¿Velocidad de la luz en un campo gravitatorio?

Esta es una pregunta mucho más complicada de lo que (probablemente) crees, ya que responderla requiere una comprensión de la relatividad general.

En GR, la velocidad de la luz es localmente invariable, es decir, si mide la velocidad de la luz en su ubicación, siempre obtendrá el valor$c$. Sin embargo, si mide la velocidad de la luz en algún lugar distante, puede encontrar que es menor que$c$. El ejemplo obvio de esto es un agujero negro, donde la velocidad de la luz cae a medida que se acerca al horizonte de eventos y, de hecho, se reduce a cero en el horizonte de eventos.

La razón por la que podemos medir la velocidad de la luz en un lugar distante a menos de$c$es porque, como dice alexo en su respuesta, el espacio-tiempo está curvado por masa/energía. Las coordenadas que usas para medir el espacio-tiempo no coincidirán con las coordenadas que usa un observador distante, y es por eso que ustedes dos miden valores diferentes para la velocidad de la luz. Para calcular la velocidad de la luz en algún punto distante, debe resolver las ecuaciones de Einstein para descubrir cómo se curva el espacio-tiempo en relación con su sistema de coordenadas.

Para mostrar esto, tomemos un ejemplo. Si resuelve las ecuaciones de Einstein para una masa esféricamente simétrica, obtiene la métrica de Schwarzschild :

en esta ecuacion$r$es la distancia al agujero negro (el radio) y$t$es el tiempo (lo que mides en tu reloj de pulsera).$\theta$y$\phi$son básicamente medidas de longitud y latitud. La cantidad$\mbox{d}s$se llama intervalo .$r_s$es el radio del horizonte de sucesos. Estrictamente hablando, el sistema de coordenadas es el que usa un observador en el infinito, pero es una buena aproximación siempre que esté fuera del horizonte de eventos.

Para rayos de luz$\mbox{d}s$siempre es cero, y podemos usar esto para calcular la velocidad del rayo de luz. Para simplificar, tomemos un rayo que se dirige directamente hacia el agujero negro, por lo que la longitud y la latitud son constantes, es decir$\mbox{d}\theta$y$\mbox{d} \phi$ambos son cero. Esto simplifica la ecuación anterior a:

La velocidad de la luz,$v$, es simplemente la tasa de cambio del radio con el tiempo,$\mathrm dr/\mathrm d t$, y obtenemos esto mediante un reordenamiento rápido:

La variación de la velocidad de la luz con la distancia desde el agujero negro se ve así:

A grandes distancias (grandes$r$) la velocidad tiende a 1 (es decir$c$) pero cerca del agujero negro disminuye y cae a cero en el horizonte de sucesos.

Entonces, para calcular la velocidad de la luz en su sistema de coordenadas, resuelva las ecuaciones de Einstein para obtener la métrica, establezca$\mbox{d} s$a cero y resuelva la ecuación resultante; suena fácil, ¡pero rara vez lo es!

Pero, pero, pero, ten absolutamente claro lo que estás calculando. Todo lo que está calculando es la velocidad de la luz en su sistema de coordenadas, es decir, el resultado que obtiene se aplica solo a usted. Otros observadores en otros lugares calcularán un valor diferente, y cada observador en todas partes encontrará que la velocidad local de la luz tiene el mismo valor de$c$.

La velocidad de la luz no aumenta en un campo gravitatorio. Es el espacio el que se dobla y entonces la luz seguirá esa flexión.

Si consideramos que un segundo es ligeramente más corto para nuestras cabezas que para nuestros pies, que es la conclusión a la que debemos llegar basándonos en la definición SI del segundo, entonces nos vemos obligados a adoptar la solución GR de John Rennie and Co. que es, supongo, una solución complicada pero válida.

Ahora considere que un día es un día para nuestras cabezas exactamente de la misma manera que lo es para nuestros pies, ya que ambos comienzan y terminan una rotación del planeta juntos. Entonces podemos, justificadamente, suponer una tasa de tiempo constante y una velocidad variable de la luz para llegar a la siguiente solución:

y

Lo cual, por sustitución y cancelación de m, nos da

en expansión

[descuidar$(\Delta c) ^ 2$ya que normalmente es insignificantemente pequeño]

Tenemos

La luz no es atraída por la masa (al menos por una masa pequeña como la Tierra). Por lo tanto, no hay atracción gravitacional ni aceleración de la Tierra sobre la luz. Por lo tanto, la velocidad será "c", eso es todo, no es necesario corregirlo.