¿Cómo es físicamente posible que el campo eléctrico de algunas distribuciones de carga no se atenúe con la distancia?

En lugar de pensar en la hoja de carga como si tuviera infinitas dimensiones, piense en que las dimensiones son mucho mayores que la distancia desde la carga donde se mide el campo. El campo eléctrico entre las placas paralelas de un capacitor se considera uniforme (excepto cerca de los bordes), pero las dimensiones de las placas obviamente no son infinitas. Son mucho más grandes que la separación de las placas, puede pensar en ellos como "infinitos" en términos relativos.

El campo de una carga individual varía como el inverso del cuadrado de la distancia desde la carga, si integras la contribución de cada carga desde un plano de carga "infinito", el campo resultante es constante. Puede encontrar una prueba aquí: http://mlg.eng.cam.ac.uk/mchutchon/chargedPlanes.pdf

Espero que esto ayude.

Primero, por simetría, esperaría que el campo fuera perpendicular al plano. Todas las componentes laterales se cancelan.

Puedes calcular el campo en un punto sumando el campo de todas las cargas en el plano. Empezamos con un punto a distancia$z$de la hoja Podemos obtener el campo total integrando sobre anillos como se muestra. Nos centraremos en un solo anillo en ángulo.$\theta$y espesor angular$\Delta \theta$. Calculamos que el campo de este anillo es$\Delta E$.

Ahora doblamos la distancia a$2z$y mira otro anillo usando los mismos ángulos. Este anillo está el doble de lejos, pero tiene el doble de circunferencia y el doble de grosor. Así que el campo de él es el mismo$\Delta E$como antes.

Si integra sobre todos esos anillos, puede ver que el total no cambia.

Esto muestra que el resultado es correcto, pero aún deja la incómoda sensación de que a medida que te acercas a una colección de cargas, el campo de cada una se hace más grande. Así que el total debería aumentar. Sin embargo, eso no sucede.

Considere nuestro anillo original desde la distancia$z$. Ahora acércate a$z/2$y mira el mismo anillo. Estamos más cerca de él, y el campo de cada elemento es más fuerte. Pero el ángulo ha cambiado. Los campos de elementos en lados opuestos se acercan más a cancelarse entre sí. El campo total de ese anillo es en realidad más pequeño a una distancia más cercana. Si estuviéramos realmente en el avión, el campo de ese anillo sería$0$.

La respuesta es simple. No es físicamente posible. Ninguna distribución de carga puede extenderse sin límite. Cada sistema de carga está acotado. Si está más lejos de una distribución de carga plana que su tamaño, el campo eléctrico se atenuará con la distancia.

En general, el campo que se siente a una distancia particular de una distribución de carga particular es el producto de dos factores:

• Cuánta carga ve en una dirección particular (es decir, un área angular pequeña), y
• A qué distancia está esa carga.

El segundo factor es relativamente simple: el campo eléctrico tiene una$1/r^2$dependencia, por lo que a medida que se aleja de una distribución de carga, siempre se reducirá$1/r^2$. El primer factor es más interesante.

Examinemos cómo cambia cada una de estas cantidades cuando se aleja de algunas distribuciones de carga de ejemplo:

Carga puntual :

Para una carga puntual, la cantidad de carga que ves en cualquier dirección en particular es constante . La carga puntual está en el cono angular que elijas o no lo está, sin importar qué tan lejos estés. Como ya dijimos, alejarse más de la distribución de carga le brinda una$1/r^2$disminución de la magnitud del campo. Entonces, multiplicar estos dos factores juntos te da$(\text{constant})\times\frac{1}{r^2}\propto 1/r^2$dependencia de la distancia.

Carga de línea :

Para una carga de línea, la carga total en un segmento dado de la línea es proporcional a la longitud del segmento de línea . A medida que te alejas de una carga lineal, la longitud del segmento de línea que está encerrado en un cono angular dado aumenta linealmente con la distancia (puedes considerarlo como la longitud del arco subtendido por ese ángulo, dado por$s=r\theta$). Dado que alejarse hace que aumente la longitud de la línea delimitada por un ángulo dado, entonces la carga total dentro de un ángulo dado aumenta linealmente con la distancia . Como antes, el segundo factor te da una$1/r^2$dependencia, por lo que, en total, tenemos$r\times1/r^2\propto 1/r$dependencia para esta distribución.

Hoja de cargo :

Para una hoja de carga, la carga total en un parche dado de la hoja es proporcional al área del parche . A medida que te alejas de la hoja, el área encerrada por cada cono angular crece cuadráticamente con la distancia (ya vimos que el ancho de la región encerrada por el cono crece linealmente con la distancia, y el área es proporcional al ancho al cuadrado). Esto significa que la carga total encerrada por un cono angular dado también aumenta cuadráticamente con la distancia . Entonces tenemos$r^2\times 1/r^2\propto\text{constant}$dependencia de la distancia.

Entonces, en última instancia, el campo constante en función de la distancia se debe a dos factores en competencia que se cancelan exactamente entre sí para una configuración de carga muy particular. Cuanto más te alejes, más carga verás en cualquier dirección, pero más lejos estará esa carga.

Un observador puede ponerse a una distancia infinita de todas las cargas y recibirá el mismo campo E.

Me veo obligado a abordar este concepto erróneo en caso de que sea la raíz de su pregunta.

Cuando resolvemos este problema para el campo electrostático, el resultado es independiente de la distancia$r$del avión Tu intuición parece informarte que esto no es posible ya que un observador puede alejarse infinitamente de todas las cargas. Pero un observador no puede alejarse infinitamente, un observador puede alejarse arbitrariamente pero$r$debe tener un valor - el infinito no es un número cuyo valor$r$puede tomar.

A través de un proceso límite, se puede hablar significativamente sobre la intensidad del campo eléctrico como$r$va al infinito , pero creo que es un error conceptual pensar en términos de estar a una distancia infinita de todas las cargas.

Mi instinto me dice que estás imaginando que uno puede alejarse lo suficiente del avión como para que el "tamaño" del avión se reduzca a cero, pero ese no es el caso por estipulación.

Decir que el plano de carga es infinito es decir que el plano no tiene arista. Por lo tanto, no importa cuán grande $r$(la distancia desde el plano) se vuelve, no hay borde para ser visto.

Creo que es su intuición la que está fallando aquí, y dado que ya se han proporcionado argumentos matemáticos, ofreceré un enfoque más simple e intuitivo.

Toma un ejemplo más o menos similar que te resulte más familiar, el cielo. El cielo, desde donde estamos, parece un plano infinito, esto no es del todo correcto pero podemos suponer que desde nuestro punto de vista y por el bien del argumento. Puede notar que no ve un cielo más grande o más pequeño a medida que se encuentra más alto o más bajo sobre el suelo (digamos, mientras se mueve hacia arriba y hacia abajo dentro de un edificio). Esto se debe a que el plano que estamos viendo tiene una extensión infinita. . Si no fuera así, puede que veas cómo cambia su "dimensión aparente", como puedes experimentar con cualquier objeto de tu vida cotidiana. Por supuesto, esta es solo una comparación simple para ayudar a la intuición, que a menudo se confunde cuando se trata del infinito, no es realmente un argumento para el campo constante, en cuyo caso no tenemos mejor enfoque que la prueba matemática.