Supongamos que hay una proposición P y hemos comenzado a actualizar nuestra credibilidad sobre ella en el momento t0 hasta algún momento t100. Nuestra credibilidad final para P terminó siendo .7 (en t100). Pero digamos que no hemos recopilado información relevante sobre P después de t100 y ahora estamos en t1000000000000, a pesar de que estábamos buscando rigurosamente evidencia para (des)confirmar que P. ¿Deberíamos actualizar nuestra credibilidad en este caso? Parece ser que no deberíamos ya que nada de lo que hemos visto ha (des)confirmado si es P o no P.
Sin embargo, en este caso, ¿tenemos otra razón para sospechar de nuestra credibilidad solo por nuestra incapacidad de observar cualquier información relevante sobre P?
Denotemos nuestra credibilidad en la proposición P en el tiempo t como sigue: C t (P).
En t=100, tenemos C 100 (P) = 0,7. Entonces esperamos mucho, mucho tiempo. No quiero escribir tantos ceros como escribiste, así que digamos que después de tanto tiempo, el tiempo es t=500. La pregunta es, ¿qué debería ser el C 500 (P)?
Primero, aceptemos (como es extremadamente común) que las credenciales se actualizan a través de la Condicionalización Bayesiana. Es decir, C 500 (P) = C 100 (P|E), donde E denota toda la evidencia que obtenemos entre t=100 y t=500. La idea es que nos preguntemos, en t=100: ¿qué credibilidad tendríamos si aprendiéramos E? Eso es C 100 (P | E). Entonces observamos que la Condicionalización bayesiana E. dice: nuestra nueva credencial C 500 (P) debería ser nuestra antigua credencial condicional C 100 (P|E). Y nuestra antigua credibilidad condicional se puede calcular mediante el teorema de Bayes: C 100 (P|E) = C 100 (E|P)C 100(P)/C 100 (E).
Nos pide que supongamos que "no recopilamos información relevante sobre P después de t100". Tomemos un ejemplo extremo de esto. Supongamos que me siento en una caja negra, con la mirada perdida, hasta que t=500. ¿Qué pruebas he reunido? Nada muy interesante, pero he reunido algunas pruebas. He aprendido la verdad de la proposición "He continuado existiendo desde t=100 hasta t=500". Ahora, dependiendo de lo que sea P, esta podría ser información relevante. Por ejemplo, si P es la hipótesis "Soy inmortal", y si el tiempo de t=100 a t=500 es ridículamente largo para los miembros de mi especie, presumiblemente mi credibilidad en P debería aumentar en t=500. Vivir durante un tiempo absurdamente largo es una buena evidencia de la inmortalidad. Pero supongo que este no es el tipo de caso que tienes en mente.
Así que supongamos que P es en cambio la hipótesis "Todos los cuervos son negros". El hecho de que sobreviví de t=100 a t=500 es, intuitivamente, información no relevante para esta hipótesis. Y en un entorno probabilístico como este, la irrelevancia implica independencia estadística. Sea E toda la evidencia que aprendí en mi caja negra. Dado que E es irrelevante para P, son estadísticamente independientes, por lo que (por definición de independencia) C 100 (E|P) = C 100 (E). Puedes comprobar que, dado lo dicho anteriormente, se sigue que C 500 (P) = 0,7. Mis credenciales no han cambiado.
Sin embargo, también supone que estábamos "rigurosamente buscando pruebas para (des)confirmar P". ¡Claramente, sentarse en una caja negra no cuenta tan rigurosamente buscando evidencia! Así que supongamos que buscamos evidencia rigurosamente, pero aún no encontramos nada que consideremos relevante para P. En ese caso, a pesar de que buscamos y buscamos, el argumento que di en el párrafo anterior permanece, y nuestras creencias permanecen sin cambios: C 500 (P ) = 0,7.
Ahora, imaginemos un último caso. Supongamos que nuestra hipótesis P es "Los cuervos son bastante comunes en la Tierra". Luego viajamos frenéticamente por todo el mundo en busca de cuervos, pero no encontramos nada. No encontramos evidencia obvia de su presencia. No encontramos nidos de cuervos abandonados, ni esqueletos de cuervos frescos. Y tampoco encontramos ninguna evidencia obvia de que (por ejemplo) todos se extinguieron por alguna catástrofe ambiental. Solo miramos un montón de lugares y no encontramos nada obviamente relacionado con los cuervos.
En este caso, es tentador decir que no obtuvimos evidencia relevante para P. ¡Pero de hecho la obtuvimos! Aprendimos la proposición E, a saber, "No encontré ningún cuervo, aunque busqué durante mucho tiempo". Ahora, supongamos que en t=100 (antes de reunir esta evidencia), nuestra creencia de que observaremos esa evidencia es baja. Digamos C 100 (E) = 0,5. Pero observe que, si nuestra hipótesis P ("Los cuervos son muy comunes en la Tierra") es cierta, entonces esperamos que la evidencia sea muy poco probable. Por ejemplo, digamos C 100 (E|P) = 0,01. Esto muestra que E y P no son estadísticamente independientes. Por lo tanto, E no puede ser irrelevante para P. Pero, de hecho, la condicionalización bayesiana nos dice que nuestra credibilidad en t=500 debería ser mucho menor que 0,7.
La moraleja de la historia: si su evidencia E es verdaderamente irrelevante para P, entonces observarla no puede cambiar sus creencias en P.
El factor de credibilidad sube asintóticamente hacia 1 a medida que aumenta el tiempo. Esto se debe a la falta de evidencia que refuta la proposición (más que a la falta de evidencia que la pruebe).
Dado que el valor es 0,7 en t = 100 (1x10^2), supongo que en t = 1x10^12, ¡el valor sería muy cercano a 1!
virmaior