de hecho es cero para los casos físicos (de lo contrario, la energía electrostática del cristal divergiría).

¡Gracias, has añadido una tonelada! Me gustaría probarlo y pensarlo un poco, luego votaré y aceptaré. Es otra forma de pensar en U (K = 0) = 0 que si estuviera haciendo un cálculo de campo autoconsistente y eligiera una distribución inicial arbitraria para los electrones, podría calcular una integral convergente / de buen comportamiento para K = 0?
El k = 0 divergencia se relaciona con el comportamiento a gran escala de la densidad (pequeño momento ↔ gran distancia y viceversa). Yo pensaría que cualquier distribución física debe tener una carga neta de cero, por lo que la divergencia no se manifestará y la integral se comportará bien.
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