Ley de voltaje de Kirchhoff en un campo electromagnético general

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Ley de voltaje de Kirchhoff en un campo electromagnético general

sam galagher

Recientemente, el profesor Walter Lewin y el YouTuber ElectroBOOM iniciaron una discusión sobre KVL, luego de que el Dr. Lewin afirmara que KVL no se mantuvo en presencia de un campo magnetodinámico. Yo diría que el Dr. Lewin es incorrecto en su interpretación, y KVL se mantiene bajo escrutinio.

El argumento de Lewin se deriva de las definiciones dadas. El potencial eléctrico, $\phi$ , se define como la integral de línea del campo eléctrico, $\vec{E}$ ,

ϕ = \int_{C} \vec{mi} \cdot d \vec{yo}

$\phi = \int_C \vec{E} \cdot d\vec{l}$ Y en el caso general, por ejemplo, cuando está presente un campo magnético variable,

\vec{E}

$\vec{E}$ no es conservativo, por lo que

ϕ

$\phi$ es dependiente de la ruta. Es decir, la diferencia de potencial entre dos puntos en el espacio no es única y, por lo tanto, el "voltaje" no está bien definido. Este es un resultado directo del cálculo vectorial.

Ahora, como extensión, de la ley de Faraday-Maxwell,

\oint_{C} \vec{mi} \cdot d \vec{yo} + \int_{S} \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot d \vec{s} = 0

$\oint_C \vec{E} \cdot d\vec{l} + \int_S \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot d\vec{s} = 0$ Dónde

C = \partial S

$C = \partial S$ es el límite de la superficie

S

$S$ . Esto se puede interpretar como un término "EMF inducido", el flujo del tiempo derivado de

\vec{B}

$\vec{B}$ , contribuyendo al potencial alrededor de un bucle dado,

C

$C$ . Por lo tanto, cuando se tiene en cuenta la FEM inducida, el potencial neto alrededor de un bucle dado es cero. Sin embargo, el primer término, la integral de línea cerrada de

\vec{E}

$\vec{E}$ , sigue siendo ambiguo.

Podemos proporcionar la técnica de análisis de circuitos con las siguientes definiciones. Suponemos que se puede despreciar la radiación y que los componentes se agrupan. Se suponen condiciones cuasiestáticas. Reescribimos la ley de Faraday-Maxwell como una suma de $n+1$ trayectorias discretas que son continuas por tramos, tales que

\sum_{k = 0}^{norte} C_{k} = C

$\sum_{k=0}^n C_k = C$ Dónde

C

$C$ se define como arriba. De la definición de

ϕ

$\phi$ , sustituimos el primer término en la ley de Faraday, usando

\sum_{k = 0}^{norte} \oint_{C_{k}} \vec{mi} \cdot d \vec{yo} = \sum_{k = 0}^{norte} ϕ_{k}

$\sum_{k=0}^n \oint_{C_k} \vec{E} \cdot d\vec{l} = \sum_{k=0}^n \phi_k$ Y reemplazamos el símbolo

ϕ

$\phi$ por

V

$V$ para poner la suma en símbolos de teoría de circuitos...

\sum_{k = 0}^{norte} V_{k}

$\sum_{k=0}^n V_k$ Entonces la ley de Faraday se convierte en

\int_{S} \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot d \vec{s} + \sum_{k = 0}^{norte} V_{k} = 0

$\int_S \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot d\vec{s} + \sum_{k=0}^n V_k = 0$

Ahora hacemos la sustitución

V_{i} = \int_{S} \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot d \vec{s}

$V_i = \int_S \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot d\vec{s}$ Dónde

V_{i}

$V_i$ se denomina FEM inducida por su capacidad de inducir corriente en un conductor (por lo tanto, es una fuerza electromotriz). Esto produce

V_{i} + \sum_{k = 0}^{norte} V_{k} = 0

$V_i + \sum_{k=0}^n V_k = 0$ Que es la ley de voltaje de Kirchhoff como se ve en la teoría de circuitos. Esta definición parece depender de

V_{k}

$V_k$ estar bien definido, pero de hecho no requiere un camino independiente

V_{k}

$V_k$ , simplemente uno que se define a lo largo del circuito en cuestión, como veremos.

Para probar su punto, el Dr. Lewin coloca un lazo de alambre con dos resistencias en serie alrededor de un solenoide y enciende el solenoide, mientras prueba la misma posición con dos sondas de osciloscopio. Las dos sondas detectan diferentes voltajes cuando se presiona el interruptor, y debido a que el mismo punto en un circuito no debería medir dos voltajes diferentes, KVL ha fallado y se muestra que el potencial depende de la ruta.

Esta es, sin embargo, una conclusión incorrecta. En general, la ruta de integración de la ley de Faraday-Maxwell es arbitraria, pero la ruta del circuito es fija. La única ambigüedad en el potencial alrededor del bucle se debe a la naturaleza de la FEM inducida, que depende del área del bucle. Si se perturba la ruta de integración, el potencial entre dos puntos cambiará, pero el término EMF inducido también cambia, directamente opuesto. Teniendo en cuenta específicamente la ruta tomada por el circuito (desde una perspectiva macroscópica, por ejemplo, con cables y resistencias unidimensionales), la diferencia de potencial alrededor del bucle sigue siendo cero.

El sondeo del circuito, como señaló ElectroBOOM, es responsable de la falla percibida de KVL. Si bien el Dr. Lewin demostró correctamente la dependencia de la trayectoria del potencial eléctrico, descuidó el comportamiento directo de esta dependencia. Mediante la elección cuidadosa de la ruta de integración, incluidos los bucles de prueba, no hay discrepancia en el potencial total medido alrededor de un bucle.

Si bien es posible considerar $\vec{E}$ en términos de un potencial escalar y vectorial,

\vec{mi} = - \nabla Φ - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}

$\vec{E} = -\nabla \Phi - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}$ Y observar que las componentes conservativas y rotacionales de

\vec{E}

$\vec{E}$ permitir la aplicación directa de KVL al potencial escalar, esto es innecesario, y además,

Φ

$\Phi$ es solo una medida precisa del potencial eléctrico en el caso electrostático. Entonces, si bien el uso de potenciales es matemáticamente conveniente para la electrodinámica clásica general, no se requieren para resolver la dependencia de la trayectoria de

ϕ

$\phi$ , y el fracaso de

\vec{E} = \nabla ϕ

$\vec{E} = \nabla \phi$ .

Si bien la ley de voltaje de Kirchhoff no es una ley electrodinámica, es una ley de teoría de circuitos, y se confirma en el ejemplo que proporciona Lewin, contrariamente a sus resultados. La definición de KVL dada anteriormente es necesaria para analizar circuitos que incluyen elementos como transformadores, por debajo del límite donde las técnicas de análisis de líneas de transmisión son de uso común (generalmente cuando las longitudes de los componentes son $>>\lambda$ para una señal que se propaga en el circuito).

Ley de voltaje de Kirchhoff en un campo electromagnético general

¿Puede proporcionar la declaración exacta de lo que llama "KVL"? Porque cuando dices "ϕ depende de la ruta", eso es lo mismo que decir "KVL se viola" por lo que quiero decir cuando digo "KVL".
No hay nada sacrosanto en KVL, es claramente incorrecto si el circuito está irradiando o incluye una guía de ondas. Lo que señala Lewin y ElectroBOOM malinterpreta es que para aplicar KVL correctamente no podemos ignorar lo que significa voltaje en un circuito casi estacionario involucrado en la inducción magnética; el voltaje inducido no es lo mismo que el voltaje electrostático.
@ThePhoton Por "KVL" quiero decir que el potencial eléctrico alrededor de un circuito cerrado es cero (el potencial se define por la línea integral del campo eléctrico) en el caso de CC, e incluye el EMF inducido para el caso electrodinámico. Esto es necesario, por ejemplo, para el análisis de circuitos, incluidos los transformadores. Si tiene una definición separada de KVL, indíquela (e idealmente) derrívela o consulte una fuente, para que pueda ser revisada.
@hyportnex La pregunta es la validez de los supuestos de análisis de circuitos en el supuesto circuito. La derivación es clara, a menos que algo le resulte objetable, en cuyo caso sería más informativo señalarlo. El punto es que no se pierde nada en el análisis de circuitos cuasiestáticos al utilizar KVL siempre que se incluya EMF en los cálculos, como muestra mi derivación. Lo único "sacrosanto" de KVL es que es una reafirmación de la ley de Faraday-Maxwell para la teoría de circuitos, que, francamente, es bastante sacrosanta en la ED clásica.
@Sam, es tu pregunta. Depende de usted definir sus términos, no de mí. Edite su pregunta para incluir la información necesaria para responderla.
@ThePhoton Vea las ediciones para obtener una derivación más completa de "mi" KVL, como se ve en varias referencias sobre cómo derivar KVL de las ecuaciones de Maxwell.
@hyportnex El análisis de redes y el análisis de circuitos son, en mi opinión, temas separados. El análisis de redes es una técnica matemática, el análisis de circuitos es una colección de suposiciones que se utilizan al resolver problemas con las ecuaciones de Maxwell. Entonces, el análisis de redes es una técnica en el análisis de circuitos, y Maxwell gobierna sobre todo.
Muchas declaraciones de KVL no incluyen el término que llamó $V_i$ . Por ejemplo, aquí solo tenemos "La suma algebraica de voltajes en cualquier camino cerrado en un circuito es cero". (por supuesto, esta declaración deja fuera la condición previa de que estamos restringidos a circuitos agrupados).
O aquí : "La suma algebraica de los voltajes alrededor de cualquier circuito cerrado en un circuito es idénticamente cero para todo el tiempo".
O aquí : "La suma de las subidas y bajadas de tensión en un circuito cerrado en cualquier instante de tiempo son iguales".
Naturalmente, si agrega un término ( $V_i$ ) para tener en cuenta el cambio de flujo magnético a través del circuito, entonces puede tener una versión de KVL que tenga en cuenta el cambio de flujo magnético a través del circuito. Pero este no es el que generalmente se presenta en los cursos de teoría de circuitos, y no es en el que la gente piensa cuando dice "KVL no tiene en cuenta el flujo magnético cambiante a través del circuito".
@ThePhoton Descuidar el voltaje inducido genera problemas, por ejemplo, con transformadores, por lo que la teoría del circuito debe tenerlo en cuenta. Por ejemplo, en el primer libro que vincula (Redes y circuitos eléctricos), el autor hace referencia específica a "voltajes" que no son electrostáticos, incluidos los voltajes inducidos y electroquímicos. EMF está definido, por lo que el autor puede incluir un término EMF en un saldo KVL más adelante (no tengo idea si lo hace) sin confundir al lector. La información está ahí, es el uso suelto de "voltaje" lo que hace que parezca que no lo está.
@SamGallagher, normalmente, en teoría de circuitos, tratamos con inductores y transformadores asumiendo que solo afectan directamente los voltajes entre los nodos a los que realmente están conectados. Entonces podemos dar cuenta de su efecto a través de un $V_k$ término, y todavía no necesita el $V_i$ término, y aún sin considerar el efecto de cambiar el flujo a través de los bucles formados por el circuito como un todo.
@ThePhoton ¡Bueno, eso lo explica! Yo mismo soy ingeniero eléctrico, pero estudio mucha física, especialmente electromagnética (para el diseño de microondas), por lo que este fue un problema particularmente interesante. Ahora que menciona la idea de 'solo afectar sus nodos', está claro dónde radica la discrepancia.

el fotón · Answer 1

$V_{i} + \sum_{k = 0}^{norte} V_{k} = 0$ $V_i + \sum_{k=0}^n V_k = 0$ Que es la ley de voltaje de Kirchhoff como se ve en la teoría de circuitos.

Esta no es la forma habitual de KVL que usamos en la teoría de circuitos. Por ejemplo,

KS Suresh Kumar en Electric Circuits and Networks establece la ley como "La suma algebraica de voltajes en cualquier camino cerrado en un circuito es cero".
Dorf y Svoboda, Introducción a los circuitos eléctricos , dice: "La suma algebraica de los voltajes alrededor de cualquier circuito cerrado en un circuito es idénticamente cero para todo el tiempo".
CL Wadhwa, Network Analysis , tiene "La suma de las subidas y bajadas de tensión en un circuito cerrado en cualquier instante de tiempo es igual"

Todos estos son esencialmente solo los $\sum_k V_k$ término de su declaración de la ley.

Al incluir el $V_i$ término para dar cuenta del flujo magnético cambiante rodeado por el circuito, de hecho ha formado una versión de la ley que da cuenta del flujo magnético cambiante rodeado por el circuito. Pero eso no significa que las formas más comunes de KVL lo tengan en cuenta.

La definición de KVL dada anteriormente es necesaria para analizar circuitos que incluyen elementos como transformadores.

Esto no es realmente cierto. Por lo general, simplemente modelamos transformadores o inductores como dispositivos que afectan directamente solo los voltajes entre los nodos a los que están conectados directamente. Por ejemplo, modelamos un inductor ideal conectado entre los nodos a y b con la relación

V_{a b} = L \frac{d I}{d t} .

$V_{ab} = L\frac{{\rm d}I}{{\rm d}t}.$

Con esta relación, el voltaje del inductor es simplemente uno de los $V_k$ en nuestra ecuación KVL, y no necesitamos introducir $V_i$ .

Lo que no podemos modelar sin el $V_i$ término, y normalmente no se modela bajo KVL, es el efecto del flujo a través de los bucles encerrados por los elementos del circuito y los cables que los conectan.

Por ejemplo, en este circuito simple

el KVL habitual no puede dar cuenta de la EMF producida al cambiar el flujo magnético en el bucle formado por el interruptor, la celda y la bombilla y los cables que los conectan.

(fuente de la imagen aquí )

Markoul11 · Answer 2

El profesor Walter Lewin tiene razón.

La ley de voltaje de Kirchhoff se cumple solo cuando la fuente de voltaje está dentro y es parte del circuito de corriente. Incluso en un circuito de transformador, la bobina secundaria del transformador actúa como la fuente de tensión conectada del circuito de componentes conectado al secundario. La explicación del Dr. Lewin https://www.youtube.com/watch?v=LzT_YZ0xCFY muestra claramente que la fuente de voltaje (es decir, el electroimán) no está conectada y forma parte del circuito de carga objetivo.

Para empezar, no hay una fuente de voltaje en el circuito y aplique la Ley de voltaje de Kirchhoff. La ley de voltaje de Kirchhoff no es incorrecta sino que simplemente no es aplicable en este caso.

La teoría de la antena es más adecuada para describir el caso en el que diferentes elementos de impedancia son irradiados con EM con una sola señal transitoria y, de acuerdo con su impedancia, desarrollan una señal de recepción transitoria de caída de tensión.

Que lo que no se entiende bien es que no se trata de dos caminos (elementos) resistivos diferentes conectados en paralelo en un circuito fuente de voltaje que debe tener el mismo valor de caída de voltaje en cada camino, sino el caso de un bucle inductivo con no uniforme. resistencia distribuida a lo largo de la espira. Por lo tanto, los diferentes segmentos de resistividad del bucle no están en paralelo sino en serie.

Excelente análisis de la paradoja de Lewin, videos:

https://www.youtube.com/watch?v=xMePTKuAixE

https://www.youtube.com/watch?v=OmlnGei1xo8

También nueva evidencia experimental de la dependencia de la ruta (video): https://www.youtube.com/watch?v=lehe18VoeNM

Conclusión final, como lo demostró el Prof. Walter Lewin, KVL no puede manejar fem inducidas de campos no conservativos como un campo magnético externo que varía en el tiempo e integrarlos como fuentes de voltaje normales (es decir, fem conservadora) en un circuito de componente eléctrico. La ley KVL exige que la fuente de fem se conecte al circuito para que el flujo de energía de la fuente se dirija dentro de la ruta del circuito específico cada vez y sea independiente de otras rutas fuera del circuito.

Análisis completo del problema aquí en este video: youtube.com/watch?v=xMePTKuAixE

Ján Lalinský · Answer 3

El potencial eléctrico, $\phi$ , se define como la integral de línea del campo eléctrico, $\vec{E}$ ,
$ϕ = \int_{C} \vec{mi} \cdot d \vec{yo}$ $\phi = \int_C \vec{E} \cdot d\vec{l}$ ...entonces $\phi$ es dependiente de la ruta.

¿Me he perdido algo en mi derivación o he malinterpretado un resultado?

Piense en esto por un momento: si el potencial eléctrico se definiera, en general, como integral del campo eléctrico total, siempre sería dependiente de la trayectoria. Porque siempre hay algunos campos eléctricos solenoidales en alguna parte y podríamos lograr cualquier valor simplemente extendiendo y torciendo el camino apropiadamente. Sin embargo, en todos los usos prácticos del potencial eléctrico, siempre se supone que el potencial tiene un valor único en cada punto del espacio. ¿Cómo podría funcionar tan bien? ¿Quizás el potencial se define de manera diferente?

La definición general de potencial eléctrico es la siguiente: una función de posición de un solo valor $\Phi$ que obedece

mi = - \nabla Φ - \partial_{t} A

$\mathbf E = - \nabla \Phi - \partial_t \mathbf A$ dónde

A

$\mathbf A$ también es una función de posición de un solo valor, lo que proporciona un campo magnético a través de la operación rotacional. Entonces, en general, el potencial eléctrico no puede expresarse únicamente como integral del campo eléctrico total. Este es un concepto erróneo sorprendentemente común.

La integral del campo eléctrico total se usa como definición de voltaje solo en electrostática donde el campo total es el mismo que su componente electrostático. Allá, $\partial_t \mathbf A$ desaparece, por lo que funciona allí, pero en general, la fórmula integral es ambigua y no da el voltaje correcto.

En el uso práctico de "ingeniería" del concepto de potencial, incluidos los casos en los que el campo total no es electrostático, se utiliza el indicador de Coulomb, donde el potencial es una función de las posiciones instantáneas de todas las cargas del sistema. Voltaje, cuando se escribe / dice sin calificación (a diferencia de "voltaje inducido" o "voltaje electromotriz" (fem no inglés)) significa simplemente diferencia de valores de este potencial de Coulomb. Por lo tanto, la suma de voltajes a lo largo de cualquier camino cerrado es cero. La ley KVL, cuando se entiende como afirmación sobre este voltaje, es siempre verdadera. Aunque también es cierto que KVL puede no ser siempre muy útil, especialmente si varios de esos voltajes no se pueden medir de manera confiable con un voltímetro (como en los ejemplos de Lewin).

hyportnex · Answer 4

Esto es para ampliar lo que escribió @The_Photon. El Prof. Lewin demuestra en un experimento simple que el voltaje no se puede definir de manera única cuando hay un campo magnético cambiante: conectar dos voltímetros al mismo par de puntos da como resultado dos mediciones completamente diferentes. Lewin culpa a KVL (Ley de voltaje de Kirchhoff - bucle) por la discrepancia, pero creo que el problema está un paso antes de que podamos aplicar KVL, es decir, al tener un circuito en el que el campo magnético se extiende por todo el circuito y no tenemos agrupado elementos para los cuales el KVL yKIL son aplicables. Lo que lo hace inaplicable no es simplemente que el circuito consta de un par de resistencias y un solenoide con una corriente variable en el medio, sino que se nos permite sondear dentro de ese circuito con cables conductores que se ven afectados por el campo magnético variable en el tiempo. si en lugar de $\textbf{B}$ estaríamos usando el vector potencial $\textbf{A}$ nos daríamos cuenta de que incluso cuando $\textbf{B}=0$ , el vp no es cero, y no hay duda de que los voltímetros están en el campo magnético variable en el tiempo definido por $\textbf{A}$ : $\textbf{curlE}= -\frac{\partial{\textbf{curlA}}}{\partial t}$ , y por lo tanto para un ciclo arbitrario $\mathcal{L}$

$\oint_{\mathcal{L}} \textbf{E}\cdot d\ell = -\frac{\partial}{\partial t}\oint_{\mathcal{L}} \textbf{A}\cdot d\ell$ .

Entonces, a pesar de que el $\textbf{B}$ el campo es esencialmente cero fuera del solenoide en todas partes donde medimos el voltaje, ni el potencial del vector $\textbf{A}$ ni su derivada temporal $\dot {\textbf{A}}$ es cero allí y nuestros voltímetros, por lo tanto, a través de sus cables, también se ven afectados.

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EMF no conservativa alrededor de un circuito y deslocalización de EMF de movimiento

Derivación elemental de P=UIP=UIP = UI a partir de la definición de voltaje como trabajo realizado por unidad de carga

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