actualmente estoy trabajando en la visualización de sistemas de coordenadas en el espacio para comprender mejor las matrices de rotación. Hasta ahora pensé que todo estaría bien, pero hay una cosa que no me entra en la cabeza, tal vez puedas ayudarme. Seré tan preciso como pueda.

Convenciones

1. Utilizo las matrices de rotación de base de, por ejemplo, http://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_matrix#Basic_rotations . Dejar$p_i \in \mathbb{R}^{3\times 1}$ser un vector expresado en el sistema de coordenadas$\text{cs}_i:(O_i,\mathrm{i}_i,\mathrm{j}_i,\mathrm{k}_i)$y$R \in \mathbb{R}^{3\times3}$la matriz de rotación antes mencionada. Dejar$p \in \mathbb{R}^{3\times 1}$ser otro vector arbitrario cuyo significado puede cambiar.$p_0=R \, p$puede interpretarse de varias maneras:
   • una rotación de un vector$p$a la versión girada$p_0$en el mismo sistema de coordenadas.
   • dejar$p=p_1$ser las coordenadas de un punto en otro sistema de coordenadas$\text{cs}_1$, entonces$p_0=R_0^1 \, p_1$con$R_0^1=R$es el mismo punto expresado en$\text{cs}_0$. Esto puede ser visto como un cuerpo ($\text{cs}_1$) y un mundo ($\text{cs}_0$) sistema coordinado.
   • la matriz de rotación$R_0^1$nos da la orientación de$\text{cs}_1$relativo a$\text{cs}_0$. las columnas en$R_0^1$son los vectores directores del sistema$\text{cs}_1$.
2. Estas rotaciones se denominan transformación activa o coartada, consulte http://en.wikipedia.org/wiki/Active_and_passive_transformation

3. La rotación sucesiva puede ser alrededor del sistema de coordenadas global$\text{cs}_0$o alrededor de uno local. Esto depende del orden de la multiplicación. Por ejemplo:$p_0=R_0^1R_1^2p_2=R_0^2p_2$es un vector que gira dos veces. La rotación tiene lugar alrededor del eje local o rotado, esto se llama rotación intrínseca. Para la rotación extrínseca alrededor del eje global de$\text{cs}_0$se sostiene lo siguiente:$p_0=R_1^2R_0^1p_2$, por lo que las matrices se intercambian. esto es cierto para$n$secuencias de rotación alrededor de diferentes ejes y ángulos.

4. La orientación está descrita por$R$. Pero hay 9 parámetros para almacenar y sin una gráfica de los vectores unitarios es difícil imaginar la orientación. Entonces, otro método para calcular la orientación son los ángulos de euler o tait-bryan, vea Euler_angles en Wikipedia, no puedo publicar más de 2 enlaces, lo siento. Hay muchas definiciones, traté de usar solo dos:

   • zy'-x'' (intrínseco) lo que significa: Primero girar alrededor del eje z con un ángulo$\Psi$, luego alrededor del nuevo eje y con$\Theta$y luego alrededor del nuevo eje x con$\Phi$. Los ángulos se denominan comúnmente balanceo de cabeceo de guiñada o rumbo, elevación y alabeo.$R_\text{zy'x''}=R_z(\Psi)R_y(\Theta)R_x(\Phi)$
   • zyx (extrínseco) Lo mismo que arriba, pero siempre gira alrededor del eje global.$R_\text{zyx}=R_x(\Phi)R_y(\Theta)R_z(\Psi)$. Las matrices completas se dan en el apéndice.

Sería increíble, si ustedes pueden confirmar lo dicho anteriormente, o decirme si hay algún error.

Problema

Ahora viene lo difícil (para mí). Suponga que desea obtener los ángulos de Euler de las matrices de rotación. En las matrices de rotación se puede ver para la rotación intrínseca$R_\text{zx'y''}$, el$r(i,j)$son los elementos de Matrix.

$$\begin{align} \Phi &= \operatorname{atan2}(r(3,2),r(3,3)) \\ \Theta&=\operatorname{asin}(-r(3,1))\\ \Psi&=\operatorname{atan2}(r(2,1),r(1,1)) \end{align}$$

y para la rotación extrínseca$R_\text{zxy}$

$$\begin{align} \Phi &= \operatorname{atan2}(-r(2,3),r(3,3)) \\ \Theta&=\operatorname{asin}(r(1,3))\\ \Psi&=\operatorname{atan2}(-r(1,2),r(1,1)) \end{align}$$

El problema: no puedo interpretar los ángulos correctamente. Sigamos con la primera secuencia de rotación y giremos un sistema de coordenadas a una orientación inicial. Por ejemplo rotar$\pi/8=22.5°$alrededor del eje x, de modo que los ángulos de Euler son$[\Phi,\Theta,\Psi]=[22.5\:0 \:0].$Ahora gire alrededor del nuevo eje y (verde) en pasos de 10 grados varias veces. Vea la imagen, el sistema de coordenadas en negrita es la orientación inicial, el punteado es el sistema mundial. Como ayuda, también dibujé el plano xz. Al calcular los ángulos de Euler intrínsecos de la matriz de rotación con los formularios mencionados anteriormente, obtengo los siguientes ángulos para las 6 posiciones

  Phi         Theta       Psi
  22.5        0           0
  22.812      9.2319      3.8603
  23.788       18.42      7.9294
  25.561      27.512      12.459
  28.401      36.431      17.802
  32.798      45.051      24.516

Entonces, lo que realmente esperaba era que Phi y Psi permanecieran constantes y solo Thetachanges. Desafortunadamente, este es el caso, cuando calculo los ángulos EXTRÍNSECOS a partir de la segunda definición:

22.5          10          -0
22.5          20          -0
22.5          30          -0
22.5          40          -0
22.5          50          -0

¿Se puede explicar esto fácilmente? Pensé que los ángulos de guiñada, cabeceo y balanceo (intrínsecos) describen la rotación alrededor de estos ejes, por ejemplo, de un avión. ¿Mezclé algo en mis cálculos (sin embargo, lo verifiqué y parece ser consistente) o hay una explicación fácil?

Solo para completar, aquí hay una imagen de una rotación alrededor del eje y GLOBAL: Los ángulos se comportan de manera similar (por supuesto, los valores son diferentes y ya no se encuentran en el plano xz)

intrinsic
Phi             Theta        Psi
  22.5          10           0
    22.5          20           0
    22.5          30           0
    22.5          40           0
    22.5          50           0


extrinsic
Phi             Theta        Psi
  22.812      9.2319     -3.8603
  23.788       18.42     -7.9294
  25.561      27.512     -12.459
  28.401      36.431     -17.802
  32.798      45.051     -24.516

Escribí todo el texto anterior para estar realmente seguro de que estamos hablando del mismo orden de rotación y convención, ya que esta es la fuente de la mayoría de los errores.

¡Muchas gracias!

Apéndice

$$\begin{alignat}{1} R_x(\theta) &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & -\sin \theta \\[3pt] 0 & \sin \theta & \cos \theta \\[3pt] \end{bmatrix} \\[6pt] R_y(\theta) &= \begin{bmatrix} \cos \theta & 0 & \sin \theta \\[3pt] 0 & 1 & 0 \\[3pt] -\sin \theta & 0 & \cos \theta \\ \end{bmatrix} \\[6pt] R_z(\theta) &= \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\[3pt] \sin \theta & \cos \theta & 0\\[3pt] 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix} \end{alignat}$$

$$R_\text{zy'z''} = \begin{bmatrix} c_\Psi c_\Theta & c_\Psi s_\Theta s_\Phi - c_\Phi s_\Psi & s_\Psi s_\Phi + c_\Psi c_\Phi s_\Theta \\ c_\Theta s_\Psi & c_\Psi c_\Phi + s_\Psi s_\Theta s_\Phi & c_\Phi s_\Psi s_\Theta - c_\Psi s_\Phi \\ - s_\Theta & c_\Theta s_\Phi & c_\Theta c_\Phi \end{bmatrix}$$

$$R_\text{zyx} = \begin{bmatrix} c_\Psi c_\Theta & -s_\Phi c_\Theta & s_\Theta \\ s_\Phi c_\Psi s_\Theta + c_\Phi s_\Psi & c_\Phi c_\Psi -s_\Phi s_\Psi s_\Theta & -s_\Phi c_\Theta \\ s_\Phi s_\Psi -c_\Theta c_\Psi s_\Theta & c_\Phi s_\Psi s_\Theta +s_\Phi c_\Psi & c_\Theta c_\Phi \end{bmatrix}$$