Ayúdame a resolver un problema de transferencia de emisión/conducción de calor. Mathematica me ha fallado

Mi problema: un tubo de pared delgada (longitud$L$, diámetro$D$y espesor de pared$t \ll D$) está en el vacío. Se sujeta por un extremo (en$x=0$) por una fuente de calor a temperatura constante$T(0)=T_0$. La única forma en que puede disipar el calor es por radiación. Supongo que la emisión solo ocurre desde la superficie exterior del tubo. La conductividad del tubo es$k$en$[W/mK]$y la emisividad$\epsilon$. ¿Cuál es el perfil de temperatura de equilibrio?$T(x)$en el tubo? (una aproximación numérica servirá).

Mi intento:

En un estado estable,

$$\begin{equation} Q_{in} = Q_{out} \end{equation}$$

A partir de la ley de conducción térmica de Fourier, el calor que entra por la sección final es

$$\begin{equation} Q_{in} = -k \frac{dT}{dx}\Big|_{x=0} \times \pi Dt \end{equation}$$

A partir de la ley de Stefan-Boltzmann de radiación de cuerpo negro, el calor disipado a través de la superficie exterior del tubo viene dado por

$$\begin{equation} Q_{out} = \int_0^L \epsilon \sigma T^4 \mathrm{d}x \times \pi D \end{equation}$$

Igualando los dos, el problema se convierte en

$$\begin{equation} -\frac{kt}{\epsilon \sigma} \frac{dT}{dx}\Big|_{x=0} = \int_0^L T^4 \mathrm{d}x,\ \ \ T(0) = T_0 \end{equation}$$

Tratar de resolver esto en Mathematica es inútil. ¿Estoy haciendo algo mal? ¿Cómo puedo encontrar una forma diferencial local de la ecuación? ¿Puedo simplificarlo más?

Gracias por tu ayuda.