Acción pseudoescalar en la teoría clásica de campos

El electromagnetismo es simétrico en paridad. Debido a que todos los demás términos en la acción, como$mv^2-V(x)$para las partículas - son paridad-par, la contribución electromagnética tiene que ser paridad-par, también. De lo contrario, los diferentes términos se transformarían de manera diferente y la teoría combinada violaría la paridad. "Paridad-incluso" simplemente significa que la densidad lagrangiana es un escalar, no un pseudoescalar. Es lo mismo.

Las acciones siendo invariantes bajo

$$(x,y,z)\to(-x,-y,-z),$$ incluyendo el signo ( $S\to +S$), es simplemente lo que queremos decir con la simetría de paridad, y los escalares (a diferencia de los pseudoescalares) son los objetos que también conservan sus signos bajo esta operación.

$E\cdot B$es un término que no afecta las ecuaciones de movimiento porque es una derivada total (que se integra a una constante, no afectada por las variaciones de los campos, siempre que las variaciones de los campos en$t=\pm \infty$desaparecer):

$$E\cdot B \sim \epsilon_{\alpha \beta\gamma\delta} F^{\alpha\beta} F^{\gamma\delta} \sim \partial^\alpha( \epsilon_{\alpha \beta\gamma\delta} A^\beta F^{\gamma\delta})$$ Ves que es una derivada total; la $\partial^\alpha F^{\gamma\delta}$plazo contratado con el $\epsilon$el símbolo se desvanece idénticamente porque es la identidad de Bianchi (en el lenguaje de las formas, $d^2 A\equiv 0$).

En teorías no abelianas, sin embargo, términos del tipo

$${\rm Tr }\, F_{\mu\nu} F^{*\mu \nu}$$ cambiar la física a pesar de que son derivados totales. Es porque se integran a una integral no trivial en el espacio-tiempo euclidiano donde la configuración del campo de calibre es topológicamente no trivial: un instanten.

En su formulación de integral de trayectoria de Feynman, la mecánica cuántica calcula las amplitudes de transición como la suma de las historias normales así como de los instantones, y los cambios aditivos en los asuntos de los instantones. Debido a que la acción instantánea anterior es un número entero, después de una normalización adecuada, el coeficiente$\theta$delante de él se define módulo$2\pi$- como un ángulo - porque un cambio de la acción$S$por$2\pi i$no importa ya que la integral de trayectoria solo depende de$\exp(iS)$. Por ejemplo, en QCD, el término

$$\theta{\rm Tr }\, F_{\mu\nu} F^{*\mu \nu}$$ se sabe que afecta la física, pero experimentalmente, el coeficiente $\theta$es más pequeño que $10^{-9}$lo cual es sorprendente y antinatural: esperaríamos $\theta$ser de orden uno. los $\theta$El término anterior, si es distinto de cero, también es P- (pseudoescalar) y CP-impar, y daría lugar a nuevas fuentes de violación de CP que no se observa (la única violación de CP que se ha observado proviene de la fase del masas de quarks de mezcla de matriz CKM).

Esta pequeñez de la$\theta$-ángulo, que aparentemente no se explica y no se necesita, ni siquiera para la vida (por lo que incluso el principio antrópico no ayuda), se llama el problema CP fuerte. La principal explicación candidata de por qué lo observado$\theta$es pequeño, aunque no tiene por qué serlo, es el mecanismo de Peccei-Quinn que utiliza los axiones.$\theta$es promovido a un campo escalar ligero de una manera...

En los últimos años, se ha hecho evidente que una clase de materiales llamados aislantes topológicos pueden describirse mediante una acción en la que el término$E\cdot B$está agregado.

la acción es

$$S_{top} = S_{em} + \frac{\theta}{2\pi}\frac{e^2}{\hbar c·2\pi} \int d^3xdt\, E·B.$$

Para aisladores ordinarios, tenemos$\theta=0$mientras que para aisladores topológicos, tenemos$\theta=\pi$.

Desde el$E·B$término es una derivada total, las ecuaciones de Maxwell no cambian dentro y fuera del aislador. Pero el punto es que$\theta$tiene un gradiente en la superficie, y ahí es donde sucede algo interesante. Es decir, un campo eléctrico exterior puede inducir corrientes superficiales y viceversa.

Uno podría pensar que la acción no es invariante bajo inversión de tiempo, porque entonces tendríamos que mapear$\theta\to-\theta$. Pero con condiciones de frontera periódicas, resulta que el valor$\theta$es solo módulo bien definido$2\pi$. Así, ambos$\theta=0$y$\theta=\pi=2\pi-\pi$es posible. Tenga en cuenta que necesita la mecánica cuántica para entender que$\theta$sólo se puede definir hasta$2\pi$, no es posible ver eso clásicamente.