¿Cómo se explican los fenómenos de la óptica clásica en QED (ley de Snell)?

Hwlau tiene razón sobre el libro, pero la respuesta en realidad no es tan larga, así que creo que puedo tratar de mencionar algunos puntos básicos.

Integral de trayectoria

Un enfoque de la teoría cuántica llamado integral de trayectoria le dice que tiene que sumar amplitudes de probabilidad (supongo que tiene al menos una idea de qué es la amplitud de probabilidad; QED realmente no se puede explicar sin este nivel mínimo de conocimiento)) sobre todos los caminos posibles que la partícula puede tomar.

Ahora, para los fotones, la amplitud de probabilidad de un camino dado es$\exp(i K L)$donde$K$es algo constante y$L$es una longitud de la ruta (tenga en cuenta que esta es una imagen muy simplificada, pero no quiero ser demasiado técnico, por lo que está bien por ahora). El punto básico es que puedes imaginar esa amplitud como un vector unitario en el plano complejo. Entonces, al hacer una integral de ruta, está agregando muchas flechas cortas (esta terminología, por supuesto, se debe a Feynman). En general, para cualquier trayectoria dada, puedo encontrar muchos caminos más cortos y más largos, por lo que esto nos dará una interferencia no constructiva (agregará muchas flechas que apuntan en direcciones aleatorias). Pero pueden existir algunos caminos especiales que son más largos o más cortos (en otras palabras, extremos) y estos le darán una interferencia constructiva. Esto se llama principio de Fermat .

principio de Fermat

Tanto para la preparación y ahora para responder a su pregunta. Procederemos en dos pasos. Primero daremos una respuesta clásica utilizando el principio de Fermat y luego tendremos que abordar otros problemas que surjan.

Ilustremos esto primero en un problema de luz que viaja entre puntos$A$y$B$en espacio libre. Puede encontrar muchos caminos entre ellos, pero si no es el más corto, en realidad no contribuirá a la integral del camino por las razones mencionadas anteriormente. El único que lo hará es el más corto por lo que se recupera el hecho de que la luz viaja en línea recta. La misma respuesta se puede recuperar para la reflexión. Para la refracción tendrás que tener en cuenta que la constante$K$mencionado anteriormente depende del índice de refracción (al menos clásicamente; explicaremos cómo surge de los principios microscópicos más adelante). Pero de nuevo puedes llegar a la ley de Snell usando solo el principio de Fermat.

QED

Ahora para abordar preguntas microscópicas reales.

Primero, el índice de refracción surge porque la luz viaja más lentamente en los materiales.

¿Y qué pasa con la reflexión? Bueno, en realidad estamos llegando a las raíces del QED, así que ya es hora de que introduzcamos las interacciones. Sorprendentemente, en realidad solo hay una interacción: el electrón absorbe el fotón. Esta interacción nuevamente obtiene una amplitud de probabilidad y debe tener esto en cuenta al calcular la integral de trayectoria. Entonces, veamos qué podemos decir sobre un fotón que va de$A$luego golpea un espejo y luego va a$B$.

Ya sabemos que el fotón viaja en línea recta tanto entre$A$y el espejo y entre espejo y$B$. ¿Qué puede pasar en el medio? Bueno, la imagen completa es, por supuesto, complicada: un fotón puede ser absorbido por un electrón y luego será reemitido (tenga en cuenta que incluso si estamos hablando del fotón aquí, el fotón emitido es en realidad distinto del original, pero no importa tanto), entonces puede viajar por un tiempo dentro del material, ser absorbido por otro electrón, volver a emitirse y finalmente volar de regreso a$B$.

Para simplificar la imagen, solo consideraremos el caso de que el material sea un espejo 100% real (si fuera, por ejemplo, vidrio, en realidad obtendría múltiples reflejos de todas las capas dentro del material, la mayoría de los cuales interferirían destructivamente y usted' me quedarían los reflejos de la superficie delantera y trasera del vidrio; obviamente, tendría que hacer que esta respuesta ya larga sea dos veces más larga :-)). Para los espejos, solo hay una contribución importante y es que el fotón se dispersa (absorbe y vuelve a emitir) directamente sobre la capa superficial de electrones del espejo y luego vuela de regreso.

Pregunta de prueba: ¿y qué pasa con el proceso en el que el fotón vuela hacia el espejo y luego cambia de opinión y vuelve a volar?$B$sin interactuar con ningún electrón; esta es seguramente una posible trayectoria que tenemos que tener en cuenta. ¿Es esta una contribución importante a la integral de trayectoria o no?

Realmente desea una larga discusión. Quizá te interese el libro " QED: La extraña teoría de la luz y la materia " escrito por Richard Feynman (o el vídeo correspondiente ), que ofrece una introducción completa casi sin número y fórmula.

Para la solución de la ecuación de Schrödinger del átomo de hidrógeno. El nivel de energía es discreto, por lo que su espectro de absorción también lo es. En este caso, solo se pueden ver algunos colores. Sin embargo, en estado sólido, los átomos interactúan fuertemente entre sí y el espectro de absorción resultante puede ser muy complicado. Esta interacción depende fuertemente de su estructura y de los electrones exteriores. La temperatura puede jugar un papel esencial para el cambio estructural y puede ocurrir una transición de fase y también un cambio de color. Creo que no hay una explicación fácil para el espectro de absorción exacto, o el color, de un material sin hacer cálculos complicados.

Esa es una gran pregunta con muchas facetas.

1. El punto de partida es la integral de trayectoria QED. La densidad lagrangiana de Maxwell en un material lineal isotrópico es

   $${\cal L}~=~\frac{\varepsilon E^2}{2}-\frac{B^2}{2\mu}. \tag{1}$$ Aquí el índice de refracción es$n=\sqrt{\varepsilon_r\mu_r}$, donde$\varepsilon_r$es la permitividad relativa del material de fondo, y$\mu_r$es su permeabilidad relativa.

2. Si$\varepsilon_r=n=\mu_r$(que asumiremos por simplicidad), podemos emular la permitividad$\varepsilon({\bf r})$y la permeabilidad$\mu({\bf r})$considerando la densidad lagrangiana de Maxwell

   $$\begin{align} {\cal L}~=~&-\frac{\sqrt{|g|}}{4\mu_0}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}, \cr F^{\mu\nu}~:=~&g^{\mu\rho}F_{\rho\sigma}g^{\sigma\nu}. \end{align}\tag{2}$$ en un fondo de 4 métricas $$\mathbb{g} ~=~ -\frac{c^2}{n({\bf r})}\mathrm{d}t\odot\mathrm{d}t +n({\bf r}) \sum_{i,j=1}^3\eta_{ij}\mathrm{d}r^i\odot\mathrm{d}r^j. \tag{3}$$ El campo de calibre EM$A_{\mu}$satisface clásicamente las ecuaciones de Maxwell en este espacio-tiempo de fondo .

3. los$n({\bf r})$en la métrica (3) es un índice de refracción efectivo , ya que para una partícula puntual sin masa, la coordenada 3-velocidad es

   $$\frac{ds}{dt} ~:=~\left|\frac{d{\bf r}}{dt}\right| ~:=~\sqrt{\sum_{i,j=1}^3\eta_{ij}\frac{dr^i}{dt}\frac{dr^j}{dt}} ~=~\frac{c}{n({\bf r})}. \tag{4}$$ Un caso importante es la solución de campo débil del EFE linealizado , donde el índice de refracción efectivo
   $$n({\bf r})~=~1-\frac{2\phi({\bf r})}{c^2} \tag{5}$$ está relacionado con el potencial gravitacional específico$\phi({\bf r})$, cf. por ejemplo, ref. 1.

4. A continuación, apelamos al formalismo de la línea de tiempo para reducir del campo de fotones$A_{\mu}(x)$a una partícula puntual$x^{\mu}(\lambda)$.

5. En este punto no podemos resistir la tentación de dar a la partícula puntual una masa$m\geq 0$. (El fotón no tiene masa$m=0$.)

6. La integral de trayectoria para una partícula puntual relativista masiva o sin masa es

   $$\begin{align} \langle x_f | x_i \rangle ~=~&\int_{x(\lambda_i)=x_i}^{x(\lambda_f)=x_f}\!\frac{{\cal D}x{\cal D}e}{\text{Vol(Gauge)}}e^{\frac{i}{\hbar}S[x,e]}, \cr S[x,e]~=~&\int_{\lambda_i}^{\lambda_f}\! \mathrm{d}\lambda ~L, \qquad L~:=~\frac{\dot{x}^2}{2e}-\frac{e(mc)^2}{2}, \cr \dot{x}^2~:=~&g_{\mu\nu}(x)~ \dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}~<~0, \qquad \dot{x}^{\mu}~:=~\frac{dx^{\mu}}{d\lambda},\cr [e] ~=~&\text{Mass}^{-1}, \qquad [\lambda]~=~\text{Time}, \end{align}\tag{6}$$ donde$e>0$es un campo de einbein de línea de mundo (WL), y$\lambda$es un parámetro WL. Aquí$^1$ $\text{Vol(Gauge)}$se refiere al hecho de que tenemos que dividir todas las configuraciones que son equivalentes por simetría de calibre de reparametrización WL .

7. Para la métrica (3) la integral de trayectoria (6) se convierte en

   $$\begin{align} \langle {\bf r}_f,t_f | {\bf r}_i,t_i \rangle ~=~&\int_{{\bf r}(\lambda_i)={\bf r}_i,t(\lambda_i)=t_i}^{{\bf r}(\lambda_f)={\bf r}_f,t(\lambda_f)=t_f} \!\frac{{\cal D}{\bf r}{\cal D}t{\cal D}e}{\text{Vol(Gauge)}}e^{\frac{i}{\hbar}S[{\bf r},t,e]}, \cr S[{\bf r},t,e] ~=~& \int_{\lambda_i}^{\lambda_f}\! \mathrm{d}\lambda~L , \cr L~=~&\frac{1}{2e}\left(-\frac{(c\dot{t})^2}{n}+ n\dot{\bf r}^2 \right)-\frac{e(mc)^2}{2}, \cr \dot{\bf r}^2~:=~&\sum_{i,j=1}^3\eta_{ij}\dot{r}^i\dot{r}^j, \qquad \dot{r}^i~:=~\frac{dr^i}{d\lambda}. \cr \end{align}\tag{7}$$

8. El impulso 3 es

   $$p_i~:=~\frac{\partial L}{\partial\dot{r}^i}~\stackrel{(7)}{=}~\frac{n}{e}\dot{r}_i. \tag{8}$$ Desde la coordenada de tiempo$t$es una variable cíclica , el momento canónico correspondiente (también conocido como menos energía) $$\begin{align} -E~\equiv~&p_t~:=~\frac{\partial L}{\partial\dot{t}}~\stackrel{(7)}{=}~-\frac{c^2}{e n}\dot{t}, \cr [E] ~=~&\text{Energy}, \end{align} \tag{9}$$ es un COM .

9. La integral de trayectoria hamiltoniana correspondiente es

   $$\begin{align} \langle {\bf r}_f,t_f | {\bf r}_i,t_i \rangle ~=~&\int_{{\bf r}(\lambda_i)={\bf r}_i,t(\lambda_i)=t_i}^{{\bf r}(\lambda_f)={\bf r}_f,t(\lambda_f)=t_f}\!\frac{{\cal D}{\bf r}{\cal D}t{\cal D}{\bf p}{\cal D}E{\cal D}e}{\text{Vol(Gauge)}}e^{\frac{i}{\hbar}S_H[{\bf r},t,{\bf p},E,e]}\cr S_H[{\bf r},t,{\bf p},E,e]~=~& \int_{\lambda_i}^{\lambda_f}\! \mathrm{d}\lambda~L_H , \cr L_H~=~&{\bf p}\cdot \dot{\bf r} -E\dot{t} -H, \cr H~\stackrel{(7)+(8)+(9)}{=}&~\frac{e}{2}\left(-\frac{nE^2}{c^2}+ \frac{{\bf p}^2}{n} +(mc)^2\right). \end{align} \tag{10}$$ En la formulación hamiltoniana, el campo de einbein$e$se ha convertido en un multiplicador de Lagrange que impone la ecuación masa-cáscara/eikonal$^2$
   $$\frac{nE^2}{c^2}~\stackrel{(10)}{\approx}~ \frac{{\bf p}^2}{n} +(mc)^2 .\tag{11}$$ Del mismo modo, el campo de tiempo$t$se convierte en un multiplicador de Lagrange que impone la conservación de la energía $$\dot{E}~\stackrel{(10)}{\approx}~0.\tag{12}$$

10. Consideremos el Routhian correspondiente donde solo transformamos las variables cíclicas de Legendre, cf. por ejemplo , esta publicación de Phys.SE. Dado que Routhian no depende de las variables cíclicas, y sus momentos correspondientes son COM, podemos degradar estas variables dinámicas a parámetros externos. El Lagrangiano para las restantes variables dinámicas viene dado por menos el Routhiano. En detalle,

    $$\begin{align} \langle {\bf r}_f,t_f | {\bf r}_i,t_i \rangle ~=~&\int_{{\bf r}(\lambda_i)={\bf r}_i,t(\lambda_i)=t_i}^{{\bf r}(\lambda_f)={\bf r}_f,t(\lambda_f)=t_f}\!\frac{{\cal D}{\bf r}{\cal D}t{\cal D}E{\cal D}e}{\text{Vol(Gauge)}}e^{\frac{i}{\hbar} S_R[{\bf r},t,E,e]},\cr S_R[{\bf r},t,E,e]~=~& \int_{\lambda_i}^{\lambda_f}\! \mathrm{d}\lambda~(-E\dot{t}-R), \cr -R~\stackrel{(7)+(9)}{=}&~\frac{n}{2e}\dot{\bf r}^2+\frac{e}{2}\left(n\frac{E^2}{c^2}-(mc)^2\right). \end{align}\tag{13}$$

11. A continuación, transformemos las condiciones de contorno de Fourier$t_i\leftrightarrow E_i$y$t_f\leftrightarrow E_f$, y hacer las integraciones de ruta sobre el$t(\lambda)$y$E(\lambda)$variables

    $$\begin{align} \langle {\bf r}_f,E_f | {\bf r}_i,E_i \rangle ~=~&\int_{\mathbb{R}}\!\mathrm{d}t_f \int_{\mathbb{R}}\!\mathrm{d}t_i~e^{\frac{i}{\hbar}(E_ft_f-E_it_i)} \langle {\bf r}_f,t_f | {\bf r}_i,t_i \rangle\cr ~=~&\delta(E_f\!-\!E_i)\int_{{\bf r}(\lambda_i)={\bf r}_i}^{{\bf r}(\lambda_f)={\bf r}_f}\!\frac{{\cal D}{\bf r}{\cal D}e}{\text{Vol(Gauge)}}e^{\frac{i}{\hbar}S_R[{\bf r},E_f,e]},\cr S_R[{\bf r},E,e]~=~& \int_{\lambda_i}^{\lambda_f}\! \mathrm{d}\lambda~(-R) . \end{align}\tag{14}$$

12. La ecuación EL para el campo de einbein$e$se convierte

    $$e ~\stackrel{(13)}{\approx}~\frac{\dot{s}}{\sqrt{\frac{E^2}{c^2}-\frac{(mc)^2}{n}}}, \qquad \dot{s}~:=~|\dot{\bf r}|~=~\sqrt{\dot{\bf r}^2}. \tag{15}$$ Por lo tanto, la integral de trayectoria de Routh se convierte en $$\begin{align} \langle {\bf r}_f,E_f | {\bf r}_i,E_i \rangle ~=~&\delta(E_f\!-\!E_i)\int_{{\bf r}(\lambda_i)={\bf r}_i}^{{\bf r}(\lambda_f)={\bf r}_f}\!\frac{{\cal D}{\bf r}}{\text{Vol(Gauge)}}e^{\frac{i}{\hbar}S_{R_0}[{\bf r},E_f]},\cr S_{R_0}[{\bf r},E]~=~& \int_{\lambda_i}^{\lambda_f}\! \mathrm{d}\lambda~(-R_0), \cr -R_0~\stackrel{(13)+(15)}{=}&~n \dot{s} \sqrt{\frac{E^2}{c^2}-\frac{(mc)^2}{n}}.\end{align} \tag{16}$$ La integral de trayectoria de Routhian (16) conduce a la imagen de la manecilla/flecha del cronómetro de Feynman de QED en la Ref. 2. En el caso sin masa$m=0$la acción de Routhian (16) es proporcional a la longitud del camino óptico $$\int_{s_i}^{s_f}\! \mathrm{d}s~n ~=~ \int_{\lambda_i}^{\lambda_f}\! \mathrm{d}\lambda~n \dot{s}. \tag{17}$$ El factor de proporcionalidad es$\frac{E}{c}$.

13. La acción de Routh (16) es reparametrización WL invariante, lo que significa que la energía correspondiente se desvanece y sus acciones estacionaria y abreviada coinciden. La acción abreviada (17) es precisamente el principio de Fermat . ¡El principio de acción para la acción de Routhian (16) es un principio de Fermat generalizado para partículas puntuales masivas y sin masa!

14. La ecuación EL

    $$\begin{align} \frac{\frac{E^2}{c^2}-\frac{(mc)^2}{2n}}{\sqrt{\frac{E^2}{c^2}-\frac{(mc)^2}{n}}}\frac{\partial n}{\partial r^i} ~=~&\frac{\partial }{\partial r^i}\left(n\sqrt{\frac{E^2}{c^2}-\frac{(mc)^2}{n}}\right)\cr ~\stackrel{(16)}{\approx}~& \frac{1}{\dot{s}}\frac{d}{d\lambda}\left(n\sqrt{\frac{E^2}{c^2}-\frac{(mc)^2}{n}} \frac{\partial \dot{s}}{\partial \dot{r}^i} \right) \cr ~=~&\frac{1}{\dot{s}}\frac{d}{d\lambda}\left(n\sqrt{\frac{E^2}{c^2}-\frac{(mc)^2}{n}}\frac{\dot{r}_i}{\dot{s}} \right) \cr ~=~&\frac{d}{ds}\left(n\sqrt{\frac{E^2}{c^2}-\frac{(mc)^2}{n}}\frac{dr_i}{ds} \right)\end{align} \tag{18}$$ para la acción Routhiana (15) se convierte en la ecuación de rayos $$\begin{align}\frac{\partial n}{\partial r^i} ~\stackrel{(17)}{\approx}~& \frac{1}{\dot{s}}\frac{d}{d\lambda}\left(n\frac{\partial \dot{s}}{\partial \dot{r}^i} \right)\cr ~=~&\frac{1}{\dot{s}}\frac{d}{d\lambda}\left(n\frac{\dot{r}_i}{\dot{s}} \right)\cr ~=~&\frac{d}{ds}\left(n\frac{dr_i}{ds} \right) \end{align}\tag{19}$$ en el caso sin masa$m=0$.

Referencias:

1. KS Thorne y RD Blandford, Física clásica moderna: óptica, fluidos, plasmas, elasticidad, relatividad y física estadística, 2017; ec. (27.11).

2. RP Feynman, QED: La extraña teoría de la luz y la materia , 1988; pags. 27 + 43 + 50.

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$^1$Ignoramos por simplicidad un factor de medida integral de trayectoria no trivial en un lazo.

$^2$los$\approx$El símbolo significa una igualdad en el caparazón, es decir, igualdad módulo EOM.