Análisis nodal La dirección actual importa

¿Podría explicarme dónde no fui consistente?

Vuelva a dibujar sus esquemas

En primer lugar, vuelva a dibujar el esquema usando las reglas que agregaré como un apéndice a continuación:

^{simular este circuito : esquema creado con CircuitLab}

Tenga en cuenta que puede elegir hacer cualquier nodo que desee, tierra . Aquí, mirando su esquema, todo lo que hice fue intercambiar las posiciones de la serie de su$3\:\text{V}$fuente y$R_2$, antes de tomar una decisión sobre mi elección de terreno . El resto, arriba, simplemente fluyó de esa decisión.

Tenga en cuenta también que la fuente de voltaje dependiente del voltaje ahora también se comprende más fácilmente en términos de cómo funciona. Y entonces fue más fácil deshacerse de él y reemplazar los nodos, como se muestra a la derecha.

Realmente ayuda a simplificar el punto de vista si se toma un momento y aprende a redibujar esquemas para mayor claridad. Consulte el apéndice a continuación para obtener orientación.

Análisis

Prefiero enseñar mi método o el de Spice para el análisis nodal, ya que utiliza un punto de vista importante y altamente simplificador. Cometerá menos errores, desde el principio, usándolo. (También agregaré otra nota sobre eso a continuación).

De hecho, su error hace mi caso! Es demasiado fácil equivocarse en los signos cuando se aplica el "método nodal" habitual que se enseña en la mayoría de los libros. El método que aplico es el que tomé al leer el código de Spice, hace muchos años. Es lo que hace Spice. Y es una muy, muy buena idea seguirlo.

Mire, aquí abajo, y luego lea el apéndice a continuación en KCL:

$$\begin{align*} \frac{V_x}{R_2}+\frac{V_x}{R_3}+\frac{V_x}{R_4}&=\frac{3\:\text{V}}{R_2}+\frac{4\,V_0}{R_3}+\frac{V_0}{R_4}\\\\ \frac{V_0}{R_{V_0}}+\frac{V_0}{R_4}&=\frac{0\:\text{V}}{R_{V_0}}+\frac{V_x}{R_4} \end{align*}$$

(Spice usa este método mientras procesa cada nodo por turno y lo hace, emitiendo los lados izquierdos de las ecuaciones como se muestra. El lado derecho también es generado trivialmente por el código. Pero el punto de vista, explicado a continuación en mi anexo, es el producto de mis propios pensamientos.)

Con respecto a su propia pregunta sobre dónde se equivocó, creo que ahora puede averiguarlo:

$$\begin{align*} \frac{V_x-3\:\text{V}}{R_2}+\frac{V_x-4\,V_0}{R_3}+\frac{V_x-V_0}{R_4}&=0\:\text{V}\\\\ \frac{V_0-0\:\text{V}}{R_{V_0}}+\frac{V_0-V_x}{R_4}&=0\:\text{V} \end{align*}$$

Todo lo que hice fue mover fracciones del lado derecho al lado izquierdo. Ahora compara las nuevas ecuaciones y todos los signos anteriores con tus propias ecuaciones y creo que "verás".

Te prometo que. Cometerá menos errores y tendrá menos confusión si hace dos cosas:

1. redibuja tus esquemas para una mayor claridad; y,
2. use el mejor punto de vista de análisis nodal que uso.

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Dos ecuaciones, dos incógnitas. Solucionable como:$V_0=\frac{10}9\:\text{V}$y$V_x=\frac{25}9\:\text{V}$.

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Apéndice del esquema de redibujado

Las reglas para vivir son:

• Organice el esquema de modo que la corriente convencional parezca fluir desde la parte superior hacia la parte inferior de la hoja esquemática. Me gusta imaginar esto como una especie de cortina (si prefiere un concepto más estático) o cascada (si prefiere un concepto más dinámico) de cargas que se mueven desde el borde superior hasta el borde inferior. Este es un tipo de flujo de energía que no hace ningún trabajo útil por sí mismo, sino que proporciona el entorno para que se realice el trabajo útil.
• Organice el esquema de modo que las señales de interés fluyan desde el lado izquierdo del esquema hacia el lado derecho. Las entradas generalmente estarán a la izquierda, las salidas generalmente estarán a la derecha.
• No "autobuse" el poder alrededor. En resumen, si un cable de un componente va a tierra o a algún otro riel de voltaje, no use un cable para conectarlo a otros cables de componentes que también van al mismo riel/tierra. En su lugar, simplemente muestre un nombre de nodo como "Vcc" y deténgase. Casi se garantiza que distribuir energía en un esquema hará que el esquema sea menos comprensible, no más. (Hay momentos en que los profesionales necesitan comunicar algo único sobre un autobús ferroviario de voltaje a otros profesionales. Por lo tanto, a veces hay excepciones a esta regla. Pero cuando se trata de comprender un esquema confuso, la situación no es esa y tal argumento "por profesionales, para profesionales" todavía falla aquí. Así que simplemente no lo hagas.) Esto toma un momento para entenderlo completamente. Existe una fuerte tendencia a querer mostrar todos los cables que intervienen en la soldadura de un circuito. Resiste esa tendencia. La idea aquí es que los cables necesarios parahacer un circuito puede ser una distracción. Y si bien pueden ser necesarios para que el circuito funcione, NO lo ayudan a comprender el circuito. De hecho, hacen exactamente lo contrario. Así que elimine dichos cables y simplemente muestre las conexiones a los rieles y deténgase.
• Trate de organizar el esquema en torno a la cohesión . Casi siempre es posible "separar" un esquema para que haya nudos de componentes que estén estrechamente conectados entre sí, separados luego por solo unos pocos cables que van a otros nudos . Si puede encontrarlos, enfatícelos aislando los nudos.y enfocándose en dibujar cada uno de alguna manera significativa, primero. Ni siquiera pienses en todo el esquema. Solo concéntrese en hacer que cada sección cohesiva "se vea bien" por sí misma. Luego agregue el cableado de repuesto o algunos componentes que separan estas "divisiones naturales" en el esquema. Esto a menudo tenderá a encontrar casi mágicamente funciones distintas que son más fáciles de entender, que luego se "comunican" entre sí a través de conexiones relativamente más fáciles de entender entre ellas.
• Puede elegir exactamente un nodo y llamarlo "tierra". Si el propósito de volver a dibujar el esquema es comprenderlo , elija un nodo que ayude a lograrlo. Cuando las señales tienen un solo extremo, comparten un nodo común y debe seleccionar este nodo común como "tierra". Si el propósito es para el análisis , puede seleccionarlo con el fin de reducir la complejidad de la ecuación. A menudo, esto significará el nodo que está "más ocupado" (tiene la mayor cantidad de terminales conectados a él). De cualquier manera, haga esta elección sabiamente y será de gran ayuda.

Las reglas anteriores no son duras y rápidas. Pero si se esfuerza por seguirlos, descubrirá que es de gran ayuda.

Puede leer un fragmento de mi propia educación por parte de los dibujantes esquemáticos de Tektronix que me entrenaron leyendo aquí.

Anexo KCL

Puede parecer que las ecuaciones de KCL tratan los voltajes de los nodos como si no tuvieran que ser diferencias, pero pueden ser valores absolutos. Sin embargo, ese no es realmente el caso aquí. De hecho, solo estoy usando la superposición (que se ve fácilmente una vez que realmente has profundizado en los conceptos). Esta es, de hecho, la misma técnica que se usa en los programas Spice (aquellos en los que he mirado directamente sobre el código usado para generarlos).

Quizás la forma más fácil de imaginar es que el voltaje absoluto en un nodo se escapa de ese nodo a través de las rutas disponibles. Pero también que los voltajes absolutos se derraman en ese nodo desde los nodos circundantes a través de esos mismos caminos. Mientras los trate a todos como valores absolutos, el resultado es la aplicación de un concepto de superposición simple que da como resultado, efectivamente, que las diferencias de potencial controlen el resultado.

Puede probar esto, fácilmente, reorganizando la(s) ecuación(es) resultante(s), moviendo el lado derecho hacia el lado izquierdo y luego combinando los términos. A continuación, verá las diferencias de potencial habituales que espera. Así que realmente es el mismo resultado.

La razón por la que prefiero este método es que es simple de visualizar y muy difícil de cometer errores. Puede orientarse fácilmente hacia un nodo y luego calcular los términos de las corrientes de salida para el lado izquierdo de la ecuación. Luego, todo lo que tiene que hacer es ubicarse en cada nodo circundante y calcular los términos de las corrientes entrantes para el lado derecho. Es casi imposible arruinar eso.

Por el contrario, cuando está luchando por resolver las posibles diferencias en su mente (utilizando el método enseñado de forma más tradicional) y simplemente escribe esos términos, a menudo no está completamente seguro de si tiene el signo correcto mientras intenta sumarlos. , correctamente. Me doy cuenta, una y otra vez, de que no solo los demás terminan metiéndose en líos en alguna parte y cometiendo un error no descubierto... sino que yo también cometo esos errores. Incluso con mucha experiencia, simplemente no está 100% seguro y, a menudo, se encuentra revisando dos y tres veces su trabajo, por si acaso.

Eso nunca sucede, una vez que comienzas a usar el método de superposición. Simplemente funciona. Simplemente funciona bien. Simplemente funciona bien todas y cada una de las veces. Nunca, ni una sola vez, la cagué. (Hago errores tipográficos. Pero no errores de firma). Es demasiado fácil de usar.

Entonces, el voltaje se escapa de un nodo a través de las rutas disponibles y el voltaje se derrama hacia un nodo desde los nodos cercanos a través de las mismas rutas disponibles. La única advertencia es que una fuente o sumidero de corriente solo puede entrar o salir, pero no en ambas direcciones. Es una forma. Entonces aparecerá en el lado que fluye hacia afuera o en el lado que fluye hacia adentro, pero no en ambos lados.

Esto también funciona perfectamente bien con condensadores e inductores. Convierte la ecuación en una ecuación diferencial/integral. Pero eso es solo un tecnicismo. Todavía es correcto.

Cuando decimos que la elección de la dirección de la corriente no importa, no significa que apliquemos ecuaciones sin tener en cuenta las direcciones elegidas.

Después de elegir las direcciones actuales, obtendremos valores para estas corrientes. Si el valor es negativo significa que el sentido de la corriente es contrario al elegido.

Su error está simplemente en la primera ecuación. Debe considerar que la suma de las corrientes que ingresan a los nodos es igual a la suma de las corrientes que salen del nodo.

Así que en la primera ecuación solo necesitas cambiar el signo de (V1-0)/5 y obtendrás la respuesta correcta.

Solo tenemos un nodo, por lo tanto, solo se necesita una ecuación. Si asumo que el voltaje desconocido es el más alto en el circuito.

Esto es lo que obtenemos:

$$\frac{V_I}{5\Omega} + \frac{V_I - 4V_O}{5\Omega} + \frac{V_I -3V }{1\Omega} = 0$$

Y debido al hecho de que tenemos una fuente de corriente dependiente, necesitamos escribir:

$$V_O = 4 *\frac{V_I}{5\Omega}*2\Omega =$$

Después de la sustitución, la solución es

$$\frac{V_I}{5\Omega} + \frac{V_I - (\frac{8}{5}V_I)}{5\Omega} + \frac{V_I -3V }{1\Omega} = 0$$

$$V_I = \frac{25}{9}[V] \approx 2.77V$$

El último signo +ve es el error, debería ser -ve

$$-\bigg(\frac{V_{1}-3}{1}\bigg)-\bigg(\frac{V_{1}-4V_{o}}{5}\bigg){\color{red}+}\bigg(\frac{V_{1}-0}{5}\bigg) = 0$$

Su suposición: -

$$i_{1} + i_{2} {\color{red}-} i_{3} = 0$$ $$-\bigg(\frac{V_{1}-3}{1}\bigg)-\bigg(\frac{V_{1}-4V_{o}}{5}\bigg){\color{red}-}\bigg(\frac{V_{1}-0}{5}\bigg) = 0$$ $$V_{1} = 2.77 V$$