¿Caída de la densidad numérica nnn con el factor de escala a(t)a(t)a(t) para una especie de partículas relativistas en equilibrio?

El principio básico que es útil para abordar el problema del que está hablando es la conservación de la entropía. En el equilibrio térmico, la entropía de comovimiento se conserva, y esto se puede usar para averiguar cómo cambia la temperatura con la expansión del universo.

Dado que la densidad de entropía de las especies relativistas generalmente domina la entropía total, es útil definir la entropía total en términos de un número efectivo de grados de libertad relativistas (para la entropía),$g_{*\text{S}}$

$$\begin{equation} s_\text{tot} = g_{*\text{S}} \frac{2 \pi^2}{45}T^3, \end{equation}$$ dónde $$\begin{equation} g_{*\text{S}} = \sum_{\text{bosons}} g_i \left(\frac{T_i}{T}\right)^3 + \frac{7}{8} \sum_{\text{fermions}} g_i \left(\frac{T_i}{T}\right)^3, \end{equation}$$ dónde $T$es la temperatura del baño de calor, y hemos permitido la posibilidad de que algunas especies relativistas se hayan desacoplado del baño de calor y tengan una temperatura diferente, $T_i$. Tenga en cuenta que también hemos supuesto aquí que los potenciales químicos son despreciables.

Suponiendo que la densidad de entropía comomóvil es constante en el tiempo, obtenemos

$$\begin{equation} \frac{d }{d t} \left(s a^3\right) = 0.\tag{1} \end{equation}$$ Esto significa que podemos relacionar directamente la temperatura, $T$, y el factor de escala, $a$ $$\begin{equation} T \propto \frac{g_{*\text{S}}^{-1/3}(T)}{a}.\tag{2} \end{equation}$$

Entonces vemos que mientras el número de grados de libertad relativistas,$g_{*\text{S}}$, no cambia entonces tenemos$T \sim 1/a$, y su (1) y (2) son compatibles.

Si el número de grados de libertad relativistas cambia, entonces su ecuación (2) ya no es válida. Esto se debe a que el calor se agrega o se resta del baño de calor, aumentando o disminuyendo el número de partículas en movimiento de cualquier especie dada.

(1) siempre será válido, sin embargo, mientras una especie esté en equilibrio termodinámico (sin potencial químico).