¿Por qué 999 y 111111 son especiales en las pruebas de divisibilidad que utilizan sumas de dígitos decimales? (echar nueves y onces)

No del todo bien, ya que$9\times 0 = 0$y los dígitos no suman$9$; pero por lo demás correcto.

La razón por la que funciona es que escribimos números en base$10$, y cuando divides$10$por$9$, el resto es$1$. Tome un número, digamos,$184631$(Me lo acabo de inventar). Recuerda lo que eso realmente significa:

Pero como todo múltiplo de$9$ es múltiplo de$9$, siempre obtendrás$9$.

Tenga en cuenta que usted tiene un fenómeno similar con$3$(un divisor de$9$), ya que sumar los dígitos de un múltiplo de$3$siempre dará como resultado uno de los múltiplos de un dígito de$3$:$3$,$6$, o$9$.

Si escribimos en base$8$, en lugar de base$10$, entonces$7$tendría la propiedad: si escribes un número en base$8$y sumar los dígitos (en base 8) hasta llegar a un solo dígito entre$1$y$7$, entonces los múltiplos de$7$siempre terminará cediendo$7$, precisamente por la misma razón. Y si escribimos en base$16$, entonces$15$(o más bien, F) tendría la propiedad. En general, si escribes en base$b$, entonces$b-1$tiene la propiedad.

Este es un caso especial de sacar nueves , que a su vez es un caso especial de aritmética modular . Es lo que está detrás de muchas pruebas de divisibilidad (por ejemplo, para$2$,$3$,$5$,$9$, y$11$).

Coda. Esto me recuerda una anécdota que contaba un profesor mío: una vez un estudiante se le acercó y le dijo que había descubierto una manera muy fácil de probar la divisibilidad de cualquier número.$N$por cualquier número$b$: escribir$N$en base$b$, y ver si el último dígito es$0$. Supongo que, de manera equivalente, podrías escribir$N$en base$b+1$y suma los dígitos para ver si obtienes$b$al final.

Es un caso especial de sacar nueves, lo cual es obvio cuando se ve a través de la aritmética modular:

$\rm\quad mod\,\ 9\!:\, \ \color{#c00}{10\equiv 1}\ \Rightarrow\ P(\color{#c00}{10})\equiv P(\color{#c00}1)\ \,$para todos$\rm\color{#0a0}{polynomials}$ $\rm\,P(x)\,$con coeficientes enteros

por el$\rm\color{#0a0}{Polynomial}$Regla de congruencia .

Pero la notación radix tiene$\rm\color{#0a0}{polynomial}$forma, por ejemplo$\rm\ N = 567 = P(10)\,$para$\rm\, P(x) = 5\, x^2 + 6\,x + 7.\,$Así lo anterior implicamodificación$\,9\!:\ \rm N = P(10)\equiv P(1) =$la suma$\rm\,S_N$de los dígitos decimales de$\rm\,N,\,$de este modo$\rm \bmod 9\!:\,\ 567 \equiv 5\!+\!6\!+\!7\equiv 18\equiv 1\!+\!8\equiv 9,\,$entonces$\,9\mid 567,\,$es decir$\,9\,$divide$\,567$.

OP es un caso especial$\rm\ N\equiv 0\pmod{\! 9}\ $asi que por arriba queda$\equiv 0\ $si mapeamos$\rm N$a su suma de dígitos$\rm\,S_N.\,$Este mapa es estrictamente decreciente para$\rm\:N > 9,\,$por lo que la iteración eventualmente alcanza algunos$\rm\: N' \le 9.\ $Pero$\rm\ N'\equiv 0\pmod{\!9}\,$entonces$\rm\: N' = 9\,$ $\rm (N'\!\neq0\,$por$\rm\,N>0\,$tiene un dígito distinto de cero por lo que$\rm\,S_N>0)$.

Si la aritmética modular no está familiarizada, podríamos usar las reglas de divisibilidad o proceder de la siguiente manera:

Teorema del factor $\rm\,\Rightarrow\, X\!-\!1\mid P(X)\!-\!P(1)\ $entonces$\rm\ X = 10\ \Rightarrow\ 9\mid P(10)\!-\!P(1)\ $es decir$\rm\; 9\mid N\! -\! S_N$

El resultado análogo es válido para cualquier base$\rm\:b,\,$es decir, podemos emitir$\rm\:b\!-\!1$es de la misma manera, ya que

$\rm\quad \bmod\, \color{}{b\!-\!1\!}:\,\ \color{#c00}{b\equiv 1}\,\Rightarrow\, N=P(\color{#c00}b) \equiv P(\color{#c00}1)= \text{sum of radix $\rm\,b\,$ digits of }\, N$

Por eso$\,\rm \bbox[5px,border:1px solid #c00]{\text{the divisor $\,9\,$ is 'special' in radix $\,10\,$ because }\, \color{#c00}{10\,\equiv\, 1}\,\pmod{\! 9}}$

Del mismo modo lanzamos$11$es por$\!\rm\bmod 11\!:\ \color{#c00}{10\equiv -1}\,\Rightarrow\, P(\color{#c00}{10})\equiv P(\color{#c00}{-1})\equiv p_0 -p_1 + p_2 -p_3 +\cdots$

Por eso$\,\rm \bbox[5px,border:1px solid #c00]{\text{the divisor $11$ is 'special' in radix $\,10\,$ because } \color{#c00}{10\equiv -1}\pmod{\!\! 11}}$

Del mismo modo podemos lanzar$\,1001 = 7\cdot 11\cdot 13\,$tomando la suma de dígitos alternos en base$\,10^3,\,$dando una prueba de divisibilidad combinada para$\,7,11,13\,$. Obtenemos innumerables pruebas de divisibilidad a través de dicha reducción modular, por ejemplo, vea aquí para ver la extracción$\,91$'s.

Merece ser mejor conocido que también podemos descartar nueves para verificar la aritmética racional , siempre que las fracciones tengan un denominador coprimo con$3$, por ejemplo, véase Hilton; Pedersen,$1981,\,$ Expulsión de nueves revisada (estos resultados son muy antiguos). Observaciones análogas son válidas para cualquier anillo que tenga$\ \mathbb Z/9\ $como una imagen - al igual que uno puede aplicar argumentos de paridad en cualquier anillo que tiene$\ \mathbb Z/2\ $como una imagen, por ejemplo, el anillo de todos los racionales con denominador impar, o el anillo de los enteros gaussianos$\,\mathbb Z[i],\,$donde esta la imagen$\, \mathbb Z[i]/(2,i\!-\!1) \cong \mathbb Z/2\ $produce la definición de paridad natural:$\, a+b\:i\ $incluso$\iff a\equiv b\pmod{\! 2},\,$es decir, si$\, a+b\:i\ $mapas a$\:0\:$a través del isomorfismo anterior, que mapea$\, 2\to 0,\ i\to 1\:$. Consulte aquí para obtener más información sobre la paridad en anillos de enteros algebraicos, incluidos ejemplos de anillos numéricos sin estructura de paridad y con más de una estructura de paridad. Vea también esta publicación para "lanzar órdenes" en grupos cíclicos, y vea este hilo para una comparación en profundidad de varias pruebas inductivas elementales de lanzar nueves.

Estos son ejemplos prototípicos elementales de resolución de problemas mediante reducción modular , una de las piedras angulares del álgebra abstracta. Como tal, uno debe asegurarse de comprender estas instancias simples antes de pasar a manifestaciones más avanzadas de reducción modular.

Tener cuidado Tales reglas de exclusión a menudo se recomiendan para su uso en la verificación de la aritmética. Pero tenga en cuenta que dichas comprobaciones no revelarán todos los errores aritméticos, es decir, puede haber muchos "falsos positivos", ya que la comprobación solo verifica que las expresiones concuerdan módulo algún número pequeño, por ejemplo, números enteros que concuerdan mod$10$significa sólo que tienen los mismos dígitos finales. Para remediar esto podemos realizar comprobaciones de módulo con suficientes módulos coprimos (ver CRT = Teorema chino del resto ). Este es un ejemplo de varias técnicas de "elevación" empleadas en los métodos de cálculo modular , sobre los cuales puede leer en la mayoría de los libros de texto sobre álgebra computacional, por ejemplo, Knuth, TAOCP, vol. 2, Algoritmos seminuméricos , o von zur Gathen: Álgebra informática moderna .

Supongo que hay muchas maneras de decir esto: lo que tenía sentido para mí cuando me enfrenté por primera vez a este hecho es que el número "$abcd$" es$1000a+100b+10c+d=(999a+99b+9c)+a+b+c+d$. El primer término es claramente divisible por$9$así que si la suma de los dígitos es entonces "$abcd$"también es...

Esto se sigue de la prueba de divisibilidad para$9$y del hecho de que la suma de los dígitos de un número natural con más de un dígito es estrictamente menor que el propio número, es decir, si$n$es un número natural con más de un dígito y si$s(n)$denota la suma de los dígitos del número natural entonces$s(n)<n$. Su observación se puede fortalecer para notar que si seguimos sumando los dígitos repetidamente, el número final que nos queda es el resto cuando se divide por$9$.

Esta propiedad se basa en el hecho de que$9$es uno menos$10$que es la base del sistema numérico con el que está trabajando debido a esto, cualquier potencia de$10$igualará$1$módulo$9$.

$9$también es especial para cuentas en la búsqueda de errores contables de dígitos transpuestos.

$124+256+345=725$

$124+265+345=734$

$734-725=9$

La "especialidad" de$9$surge del hecho de que$10 \equiv 1 \pmod{9}$.

Entonces, en nuestro sistema numérico de base 10 en el que un número entero se puede expresar como

todo lo que tenemos que hacer es evaluar la suma$d_{k} + d_{k-1} + \ldots + d_{1} + d_{0}$y comprueba si es divisible por$9$para determinar si el entero dado es divisible por$9$.

Finalmente, tenga en cuenta que también existe una prueba similar con justificación análoga para determinar si un número entero dado es divisible por$3$, como$10 \equiv 1 \pmod{3}$.