Arrastre angular en el cuerpo

La respuesta resultó ser mucho más compleja de lo que pensaba. Aquí está el vertedero de mi día de investigación sobre este tema. A continuación se muestra, por supuesto, una vista simplificada y no considera muchos otros efectos en la dinámica de fluidos, como flujos turbulentos, fluidos no newtonianos, etc.

Dos tipos de arrastre angular

La amortiguación del movimiento angular en un fluido ocurre debido a dos tipos principales de efectos de arrastre: (1) velocidad tangencial y (2) velocidad normal a la superficie. El primero se conoce como esfuerzo cortante , sin embargo, no parece haber un nombre acordado para el segundo. Para mantenernos en línea con el libro de texto estándar "Introducción a la mecánica de fluidos" p.160, sección 9.3.5 , nos referiremos a él como par de fricción .

Para tener una idea intuitiva, imagina un cilindro colocado en el origen con su altura alineada con el eje z y la cara circular en el plano xy. Si gira este cilindro alrededor del eje x o y con velocidad angular$\omega$entonces el fluido que golpea el eje sería normal a su superficie. Si tuviera que rotar este cilindro alrededor del eje z con velocidad angular w, entonces la superficie del eje experimentaría solo velocidad tangencial.

Arrastre lineal

Primero, revisemos el arrastre lineal porque lo usaremos para calcular el arrastre por fricción angular más adelante. La fuerza de arrastre lineal viene dada por ,

$F_{lin} = \frac{1}{2} \rho v^2 . C_lin . A$

Un hecho divertido es que la mayoría de los libros de texto simplemente declaran esta ecuación como un "hecho" sin molestarse en examinarla de cerca. Quería entender cómo llegó a existir esta ecuación y hasta ahora la explicación intuitiva es que la fuerza ejercida sobre el cuerpo se mueve con velocidad relativa$v$se puede dar en términos de presión sobre su área expuesta:

$F_{lin} \propto P A$

Ahora la presión ejercida se puede dar como energía cinética del fluido,

$P = \frac{1}{2} \rho v^2$

Lo anterior se conoce como presión dinámica . Entonces, si te preguntabas cómo fue que$\frac{1}{2}$deslizado en la ecuación, se remonta a la definición de energía cinética. También puede encontrar una introducción entretenida a esta ecuación en el ensayo "La dependencia de la velocidad de la resistencia aerodinámica" de Long y Weiss.

Par de fricción

Es bastante fácil calcular el par de fricción. Cada diminuta superficie$ds$del cuerpo ubicado en el vector$r$experimenta la velocidad lineal$v = r \times \omega$dónde$w$es la velocidad angular. Así que solo toma esa velocidad lineal, conéctela a la ecuación de arrastre lineal para obtener la fuerza$dF$ejercido en esa pequeña área$ds$. Entonces obtienes par$dT = dF \times r$. Finalmente integre sobre toda la superficie expuesta y obtendrá un par de fricción total.

Aquí está el ejemplo resuelto para el cilindro (ver también: Introducción a la mecánica de fluidos, sección 9.3.5, p. 160 )

Primero calcule el par de fricción para los discos circulares superior e inferior con radio$r$. Tenga en cuenta que$r \times \omega$es simple$rw$porque el fluido golpea justo en la superficie normal.

$dF_{disc} = dP_{disc} . C_{lin} . dA_{disc} dr$

$dF_{disc} = \frac{1}{2} \rho (rw)^2 . C_{lin} . 2\pi r . dr$

$T_{disc} = \int_{r=0}^{r=r_0} r . dF_{disc} = \frac{1}{5} \pi C_{lin} \rho \omega^2 r_0^5$

Ahora encontremos el par de fricción experimentado por la parte del eje del cilindro con altura$h$. Esta vez no hay necesidad de hacer integración porque$r$se fija sobre la superficie del eje.

$F_{shaft} = P . A . C_{lin}$

$F_{shaft} = \frac{1}{2} \rho (r_0 \omega)^2 . 2\pi r_0 h . C_{lin}$

$T_{shaft} = \pi .\omega^2 r_0^4 h \rho C_{lin}$

Dependiendo del eje de la velocidad angular, es posible que necesite usar pares de eje y/o disco y sumarlos para obtener el par de fricción total. También tenga en cuenta que$F_{shaft}$podría ser solo la mitad porque solo la mitad del área de la superficie está experimentando fluido en la superficie normal.

Esfuerzo cortante

Ahora pasemos a esta otra variedad. Este es particularmente difícil de calcular porque la velocidad del cuerpo se transfiere al fluido circundante a través de una componente tangencial en un punto del cuerpo. Entonces, existe esta "capa límite" formada por el cuerpo circundante que gira a la misma velocidad que el cuerpo en el punto de contacto, pero luego su velocidad se reduce linealmente a medida que se aleja del cuerpo. El gran problema es que las ecuaciones asumen un ancho limitado de la capa límite y ese ancho aparece en el denominador de la fuerza. Eso significa que si no obtiene el ancho correcto, el valor de fuerza técnicamente puede volverse muy propenso a errores e incluso arbitrario. Sugeriría consultar Wikipedia o aquí para ver las ecuaciones relacionadas. En el libro "Flujo de fluido viscoso", 2ª ed., de White, p112 hay un caso para el cilindro que tiene un ancho límite de tamaño infinito (que también requiere que el cilindro tenga una altura infinita) que produciría la fuerza de arrastre como,

$F_{shear} = 2 \pi \mu \omega r h$

dónde$\mu$es el coeficiente de viscosidad dinámica que para el aire a temperatura ambiente es$1.8 \times 10^{-5}$.

( ver derivación aquí )

Notas finales

Estoy buscando usar todo esto en la práctica, pero los cálculos para formas arbitrarias del mundo real ciertamente podrían volverse difíciles. También tenga en cuenta que no tenemos en cuenta todos los efectos que pueden producir diferentes formas como cóncavo o alas, etc. Desde un punto de vista puramente aplicado, parece que el arrastre debido al corte sería muy pequeño debido no solo a una constante muy pequeña$\mu$para el aire, sino también el hecho de que depende solo de la primera potencia de$\omega$y segunda potencia de$r$. Por lo tanto, podría ignorarlo todo junto con fines prácticos, ya que no tengo ninguna forma que amplifique su efecto. Para el arrastre por fricción, una aproximación podría ser calcular el "componente" del área en cada eje para formar un "vector de área" y luego multiplicar el coeficiente con el vector de velocidad (en el marco del cuerpo) dos veces. Aquí, el vector de velocidad puede aproximarse simplemente multiplicando la velocidad angular por el radio promedio que abarca el cuerpo en la dirección del eje.

Otra nota rápida: Entonces, ¿cómo manejan los motores de simulación de física el cálculo del arrastre angular? Hasta ahora he visto que toman una salida fácil: simplemente defina alguna constante como 0.01 y reduzca la velocidad angular en esa cantidad en cada paso de tiempo. Esto elimina sorpresas como el cuerpo giratorio para siempre, pero esto simplemente no está bien, obviamente.

Una palabra de advertencia : no soy un experto en dinámica de fluidos, así que no vea lo anterior como una declaración oficial de un experto y no dude en comentar si ve algún error. ¡Sería genial si algún experto en el campo pudiera validar esta respuesta, por supuesto!

Si está buscando una relación como esta, comience con un análisis dimensional. por ejemplo, en

$$|F_d| = \frac12 C_\text{lin} v^2 \rho A$$ tenemos en el lado derecho unidades $[v^2] = \rm m^2\, s^{-2}$, $[\rho]=\rm kg\,m^{-3}$, $[A] =\rm m^2$. Para multiplicar estos para hacer una fuerza, con unidades $[F]=\rm kg\, m\,s^{-2}$, no necesitas... nada. Entonces $C_\text{lin}$es adimensional. (La mitad es útil como constante de integración por razones que no puedo recordar en este momento).

Tenga en cuenta que mi fórmula de arrastre lineal es diferente de la de su pregunta (v1), por una potencia del área --- un error de su parte, que noté porque estaba haciendo un análisis dimensional.

La razón por la que se usa este tipo de análisis dimensional es porque se puede usar de inmediato, sin conocer los detalles del sistema. Más tarde, puede construir un modelo mejor y tal vez llegar a una constante adimensional realista.$C$para algunos casos especiales, pero ese tipo de álgebra normalmente te da factores como "dos" o "un medio", así que adivinar$C\approx 1$no suele ser un mal lugar para empezar.

tu sustitución$v\to\omega$encontrar una relación para el momento de torsión le da las unidades incorrectas: el momento de torsión tiene la misma dimensión que la fuerza por la distancia. esperaría algo como

$$|\tau|\propto R v^2 \rho A = R^3\omega^2 \rho A$$ dónde $R$es el "radio efectivo" de la parte de arrastre de su rotor que le da la velocidad correcta. Si todo el arrastre es causado por alguna paleta que está muy alejada del eje de rotación, esta expresión simplemente convierte la fuerza de arrastre ordinaria en un par. Sin embargo, si su fuerza de arrastre es causada por un "brazo" con una gran extensión radial, como el aspa de un ventilador, terminará haciendo el mismo tipo de integral sobre el radio que una persona que está calculando momentos de inercia. Terminará con una constante de orden uno que relacione el "radio efectivo" de la hoja del ventilador con el radio real, y alguna otra constante adimensional $C\sim1$relacionado con el flujo de aire, como en el caso de arrastre lineal.

Si su forma giratoria no tiene paletas o protuberancias --- una bola giratoria, digamos --- entonces$C_\text{rot}\ll1$tiene sentido: la resistencia se debe a la cizalladura del aire cerca de la superficie, en lugar de empujar el aire a un lado como lo hace un paracaídas, y el aire no tiene ninguna fuerza de cizallamiento.