Cálculos de tiempo retrospectivo y edad del universo

Question

Cálculos de tiempo retrospectivo y edad del universo

Yukterez

Intento calcular la edad del universo con el modelo FLRW:

H (a) = H_{0} \sqrt{Ω_{R, 0} {(\frac{a_{0}}{a})}^{4} + Ω_{METRO, 0} {(\frac{a_{0}}{a})}^{3} + (1 - Ω_{T, 0}) {(\frac{a_{0}}{a})}^{2} + Ω_{Λ, 0}} .

$H(a) = H_0 \sqrt{\Omega_{\mathrm{R},0} \left(\frac{a_0}{a}\right)^4 + \Omega_{\mathrm{M},0} \left(\frac{a_0}{a}\right)^3 + (1-\Omega_{\mathrm{T},0}) \left(\frac{a_0}{a}\right)^2 + \Omega_{\Lambda,0}}.$

lo puse $\Omega_{\mathrm{M},0} = 0.317$ (densidad de la materia) y $\Omega_{\Lambda,0} = 0.683$ (energía oscura), según lo entregado por Planck 2013; $\Omega_{\mathrm{T},0} = 1.02$ (curvatura del espacio), según este sitio ; y $\Omega_{\mathrm{R},0} = 4.8\times10^{-5}$ (densidad de radiación), según este documento .

Por el momento $t(a)$ tomo el factor de escala $a$ y dividirlo a través de la velocidad de recesión integrada

t (a) = \frac{a}{\int_{0}^{a} H (a^{'}) a^{'} d a^{'} / (a - 0)}

$t(a) = \frac{a}{\int_0^a{H(a')a'\ \mathrm{d}a'}/(a-0)}$ y finalmente simplificar a

t (a) = \frac{a^{2}}{\int_{0}^{a} H (a^{'}) a^{'} d a^{'}} .

$t(a) = \frac{a^2}{\int_0^a{H(a')a'\ \mathrm{d}a'}}.$

Pero el problema es que luego me pongo $8\times10^9$ años para la edad del universo, pero debería estar alrededor $12\times10^9$ años (que obtengo cuando configuro $\Omega_{\mathrm{R},0}$ a cero):

$\Omega_{\mathrm{R},0} = 4.8\times10^{-5}$ : gráfico para el primer valor del contenido de radiación

$\Omega_{\mathrm{R},0} = 0 \to 0.00001$ : gráficas para cambiar el valor del contenido de radiación

¿Tengo que usar otros modelos además de FLRW/ΛCDM, o uno de mis parámetros está desactualizado?

usuario10851

Hola, Симон Тыран, y bienvenido a Physics Stackexchange. Un par de nosotros hicimos una edición importante para escribir sus fórmulas; debe asegurarse de que no cambiamos inadvertidamente el significado de su pregunta. Para futuras preguntas, alentamos el uso del formato de estilo Latex para que las preguntas sean más fáciles de leer y para ayudarlas a obtener más votos a favor;)

Respuestas (1)

Cálculos de tiempo retrospectivo y edad del universo

Hola, Симон Тыран, y bienvenido a Physics Stackexchange. Un par de nosotros hicimos una edición importante para escribir sus fórmulas; debe asegurarse de que no cambiamos inadvertidamente el significado de su pregunta. Para futuras preguntas, alentamos el uso del formato de estilo Latex para que las preguntas sean más fáciles de leer y para ayudarlas a obtener más votos a favor;)

púlsar · Answer 1

La densidad de energía total es por definición

Ω_{T, 0} = Ω_{R, 0} + Ω_{METRO, 0} + Ω_{Λ, 0},

$\Omega_{T,0} = \Omega_{R,0} + \Omega_{M,0} + \Omega_{\Lambda,0},$ entonces con los valores que cita (

Ω_{R, 0} = 4.8 \times 10^{- 5}

$\Omega_{R,0}=4.8\times 10^{-5}$ ,

Ω_{M, 0} = 0.317

$\Omega_{M,0}=0.317$ ,

Ω_{Λ, 0} = 0.683

$\Omega_{\Lambda,0}=0.683$ ), obtenemos

Ω_{T, 0} = 1

$\Omega_{T,0} = 1$ , o en una notación más común

Ω_{K, 0} = 1 - Ω_{T, 0} = 0

$\Omega_{K,0}=1-\Omega_{T,0}=0$ , es decir, un espacio con curvatura cero.

También es común definir el valor actual del factor de escala como $a_0=1$ , de modo que

H (a) = H_{0} \sqrt{Ω_{R, 0} a^{- 4} + Ω_{METRO, 0} a^{- 3} + Ω_{k, 0} a^{- 2} + Ω_{Λ, 0}} .

$H(a) = H_0\sqrt{\Omega_{R,0}a^{-4} + \Omega_{M,0}a^{-3} + \Omega_{K,0}a^{-2} + \Omega_{\Lambda,0}}.$

Entonces, la edad del universo se puede derivar de la siguiente manera: a partir de

\frac{d a}{d t} = \dot{a},

$\frac{\text{d}a}{\text{d}t} = \dot{a},$ obtenemos

\begin{aligned} d t & = \frac{d a}{\dot{a}} = \frac{d a}{a H (a)} = \frac{a d a}{a^{2} H (a)} \\ = \frac{1}{H_{0}} \frac{a d a}{a^{2} \sqrt{Ω_{R, 0} a^{- 4} + Ω_{METRO, 0} a^{- 3} + Ω_{k, 0} a^{- 2} + Ω_{Λ, 0}}} \\ = \frac{1}{H_{0}} \frac{a d a}{\sqrt{Ω_{R, 0} + Ω_{METRO, 0} a + Ω_{k, 0} a^{2} + Ω_{Λ, 0} a^{4}}} . \end{aligned}

$\begin{align} \text{d}t &= \frac{\text{d}a}{\dot{a}} = \frac{\text{d}a}{aH(a)} = \frac{a\,\text{d}a}{a^2H(a)}\\ &= \frac{1}{H_0}\frac{a\,\text{d}a}{a^2\sqrt{\Omega_{R,0}a^{-4} + \Omega_{M,0}a^{-3} + \Omega_{K,0}a^{-2} + \Omega_{\Lambda,0}}}\\ &= \frac{1}{H_0}\frac{a\,\text{d}a}{\sqrt{\Omega_{R,0} + \Omega_{M,0}a + \Omega_{K,0}a^2 + \Omega_{\Lambda,0}a^4}}. \end{align}$ Al integrar se obtiene la diferencia entre el momento en que se emite una señal y el momento en que se observa:

t_{transmisión exterior} - t_{ellos} = \frac{1}{H_{0}} \int_{a_{ellos}}^{a_{transmisión exterior}} \frac{a d a}{\sqrt{Ω_{R, 0} + Ω_{METRO, 0} a + Ω_{k, 0} a^{2} + Ω_{Λ, 0} a^{4}}},

$t_{\text{ob}} - t_{\text{em}} = \frac{1}{H_0}\int_{a_{\text{em}}}^{a_{\text{ob}}} \frac{a\,\text{d}a}{\sqrt{\Omega_{R,0} + \Omega_{M,0}a + \Omega_{K,0}a^2 + \Omega_{\Lambda,0}a^4}},$ y la edad del universo es

t_{0} = \frac{1}{H_{0}} \int_{0}^{1} \frac{a d a}{\sqrt{Ω_{R, 0} + Ω_{METRO, 0} a + Ω_{k, 0} a^{2} + Ω_{Λ, 0} a^{4}}} .

$t_0 = \frac{1}{H_0}\int_0^1 \frac{a\,\text{d}a}{\sqrt{\Omega_{R,0} + \Omega_{M,0}a + \Omega_{K,0}a^2 + \Omega_{\Lambda,0}a^4}}.$ Esto debería darte la edad correcta.

@Pulsar, estas seguro? ¿Por qué los factores de potencia del factor de escala están invertidos en su integral de tiempo, de modo que ΩR es constante, ΩM lineal y ΩΛ con a^4? Esta función se vería como 666kb.com/i/cdvhxl9dw1exeanm4.png
Sí, fíjate que he escrito un extra $a$ en el numerador, por lo que $dt = a\,da/(a^2\,H(a))$ , y el $a^2$ en el denominador se puede escribir debajo de la sqrt. También es interesante notar que el pico en el integrando se corresponde con el momento en que la expansión del universo comenzó a acelerarse.
Pero, ¿cómo es que ΩΛ pasa de constante a a^4 y ΩR de a^-4 a constante, mientras que ΩM pasa de a^-3 a ay ΩM de a^-2 a a^2? ¿El patrón es a^(n+4) o por qué? He trazado su sugerencia en la trama roja; te entendí bien? Parcela: 666kb.com/i/cdx9yebs8odlknm6k.png PD: Parece que mi pregunta inicial (por qué obtengo 8 en lugar de 12 Gyr con mi factor de escala hecho por mí mismo a través de la integral de velocidad de recesión integrada) tiene su respuesta en el precio numérico; cuando evito la singularidad en a=0, obtengo los 12 Gyr esperados (parcela azul)
He agregado dos pasos adicionales en mi respuesta, espero que las cosas estén claras ahora. Realmente es la fórmula correcta, la encontrarás en todos los cursos de cosmología (por ejemplo, en la página 14 de casa.colorado.edu/~ajsh/phys5770_08/frw.pdf ). no se que valor tiene $H_0$ usaste, pero con $H_0=67.3\;\text{km}\,\text{s}^{-1}\,\text{Mpc}^{-1}$ , debería obtener una edad de 13,79 mil millones de años.
¿Alguien puede explicar el significado de ese hecho de que $\ddot{a}$ no aparece en esta respuesta? ¿Hay una suposición implícita en alguna parte?

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Yukterez

usuario10851

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