Ayuda con los vectores de estado cartesiano → Elementos de la órbita kepleriana C#

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Actualmente estoy intentando probar la conversión de vectores de estado cartesiano estándar a elementos de órbita kepleriana, pero tengo problemas para comprender las fórmulas y el uso de vectores. Mi premisa para hacer esto es superar los cálculos simples como la velocidad, período que puedo hacer con bastante facilidad. Los recursos que he estado usando son This , This , This y finalmente el libro de texto " Fundamentos de astrodinámica " por Bate, Mueller, White

He calculado a mano y luego replicado en C# como se muestra a continuación. Con algunos valores iniciales aproximados:

$$\mathbf{v} = 7770 \ \hat{\mathbf{y}} \ \text{(m/s)}$$

$$\mathbf{r} = 6771000 \ \hat{\mathbf{x}} \ \text{(m)}$$

$$\mu = 4.0\text{E+}14 \ \text{(m³/s²)}$$

Hasta ahora he logrado usar con éxito las siguientes fórmulas:

$$\mathbf{H} = \mathbf{r} \times \mathbf{v}$$

$$M = \frac{1}{2} v^2 - \frac{\mu}{r}$$

$$p = \frac{H^2}{\mu}$$

$$a = \frac{-\mu}{2M}$$

$$e = \sqrt{1 - \frac{p}{a}},$$

dónde$\mathbf{H}$es el vector de momento angular,$M$es la energía total (marco inercial), p es el semi-latus rectum, e es la excentricidad y$\mathbf{r}$y$\mathbf{v}$(y$r$y$v$) son los vectores (y magnitudes) de posición y velocidad.

Sin embargo, tengo problemas para tratar de hacer un seguimiento con:

$$\hat n = \hat K \times \mathbf{h}$$ (como se ve en PG61 del Libro mencionado anteriormente)

Y usando correctamente:

$$\vec e = \frac{\vec v \times \vec h}{\mu} \ - \frac{\vec r}{||r||}$$

EN el PDF se muestra como:

$$\hat n = \mathbf{(0,0,1)^T} \times \mathbf{h} = (-hy,hx,0)^T$$

No estoy seguro de qué conectar o cómo usar este tipo de fórmulas (o incluso tengo la información)

He incluido parte de mi código C# para que pueda ver mi línea de pensamiento. Progreso.

double V = 7770;
double R = 6771000;
double Mu = 4e+14;

Vector velocity = new Vector(0, V);
Vector Radius = new Vector(R, 0);      

double H = Vector.CrossProduct(Radius, velocity);// Angular Momentum
double M = (Math.Pow(V, 2) / 2) - (Mu / R);//Mechanical Energy
double p = Math.Pow(H, 2) / Mu;// Semi-Latus Recum 

double a = -Mu / (2 * M);//Semi-Major Axis? Comes out only 40km less than 
SLR and no where near the correct SMA.
double test = Vector.Multiply(Radius, velocity);//test dot product.

//double e = Math.Sqrt(1 - p / a);//Eccentricty ? No where near correct 
vaule.
//double e2 = (Math.Pow(V, 2) - Mu / R) * Radius - test * velocity / 
Mu);//Eccentricty ?

He estado jugueteando con el código y el material de lectura durante aproximadamente dos meses y he logrado algunos avances, pero mi falta de experiencia con el cálculo de vectores me está defraudando. Ayuda con ejemplos que puedo aplicar ingeniería inversa u obtener una mejor comprensión de lo que debo hacer para ponerme en marcha.