Ecuaciones que gobiernan la inducción electromagnética

Lo que me molesta particularmente es la ecuación$\nabla \times \mathbf{E}=-\dfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$. Si tuviéramos que ponerlo en la forma integral (usando el teorema de Stokes), no parece haber ninguna referencia a$V$o$B$, que parece ser incorrecto según la definición$(1.2)$.

$$\oint \vec{E} \cdot \vec{dl} = \int_{S} -(\frac{\partial }{\partial t} \vec{B})\vec{dS}\tag{1}$$

Esta es la versión de la ecuación que escribes la ecuación de Maxwell en forma integral, la parte milagrosa de la ecuación es que es una naturaleza independiente de cualquier 'bucle físico', es una naturaleza del espacio y los campos. Hablando en particular, la ecuación EMF original tenía un término de bucle asociado debido a la$\vec{v} \times \vec{B}$término, la velocidad es una propiedad del objeto físico.

Pregunta (parte b): Usando las "definiciones", ¿se puede derivar una de las "leyes"? ¿Asumiendo el otro como un axioma? (o sorprendentemente, derive ambas "leyes" simplemente de las definiciones: estoy casi seguro de que esto es una blasfemia)

de la ecuación 1.2 y 2.1, podemos escribir:

$$-\dfrac{d \int_S \vec{B} \cdot \vec{dS}}{dt}= \oint \mathbf{(E+v\times B)}\cdot \vec{d\mathbf{l}} \tag{2}$$

Entonces, este es el trato para el término LHS, está diferenciando toda la integral, esto significa que tiene que tomar contribuciones del cambio de bucle (límite de la integral de superficie) y también el cambio del campo magnético, después de un poco de trabajo encontrará que:

$$\frac{d }{d t}\int_S \vec{B} \cdot \vec{dS} = -\oint \vec{v} \times \vec{B} \cdot \vec{dl} + \int_S \frac{\partial \vec{B} }{\partial t} \vec{dS} \tag{3}$$

Ahora, reemplazando la expresión (3) en (2), obtendrás la ecuación (1).

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Discutido desde 56:23 en esta conferencia sobre la ley de Faraday por el profesor Shankar.

También hay una prueba en wiki pero está algo oculta, tienes que hacer clic en un botón escrito 'mostrar'

La fuerza electromotriz (EMF) ya tiene un significado establecido que incluye fuentes que no son EM, como gradientes térmicos y químicos (baterías). Así que no recomiendo redefinir EMF en términos de su ecuación 1.2. Esa ecuación es una ley física de validez limitada: cuando el EMF se debe puramente al campo EM externo, y no hay gradiente térmico, químico u otras fuentes de EMF.

ecuación de Maxwell

$$\nabla \times \mathbf E = - \frac{\partial \mathbf B}{\partial t}$$ siendo válido en todas partes es equivalente a la ecuación integral $$\oint_{\gamma} \mathbf E \cdot d\mathbf l = - \frac{d}{dt}\int_S\mathbf B\cdot d\mathbf S$$

siendo válido para toda curva cerrada$\gamma$y superficie$S$que tiene la curva$\gamma$como límite.

Estas ecuaciones son universalmente válidas, ya sea que el lado izquierdo sea FEM total o no. Es cuando el lazo es estacionario y el EMF se debe únicamente al campo eléctrico inducido; no lo es si el bucle se mueve en presencia de un campo magnético, o si hay un gradiente térmico/químico en alguna parte del bucle (batería).