¿Dimensión del espacio de Hilbert de espín 1/21/21/2 partículas idénticas?

Question

¿Dimensión del espacio de Hilbert de espín 1/21/21/2 partículas idénticas?

kamil

Considere un sistema de $N$ girar $1/2$ partículas Suponga que el espín es el único grado de libertad y, por lo tanto, no hay componente espacial. Entonces la dimensión del espacio de Hilbert en este caso es $2^N$ . Esto se deduce ya que en este caso tenemos $j_1 = j_2 = \ldots = j_N = 1/2.$ Y la dimensión del espacio del producto es

(2 j_{1} + 1) (2 j_{2} + 1) \dots (2 j_{norte} + 1) .

$(2j_1 + 1) (2j_2 + 1) \ldots (2j_N + 1).$

Supongamos ahora que estas partículas obedecen a las estadísticas de Fermi-Dirac porque son fermiones idénticos. Ahora me piden que determine la dimensión del espacio vectorial.

Realmente no entiendo la respuesta. La respuesta que dio mi profesor es: según el principio de exclusión de Pauli, dos partículas no pueden ocupar el mismo estado cuántico. En este caso solo tenemos dos estados (girar arriba, girar abajo). Así que solo hay dos opciones:

norte = 1 : ∣ + ⟩, ∣ - ⟩ oscuro = 2

$N=1 : \qquad \mid + \rangle, \quad \mid - \rangle \qquad \dim = 2$

norte = 2 : \frac{1}{\sqrt{2}} (∣ + ⟩ ∣ - ⟩ - ∣ - ⟩ ∣ + ⟩) oscuro = 1.

$N=2 : \qquad \frac{1}{\sqrt{2}} \bigg( \mid + \rangle \mid - \rangle \ - \ \mid - \rangle \mid + \rangle \bigg) \qquad \dim = 1.$

No entiendo cómo uno deriva estas dimensiones. No veo cómo el principio de Pauli puede ser importante para determinar la dimensión. Las partículas solo llenarán los niveles de energía más bajos (con no más de dos ocupando el mismo estado). ¿Eso no significa que solo hay dos estados? También se caracterizarían por el número cuántico $n$ ¿Por ejemplo?

fénix87

"Estadística de Fermi-Dirac" es la forma física de decir "proyectar hasta el subespacio antisimétrico del espacio total de Hilbert". En este caso, el espacio total de Hilbert es

C^{2} \otimes \dots \otimes C^{2}

$\mathbb C^2\otimes\cdots\otimes\mathbb C^2$

N

$N$ veces. La proyección sobre el subespacio antisimétrico es lo mismo que considerar el producto exterior

C^{2} \land \dots \land C^{2}

$\mathbb C^2\wedge\cdots\wedge\mathbb C^2$

N

$N$ veces. Por lo tanto, la dimensionalidad sigue: para

N = 1

$N=1$ es sólo

C^{2}

$\mathbb C^2$ , por lo tanto dimensión 2; para

N = 2

$N=2$ el producto exterior es solo

C

$\mathbb C$ , por lo tanto, dimensión 1; para

N > 2 = \dim (C^{2})

$N>2=\operatorname{dim}(\mathbb C^2)$ el subespacio es

{0}

$\{0\}$ .

Respuestas (1)

¿Dimensión del espacio de Hilbert de espín 1/21/21/2 partículas idénticas?

"Estadística de Fermi-Dirac" es la forma física de decir "proyectar hasta el subespacio antisimétrico del espacio total de Hilbert". En este caso, el espacio total de Hilbert es $\mathbb C^2\otimes\cdots\otimes\mathbb C^2$ $N$ veces. La proyección sobre el subespacio antisimétrico es lo mismo que considerar el producto exterior $\mathbb C^2\wedge\cdots\wedge\mathbb C^2$ $N$ veces. Por lo tanto, la dimensionalidad sigue: para $N=1$ es sólo $\mathbb C^2$ , por lo tanto dimensión 2; para $N=2$ el producto exterior es solo $\mathbb C$ , por lo tanto, dimensión 1; para $N>2=\operatorname{dim}(\mathbb C^2)$ el subespacio es $\{0\}$ .

bart · Answer 1

Si el espín es el único grado de libertad, eso también significa que todas las partículas en su sistema tendrán los mismos números cuánticos para cualquier propiedad que no sea el espín. Esto hace que su argumento sobre ocupar los niveles de energía más bajos sea algo redundante, ya que solo hay un nivel de energía. Por lo tanto, no puede tener más de dos partículas en su sistema, ya que solo hay dos posibilidades para el giro de un giro. $\frac{1}{2}$ partícula. Una tercera partícula tendría necesariamente el mismo espín que una de las otras dos y, por lo tanto, se violaría el principio de exclusión de Pauli.

Pasemos ahora a la dimensión del espacio de Hilbert en ambos casos. En el caso $N = 1$ , es obvio que la partícula tiene giro hacia arriba o hacia abajo. En el caso $N = 2$ , sin embargo, debe tener un espacio de Hilbert con dimensión $4$ , desde $2^2 = 4$ . Pero debido al principio de exclusión de Pauli, ambas partículas no pueden tener el mismo estado de espín. No pueden ser tanto 'spin up' como 'spin down' porque eso violaría el principio de exclusión de Pauli.

Sin embargo, eso todavía te deja con dos estados posibles, a saber $|+\rangle|-\rangle$ y $|-\rangle|+\rangle$ . No veo cómo exactamente su profesor encuentra la dimensión uno para este espacio de Hilbert, como la suma de estos estados $\frac{1}{\sqrt{2}}(|+\rangle|-\rangle + |-\rangle|+\rangle)$ también es una solución aceptable (las combinaciones lineales surgen porque desea estados propios de diferentes operadores). La diferencia entre estos dos es que cuando tomas la diferencia encontrarás un giro total de $S = 0$ , y cuando tomas la suma tienes un giro total de $S = 1$ (Total spin no es lo mismo que 'spin up' o 'spin down'). Es posible que desee preguntarle a su profesor sobre esta posibilidad.

TL; DR: El principio de exclusión de Pauli descarta ciertos estados, lo que reduce la dimensión de su espacio vectorial.

EDITADO: El $\frac{1}{\sqrt{2}}(|+\rangle|-\rangle + |-\rangle|+\rangle)$ El estado es simétrico y por lo tanto descartado debido a las estadísticas de Fermi-Dirac. Gracias a fqq y Phoenix87 por darse cuenta de esto.

"Esto hace que su argumento sobre ocupar los niveles de energía más bajos sea algo redundante, ya que solo hay un nivel de energía". No necesariamente, ya que no se especifica un hamiltoniano.
El estado de dos electrones debe ser antisimétrico, por lo que el estado simétrico no es "una solución aceptable".
@Bart W. Gracias por la respuesta. Ahora me queda un poco más claro.

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kamil

fénix87

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bart

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fqq

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