He estado tratando de calcular el período entre la conjunción de todas las lunas que tiene mi planeta. Son cinco lunas menores con períodos orbitales que van desde 0,5 a 1,3 días terrestres, y una luna mayor con un período orbital de seis días.
Encontré esta ecuación ordenada, pero solo funciona para dos cuerpos, y no estoy seguro de si la estoy usando correctamente.
1/Psin = 1/P1 − 1/P2
Donde P1 < P2.
Una respuesta en esta pregunta mencionó que puede calcular el tiempo entre la conjunción de más de dos lunas calculándolo para dos lunas y luego sustituyéndolo como P1 o P2. Intenté todo lo que pude, pero tarde o temprano los resultados comenzarán a no tener sentido. Sospecho que se debe a los períodos orbitales relativamente cortos de las lunas, o porque podría estar malinterpretando la ecuación.
¿Hay una mejor manera de calcular el período entre las conjunciones de seis lunas diferentes cuando se ven desde el planeta que orbitan? ¿Me estoy perdiendo de algo? ¿Las lunas tienen que estar en algún tipo de resonancia para que funcione la ecuación?
(Advertencia: muchas aproximaciones no declaradas en la siguiente respuesta. Lo suficientemente bueno para el trabajo del gobierno, nada bueno para apuntar un telescopio).
No existe una fórmula simple para tres o más cuerpos celestes; de hecho, mientras que dos cuerpos celestes (casi, salvo situaciones no naturales) están garantizados para alinearse perfectamente de vez en cuando, tres o más no están garantizados para alinearse perfectamente, nunca; y por lo general no lo hacen, por lo que debe decidir cuán estrechamente alineados deben estar para que considere su posición como una conjunción lo suficientemente buena.
Por ejemplo, considere a Io, Europa y Ganímedes, tres de las lunas galileanas de Júpiter: sus órbitas están en una resonancia 4:2:1 y nunca se alinean perfectamente.
Así que al final, todo depende de:
Primero, establezcamos un poco de terminología.
El "período orbital" de un satélite se puede considerar desde dos puntos de vista diferentes:
Si se considera el período orbital desde el punto de vista de las estrellas fijas, se denomina "período sideral".
Si el período orbital se considera desde el punto de vista de un observador en la superficie del planeta, entonces se llama "período sinódico".
Son diferentes, porque durante el tiempo que el satélite completa una órbita sideral, el planeta debajo de él ha girado un poco, por lo que no aparecerá en la misma posición en el cielo para el observador en la superficie. Como ejemplo extremo, considere un satélite geoestacionario utilizado para telecomunicaciones: su período sideral es de 24 horas, mientras que su período sinódico es infinitamente largo.
Entonces, lo primero que debe hacer es determinar los períodos sinódicos de las cinco lunas. Si conoce los períodos siderales, sume o reste la fracción de rotación planetaria completada en un período sideral, dependiendo de si el satélite orbita el planeta en dirección prograda o retrógrada.
En este punto tienes:
Ahora solo es cuestión de rastrear sus posiciones en el cielo y detenerse cuando los encuentre cubriendo un ángulo lo suficientemente pequeño como para considerarlos en conjunción. Puedes hacerlo en un programa simple, o en una hoja de cálculo.
Por ejemplo, asignando los siguientes períodos orbitales sinódicos a los satélites: 0,5, 0,7, 0,9, 1,1, 1,3 y 6 días; y asignando las siguientes posiciones iniciales (grados en sentido antihorario con Norte = 0): 0, 60, 120, 180, 300: entrarán dentro de un sector de 36,3 grados después de 901,58 días, y volverán a estar dentro de 35,3 grados 901,04 días después; la próxima alineación tan cercana será 1638 días después, cuando llegarán dentro de los 35,3 grados. Esas pueden ser o no conjunciones lo suficientemente buenas, esa es su elección.
Si conoce los períodos orbitales sinódicos de los satélites, puede calcular su mínimo común múltiplo con la precisión deseada.
Por ejemplo, siguiendo con el ejemplo de los seis satélites con periodos sinodales de 0,5, 0,7, 0,9, 1,1, 1,3 y 6 días: es evidente que su posición en el cielo se repetirá cada 18.018 días; de modo que si ahora mismo están en una conjunción suficientemente buena, también estarán en una conjunción suficientemente buena 18.018 días después. (Esto no significa que no habrá otras conjunciones suficientemente buenas durante esos 18.018 días).
PC Man