Como se predice que la Luna y la Tierra entrarán en bloqueo de marea, ¿qué tan lento rotaría la Tierra?

La última parte de la respuesta a la que se vinculó en realidad dice (justo al final) que nunca se logrará el bloqueo de marea, con un razonamiento similar al que di en esta respuesta .

Dicho esto, aunque la Luna y la Tierra en realidad nunca lograrán la sincronización de las mareas, aún podemos hacer el experimento mental y preguntar: "Si hubiera tiempo suficiente para que el sistema actual Tierra-Luna lograra la sincronización de las mareas, ¿cuál sería la duración de ¿Cuál será el día en que la rotación de la Tierra y la órbita de la Luna se sincronicen?

Para hacer esto, podemos suponer que la Luna gira en espiral hacia afuera debido a un intercambio de momento angular entre la rotación de la Tierra y la órbita de la Luna. El giro de la Tierra se ralentiza a medida que pierde momento angular, y la Luna se mueve hacia una órbita más grande (y por lo tanto, mayor momento angular) a medida que gana el mismo momento angular. Presumiblemente, la rotación de la Luna permanecería bloqueada en el período orbital de la Luna, por lo que también se ralentizaría.

Entonces, usando$L$para representar el momento angular, la ecuación clave es

$$L_{\rm now} = L_{\rm then}$$

donde "entonces" es algún tiempo en el futuro cuando se logra el bloqueo. El momento angular total en el sistema es constante.

El momento angular de cualquier objeto es$L = I\omega$, dónde$I$es el momento de inercia y$\omega = \frac{2\pi}{P}$es la frecuencia orbital, relacionada con el período orbital$P$. Para una esfera de masa de densidad constante$M$y radio$R$girando sobre su eje,$I = 0.4 M R^2$. La Tierra y la Luna están algo más condensadas centralmente, por lo que sus momentos de inercia (rotacional) son un poco más pequeños que 0,4 para una esfera uniforme. El coeficiente principal es 0,33 para la Tierra y 0,39 para la Luna .

Para la Luna que orbita alrededor de la Tierra, es una buena aproximación tratarla simplemente como una masa puntual (ya que su tamaño es pequeño en comparación con su distancia a la Tierra), por lo que tiene$I = M_{\rm Moon}R_{\rm Earth-Moon}^2$.

Juntando estos tres movimientos (rotación de la Tierra, órbita de la Luna, rotación de la Luna), obtenemos

$$L_{\rm now} = 2\pi \left( \frac{0.33 M_\oplus R_\oplus^2}{P_\oplus} + \frac{0.39 M_{\rm Moon} R_{\rm Moon}^2}{P_{\rm Moon}} + \frac{M_{\rm Moon} R_{\rm Earth-Moon}^2}{P_{\rm Moon}} \right)$$

Todos los valores allí representan valores actuales y conocidos, es decir$P_\oplus = 1$día y$P_{\rm Moon} = 1$mes = 27,3 días. De manera similar, en algún momento en el futuro (hipotético), tendríamos

$$L_{\rm then} = 2\pi \left( \frac{0.33 M_\oplus R_\oplus^2}{P_{\rm then}} + \frac{0.39 M_{\rm Moon} R_{\rm Moon}^2}{P_{\rm then}} + \frac{M_{\rm Moon} R_{\rm Earth-Moon,\ then}^2}{P_{\rm then}} \right)$$

o

$$L_{\rm then} = \frac{2\pi}{P_{\rm then}} \left(0.33 M_\oplus R_\oplus^2 + 0.39 M_{\rm Moon} R_{\rm Moon}^2 + M_{\rm Moon} R_{\rm Earth-Moon,\ then}^2 \right)$$

Tenga en cuenta que aquí solo hay un período, ya que ahora se supone que todo está sincronizado. Así que podríamos establecer esto igual a$L_{\rm now}$y resolver para$P_{\rm then}$– excepto que tenemos una segunda incógnita en la ecuación,$R_{\rm Earth-Moon,\ then}$, la nueva distancia orbital de la Luna a la Tierra. Afortunadamente, podemos usar la tercera ley de Kepler para relacionar esta distancia con el período orbital:

$$P_{\rm then}^2 (M_\oplus + M_{\rm Moon} ) = \frac{4 \pi^2 }{G} R_{\rm Earth-Moon,\ then}^3$$

Para hacer la vida un poco más fácil cuando sustituimos en la ecuación, podríamos escribir esto como una proporción con los valores actuales, lo que hace que algunas de las constantes se cancelen:

$$\frac{P_{\rm then}^2}{P_{\rm Moon}^2} = \frac{R_{\rm Earth-Moon,\ then}^3}{R_{\rm Earth-Moon}^3}$$

Lo que significa que

$$R_{\rm Earth-Moon,\ then}^2 = R_{\rm Earth-Moon}^2 \left(\frac{P_{\rm then}}{P_{\rm Moon}}\right)^{4/3}$$

Sustituyendo eso en nuestra expresión por$I_{\rm then}$, finalmente terminamos con

$$L_{\rm then} = \frac{2\pi}{P_{\rm then}} \left(0.33 M_\oplus R_\oplus^2 + 0.39 M_{\rm Moon} R_{\rm Moon}^2 + M_{\rm Moon} R_{\rm Earth-Moon}^2 \left(\frac{P_{\rm then}}{P_{\rm Moon}}\right)^{4/3} \right)$$

Entonces, en principio, hemos terminado: establecemos esto igual a$L_{\rm now}$y resolver para$P_{\rm then}$. No es una ecuación simple de resolver analíticamente, pero no es difícil de resolver numéricamente.

Simbólicamente, están sucediendo muchas cosas, pero conocemos la mayoría de estos valores, por lo que si agregamos números para todo lo que sabemos y simplificamos, esto se convierte en

$$P_{\rm then} = 0.16809413\ {\mathrm d} + 0.27626727\ {\mathrm d}^{-1/3} P_{\rm then}^{4/3}$$

donde la "d" representa unidades de días. Resolviendo esta ecuación se obtiene un período de 46,9 días, así que esa es la duración del día, el mes (es decir, el período orbital de la Luna) y el período de rotación de la Luna si todos estuvieran bloqueados entre sí por las mareas.

Si desea ver el cálculo realizado en Python, he publicado el código en esencia aquí . Es un buen ejemplo de la utilidad de las cantidades de Python y las constantes de Astropy.

La mayor parte de la respuesta está maravillosamente escrita arriba por Eric Jensen. Sólo añadiré un toque final. Como lo demostró Eric, la sincronización se logra cuando el período orbital de la Luna alcanza$P_{then} = 46.9$días. implicando que$R$representa el semieje mayor, tomamos, para una estimación,$R_{Moon} = 3.84\times 10^8$metro. También,$P_{Moon} = 27.3$días. La inserción de estos números en la ley de Kepler hace

$$R_{then} = R_{Moon}\,\left(\frac{P_{then}}{P_{Moon}} \right)^{2/3} = 5.72\times 10^8\;\mbox{m}\;\,.$$ Este valor debe residir dentro de la esfera de la Colina de la Tierra, es decir, dentro del dominio donde la Luna es atraída por la Tierra con más fuerza que por el Sol, para que no se vaya volando.

Ingenuamente, el radio de la esfera Hill de la Tierra es

$$r_H = a_E \,(1-e_E) \,\left(\frac{M_E}{3M_\ast} \right)^{1/3} = 1.47\times 10^9\;\mbox{m}\;\,,$$ dónde$a_E$y$e_E$son el semieje mayor y la excentricidad de la Tierra, mientras que$M_E$y$M_\ast$son las masas de la Tierra y del Sol.

Sin embargo, el estudio numérico de Astakhov et al. (2003) y Domingos et al. (2006) demostraron que las órbitas que se acercan demasiado$r_H$son inestables a largo plazo, mientras que aquellos confinados a una región más pequeña (que podemos llamar "la esfera reducida de Hill") se mantienen estables. El radio de la esfera de Hill reducida (llámese ''el radio de Hill reducido''), para una órbita lunar circular (e = 0), es

$$r^{\,\prime}_H = B\, a_E\, (1 - b\, e_E)\,\left(\frac{M_E}{3M_\ast} \right)^{1/3} \;\,.$$ Para lunas progradas,$B=0.49$y$b = 1.03$, de donde
$$R^{\,\prime}_H = 7.09\times 10^8\;\mbox{m}\;\,.$$ Vemos que la distancia$R_{then}=5.72\times 10^8$m apenas cabrá en la reducida esfera de Hill. De todos modos, por pura suerte, la configuración síncrona será estable.