¿Cuál es la ecuación de sustentación plana más simple que brinda soluciones realistas?

Necesito la ecuación de elevación más simple que, una vez resuelta con Mathcad, da una velocidad vertical realista de un avión e implícitamente la altitud h (t).

También la ecuación de arrastre. (1) conduce a una buena solución, un Vh(t) que aumenta y finalmente alcanza un límite (la velocidad horizontal máxima) y permanece allí durante la duración del vuelo, la sustentación eq. (2) se estabiliza en un Lift(t) - m * g = ct. > 0 y en consecuencia Vh(t) sigue creciendo indefinidamente porque una ec. del tipo m * dVv(t)/dt = ct. conduce a una solución Vv(t) que crece linealmente con el tiempo.

Pregunta: Está bastante claro que la velocidad vertical de un avión, Vh(t), no puede crecer indefinidamente. ¿Cómo puedo estabilizarlo a un valor constante? ¿Qué tengo que añadir en el eq. de ascensor?

Arrastre la ecuación. : m * dVh(t)/dt = T - Arrastrar(t) (1),

Arrastre (t) = 0.5 * Cd * r * S * (Vh (t) + Vw (t)) ^ 2,

Ascensor ecual. : m * dVv(t)/dt = Ascensor(t) - m * g (2),

Ascensor(t) = 0,5 * Cl * r * S * ( Vh(t) + Vw(t) )^2,

dónde:

  • Vh(t) = velocidad horizontal, Vv(t) = velocidad vertical, ambas deben determinarse siendo funciones desconocidas.
  • parámetros conocidos: m = la masa del avión, r = densidad del aire, S = la superficie del ala, T = empuje = ct., Cd, Cl son los coeficientes de arrastre y sustentación, g = 9,81 m/s^2, Vw( t) = la velocidad del viento, que suele ser una constante conocida pero puede tener otras formas dadas en función del tiempo, t.
Suena como tarea.

Respuestas (1)

Primero, necesitas agregar el efecto de la densidad. ρ : La densidad del aire cambia con la altitud, y esto afecta tanto la sustentación como la resistencia (al menos si modelas motores que respiran aire).

para ascensor L , usar

L = C L ⋅ ρ ⋅ v h 2 + v v 2 2 ⋅ S

para arrastrar D , solo debes simplificar la ecuación tanto como sea posible. Su ecuación es aún más simple y no modela el aumento de la resistencia con más sustentación. La ecuación práctica más simple se verá así:

D = ( C D 0 + C L 2 π ⋅ A R ⋅ ϵ ) ⋅ ρ ⋅ v h 2 + v v 2 2 ⋅ S

Más sustentación necesitará más empuje y limitará la aceleración hacia arriba. Subir más alto reducirá el empuje en proporción con la densidad y limitará el rango de velocidad posible.

Nomenclatura:
C L coeficiente de elevación (normalmente entre 0 y 1,5)
π 3.14159 …
A R relación de aspecto del ala (relación entre la envergadura y la cuerda media)
ϵ el factor de Oswald del ala (use 0.8 en caso de duda)
C D 0 Coeficiente de arrastre de elevación cero (utilice 0,02 en caso de duda)

Cambié las ecuaciones usando las fórmulas de sustentación y arrastre que me diste. Esta vez obtengo un crecimiento exponencial para la velocidad vertical Vv(t), que también es una solución incorrecta.
@RobertWerner ¿Cómo modelas el empuje? ¿Lo ajustas en absoluto, o puede crecer infinitamente? ¿Cómo le afecta un cambio de densidad?
Peter Kämpf, el empuje y la densidad del aire son constantes en mi caso. Incluso si los cambio como T = T(r, vh) y r=r(h) no influyen demasiado en los resultados a menos que tengan variaciones realmente grandes. Finalmente, agregué un término de arrastre vertical en la ecuación de elevación. que ahora se ve así: m * dVv(t)/dt = Lift(t) - m * g - 0.5 * 2000 * Cd * r * S * Vv(t)^2 donde este extraño 2000 * Cd es el coeficiente de arrastre si uno quiere levantar el avión verticalmente. Ahora obtengo velocidades verticales realistas como 2 m/s pero la elevación eq. parece bastante artificial. Estoy buscando un equipo de elevación más creíble.
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