Arrastre - Análisis dimensional / Buckingham ππ\pi

Estoy trabajando en el análisis dimensional y tengo problemas. Aquí hay un problema de mi libro en el que estoy trabajando. Se supone que debo considerar una pequeña esfera que experimenta aceleración debido a la gravedad gramo . la esfera es de radio R y densidad ρ y rodeado por un fluido de densidad ρ F y viscosidad η .

Se supone que debo determinar la fuerza de arrastre sobre la esfera mediante análisis dimensional. Pero realmente no entiendo. Agradecería que alguien me guiara a través de esto.

Parámetros:

  • Fuerza de arrastre (F) - METRO L / T 2
  • Velocidad (V) - L / T
  • Radio de Esfera (R) - L
  • Densidad de esfera ( ρ ) - METRO / L 3
  • Densidad del líquido ( ρ F ) - METRO / L 3
  • Visocidad ( η ) - METRO / L T
  • Efecto de la gravedad ( gramo ) - L / T 2

Primero, ¿son estos los parámetros correctos?

Ahora tengo 7 − 3 = 4 π grupos Puedo descifrar los exponentes y lo que no, pero estoy confundido sobre cómo trato con múltiples π grupos una vez que configuro el análisis dimensional y obtengo los exponentes. Tenga en cuenta que el objetivo final es resolver una velocidad terminal, por lo que necesito una ecuación: configurar el π grupos no es suficiente.

El problema también me sugiere pensar en la esfera como un núcleo dentro de una célula y luego determinar en qué escala de longitud esas fuerzas térmicas, dadas por k T (la constante de Boltzmann multiplicada por la temperatura), son comparables a la gravedad y las fuerzas de flotación. ¿Qué se entiende por escala de longitud y cómo aplico el análisis dimensional para obtener estas cantidades?

Tal vez una buena forma de empezar sea pensar en las cosas intuitivamente. Haga algunos experimentos mentales en los que solo varíe uno de los parámetros: ¿Debería cambiar la fuerza? Si es así, ¿cómo?
Las dos densidades están en el mismo parámetro, ya que el análisis no puede distinguir entre cantidades de dimensiones idénticas.

Respuestas (3)

En respuesta a las preguntas concretas que planteas:

  1. Su objetivo es determinar la fuerza de arrastre sobre la esfera (a través del análisis dimensional). ¿Ha establecido un diagrama de cuerpo libre del problema? Esto podría ayudarlo a pensar qué parámetros son realmente importantes para el problema. Sugerencia: la lista de parámetros que proporciona son suficientes para una descripción completa de la sedimentación de una partícula bajo la gravedad, pero son suficientes para determinar solo la fuerza de arrastre. Puede eliminar inmediatamente dos de estos parámetros para obtener solo 2 grupos adimensionales (Pi).

  2. ¿Qué es una escala de longitud ? En resumen, es una distancia característica sobre la cual actúan las fuerzas, por ejemplo, la escala de longitud para las fuerzas viscosas que actúan sobre una esfera que cae a través de un fluido es el tamaño (radio o diámetro) de la esfera. Al decir que dos fuerzas son comparables, podemos (más o menos) igualarlas. En su ejemplo, lo que se pregunta esencialmente es "¿qué tan pequeño debe ser el núcleo para que las fuerzas térmicas sean tan grandes como las fuerzas de gravedad/flotabilidad?".

Está tomando la viscosidad dinámica como una variable, dimensiones [ METRO L – 1 T – 1 ]. Debería intentar usar la viscosidad cinemática, que tiene dimensiones, [ L 2 T – 1 ] .

Hay dos densidades presentes, una que aparece en la energía cinética del cuerpo y la otra que afecta intuitivamente cómo el fluido resiste su movimiento. Entonces deberíamos esperar ρ F , η esperar en una esquina, mientras que otras variables adquieren las dimensiones de fuerza.

Desde ρ R 3 tiene las unidades de masa, ρ R 3 V 2 tiene las unidades de energía y ρ R 2 V 2 tiene las unidades de fuerza.

La dependencia de ρ F , η queda por ver: se absorben en un coeficiente adimensional que depende del número de Reynolds también adimensional ∝ ρ F R V / η . Por supuesto, este parámetro se puede envolver en una función arbitraria, por lo que la forma precisa de la fuerza de arrastre es un poco más vaga que en la mayoría de los problemas de análisis dimensional de los libros de texto.

No hay gramo -dependencia en absoluto. Tampoco debería haberla: esperamos una fuerza de arrastre finita pero distinta de cero en gravedad cero.

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