Pruebas generales de divisibilidad de la forma 7∣10b+a⟺7∣b−2a⟺7∣b+5a7∣10b+a⟺7∣b−2a⟺7∣b+5a\, 7\mid10b+a\!\iff\ ! 7\mid b-2a\!\iff\! 7\media b+5a.

[Los lectores que no estén familiarizados con las congruencias, pasen a "Sin mod" a continuación y tengan en cuenta que la notación$\ a\mid b\ $medio$\ a\,$divide$\,b,\,$es decir$\, an = b\,$por algún entero$\,n$].

Vamos a derivarlo . Dejar$\, n = 10b + a\,$para$\,a =$dígito de las unidades. La idea es simplificar el coeficiente.$\,10\,$a$\,1\,$modificación$\,7\,$escalando$n\,$por$\,\color{#c00}{10^{-1}\equiv -2}\pmod{\!7},\ $desde$\, \color{#c00}{-2\cdot 10\equiv 1},\,$es decir

Lo mismo funciona para cualquier divisor.$\,d\,$coprime a$10$usando$\,\color{#c00}{c\equiv 10^{-1}\pmod{\!d}}$

El$\color{#c00}{\rm second}\!\!\color{red}{\iff}$es bidireccional ya que escalar por un elemento invertible es una operación invertible:para invertir la escala por$\color{#c00}{-2}\,$escalamos por su inversa$\color{#c00}{10}$, es decir$10$veces la segunda congruencia produce la primera. En general, al igual que las ecuaciones, escalar una congruencia por un número invertible produce una congruencia equivalente (recuerde que un entero modular es invertible$\!\iff\!$es coprimo al módulo, por Bezout ).

Este método funciona para cualquier divisor coprimo$\,d\,$y raíz$\,r\,$exactamente como arriba, es decir

sin mod $\ $Eliminar el lenguaje de congruencia anterior produce pruebas más elementales

Por$\color{#90f}{\rm Lemma}$:$\ \gcd(\color{#c00}{7,-2})=1\,$entonces$\, 7\mid 10\,b\,+\,a\ \iff\ \ \color{#c00}{7\,\mid\! {-}2}(10b\!+\!a)\!\color{#0a0}{+\!7(3b)} = b - 2a$

Por$\color{#90f}{\rm Lemma}$:$\ \gcd(\color{#c00}{7,\,5})\:=\:1\,$entonces$\ 7\mid 10\,b\,+\,a\ \iff\,\ \color{#c00}{7\, \mid\,\ 5}\:(10b\!+\!a)\!\color{#0a0}{-\!7(7b)} =\, b +5a$

$\color{#90f}{\bf Lemma}\ $Si$\, \gcd(\color{#c00}{7,c})=1\,$entonces$\ 7\mid n\!\!\!\!\overset{\rm EL\!\!}\iff\!\! \color{#c00}{7\mid c}n\!\!\iff\! \!\color{#c00}{7\mid\, c}\ n \color{#0a0}{+7\, m}\ $por$\rm EL =$ Lema de Euclides

Observación $\,$La prueba de divisibilidad funciona para todos los enteros.$\,a,b\,$(no solo dígitos en base decimal rep), por ejemplo$\,a,b\,$puede ser negativo. Dicho en fracciones:$\,10b+a\equiv0\iff b\equiv -a/10\equiv 2a\pmod{\!7}.\,\,$Tenga en cuenta que el caso especial$\,a\equiv -1\,$produce el inverso de$10,\,$a saber$\,1/10\equiv -2.\,$Exactamente el mismo método que el anterior funciona para cualquier divisor$\,d\,$coprimos a la raíz$\,r\,$(entonces$\,r\,$es invertible$\!\bmod d)$.

Alternativamente, podemos usar la prueba de divisibilidad universal que, a diferencia de la prueba de divisibilidad anterior que calcula solo un valor de verdad binario, tiene la ventaja de calcular el resto , por lo que puede usarse para verificar la aritmética, etc., como al descartar nueves y onces .

A continuación se muestra una variante común de dichas pruebas de divisibilidad, por ejemplo, ver aquí (eliminado) o aquí (brilliant.org) .

Teorema Si$\,10c\!-\!ud=\color{#c00}1\,$entonces$\,10t\!+\!u\mid 10b\!+\!a \iff 10t\!+\!u\mid b\!+\!(c\!+\!dt)a$

Prueba $\bmod \!10t\!+\!u\!:\ 10\,(b\!+\!(c\!+\!dt)a) = 10b\!+\!(\color{#c00}1)a\,$por$\,10t\equiv -u,\,$ por eso

se sigue del Lema de Euclides, ya que$\color{#0a0}{(n,10)} = (10t\!+\!u,10)=(u,10)=\color{#c00}1.\ \small\bf QED$

$10c\!-\!ud=1\Rightarrow\bmod 10\!:\ d\equiv -u^{-1},\,$por ejemplo, podemos elegir$\,d = -u^{-1}\bmod 10.$

P.ej$\,u = 1\Rightarrow\, d\equiv -1/1\equiv 9 ,\,$entonces$\,c = (1\!+\!ud)/10 = 1,\,$entonces

P.ej$\,u = 3\Rightarrow\, d\equiv -1/3\equiv 9/3\equiv 3,\,$entonces$\,c = (1\!+\!ud)/10 = 1,\,$entonces

P.ej$\,u = 7\Rightarrow\, d\equiv -1/7\equiv 9/(-3)\equiv -3\equiv 7,\,$entonces$\,c = (1\!+\!ud)/10 = 5,\,$entonces

P.ej$\,u = 9\Rightarrow\, d\equiv -1/9\equiv 9/9\equiv 1 ,\,$entonces$\,c = (1\!+\!ud)/10 = 1,\,$entonces

Pista: desde$n$, restar$21\cdot a_0$y luego dividir el resultado por$10$.

Dejar$N=10a+b$

Si$7|A$y$7|B$, entonces$7|(A-B)$y$7|(A+B)$por la propiedad distributiva.

Entonces$21a$es claramente divisible por 7. Entonces si$7|(a-2b)$,$7|N$.

En cambio,$21a-N=(a-2b)$. Si$7|N$, entonces$7|(a-2b)$.

Entonces$7|N$si y si$7|(a-2b)$

Por un razonamiento similar,$7|N$si y si$7|(3a+b)$.

Es posible que desee probar una prueba similar para:

Dado,$N=100a+10b+c$,$7|n$si y si$7|(2a+3b+c)$

Porque$\gcd(10,7) = 1$entonces$7|k\iff 7|10k$.

Y$7|m \iff 7|m + 7*j$para cualquier$j\in \mathbb Z$.

....

Aviso

$n = \sum_{i=0}^r a_i10^i$y$m =-2a_0 + \sum_{i=1}^r a_i10^{i-1}$.

$10m = -20a_0 + \sum_{i=1}^r a_i10^{i}$

$10m + 21a_0 = a_0 + \sum_{i=1}^r a_i10^{i}=\sum_{i=0}^r a_i10^{i}=n$

.....

$7|m \iff 7|10m \iff 7|10m + 21a_0=n$