¿Por qué la aceleración normal no produce un cambio en la velocidad?

¿Por qué la aceleración normal no produce un cambio en la velocidad?

En mi opinión, es más fructífero preguntar "¿cuál es el vector de aceleración de un objeto con movimiento circular uniforme (velocidad constante)?"

Tal objeto, moviéndose en el plano xy tiene coordenadas:

$$x(t) = R\cos(\omega t + \phi)$$

$$y(t) = R\sin(\omega t + \phi)$$

dónde$R$(el radio de la trayectoria circular) y$\omega$(la velocidad angular del objeto) son constantes. El vector velocidad del objeto es entonces

$$\mathbf{v}(t) = -\omega R\sin(\omega t + \phi)\mathbf{\hat{x}} + \omega R\cos(\omega t + \phi)\mathbf{\hat{y}}$$

Claramente, la rapidez (magnitud del vector velocidad) es constante e igual a$|\mathbf{v}| = \omega R$.

Ahora, calcule el vector de aceleración (hágalo usted mismo) y encuentre que (1) no es cero y tiene una magnitud constante y (2) siempre es perpendicular (normal) a la velocidad .

Permítanme tratar de responder a sus preguntas por separado a continuación.

entonces$|v| = \sqrt{v_{0}^2+\frac{(At)^2}{1}}$

La aceleración que introduces en esta fórmula no actúa en la misma dirección que la velocidad en la fórmula.

Esta fórmula se parece a una de las cuatro ecuaciones cinemáticas fundamentales. Solo funcionan a lo largo de un camino (a lo largo de una dimensión), porque son ecuaciones escalares , no ecuaciones vectoriales . No mezcle las dimensiones. (En otras palabras, la aceleración (que es una ganancia en velocidad) debe ser una ganancia en la misma velocidad que$v$representa - y escalarmente diferentes direcciones/dimensiones tienen diferentes velocidades).

De un comentario:

la velocidad inicial v y la nueva velocidad V debido a la aceleración centrípeta son ambos vectores perpendiculares entre sí, por lo que sumarlos producirá un nuevo vector de velocidad con la magnitud dada anteriormente, ¿no es así?

La aceleración perpendicular crea una velocidad perpendicular. Ahora tenemos la velocidad original y esta nueva velocidad lateral. Juntos crean una nueva velocidad neta, que se inclina un poco hacia adentro. Se volvió un poquito.

Si el componente lateral es insignificante (que lo es ya que la aceleración solo tira de esa manera durante un tiempo insignificantemente corto), entonces el cambio de magnitud es insignificante. Así que no hay cambio en la magnitud.

El giro es minúsculo, pero en el siguiente instante vuelve a ocurrir lo mismo porque la aceleración gira con la velocidad. Haga eso muchas veces y verá un gran giro combinado pero ningún cambio en magnitud.

En segundo lugar, ¿por qué la velocidad siempre es tangencial al círculo, pero cómo podemos demostrarlo matemáticamente?

Matemáticamente, llamaría al vector de velocidad el vector de dirección (aunque no estoy seguro de que este sea un término correcto en inglés. Esta es una traducción directa de mi idioma nativo). Es el vector de dirección porque siempre apunta en la dirección del cambio en el mismo punto en el que se encuentra.

La velocidad es el cambio de posición, metros por segundo. Cualquiera que sea la dirección en la que apunte es la forma en que se suman los metros de la posición, así es como se mueve la partícula. Por tanto, el vector de velocidad siempre será tangencial a una trayectoria circular, porque esta es la trayectoria recorrida por el objeto: la posición cambia al siguiente punto de esta trayectoria en cada instante.

Intuitivamente para mí, si hay una aceleración constante hacia un cierto punto, en algún momento, el cuerpo debería 'aflojarse' y caer hacia la dirección de la aceleración.

Claro, y definitivamente también lo haría. Pero la aceleración gira junto con la dirección de giro. En otras palabras, tu intuición es correcta pero solo por un momento. Entonces tienes una nueva situación y una nueva dirección para que tu objeto caiga.

Piense en un satélite en órbita alrededor del planeta. Se mantiene en órbita por la gravedad, que es una aceleración que siempre apunta hacia adentro.

• Si una estación espacial colocara el satélite a cierta distancia de la Tierra, caería y se estrellaría.
• Si se lanzaba hacia los lados, seguiría cayendo y chocando, pero caería con una curva porque ahora también tenía velocidad lateral.
• ¡ Ahora imagina lanzarlo tan fuerte que no toque la Tierra! Cae y cae y cae, pero la velocidad lateral es lo suficientemente grande como para caer junto a la Tierra en lugar de estrellarse.

Esto es esencialmente lo que sucede en el movimiento circular: el objeto (satélite) cae hacia el centro (Tierra) pero falla todo el tiempo.

De hecho, podemos obtener las tasas de cambio de velocidad y la dirección del movimiento matemáticamente de la siguiente manera. Esto ni siquiera requiere que el objeto se mueva en círculo; es completamente general.

La forma en que cambia la velocidad de la partícula está dada por

$$\frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}\sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}}.$$ Usando algunas reglas estándar de diferenciación, obtenemos que esta cantidad es igual a la componente de la aceleración a lo largo de la dirección del movimiento: $$\frac{dv}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}}}\frac{d}{dt}\vec{v}\cdot\vec{v} = \frac{1}{2v}\left(\frac{d\vec{v}}{dt}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\frac{d\vec{v}}{dt}\right) = \frac{1}{2v}\left(\vec{a}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{a}\right) = \frac{\vec{a}\cdot\vec{v}}{v} = \vec{a}\cdot\hat{v},$$ dónde$\hat{v}$es el vector unitario en la dirección de$\vec{v}$. Este componente es lo que podrías llamar$a_t = \vec{a}\cdot\hat{v}$($t$para tangencial).

La dirección de$\vec{v}$es solo$\hat{v}$, y entonces

$$\frac{d\hat{v}}{dt} = \frac{d}{dt}\frac{\vec{v}}{v} = \frac{1}{v}\frac{d\vec{v}}{dt} - \vec{v}\frac{1}{v^2}\frac{dv}{dt},$$ Reorganizando y usando el resultado anterior, podemos reescribir esto como $$\frac{d\hat{v}}{dt} = \frac{1}{v}\left(\vec{a} - (\vec{a}\cdot\hat{v})\hat{v}\right).$$ La cantidad entre paréntesis es exactamente el componente de$\vec{a}$ perpendicular a la velocidad. (Puede verificar la ortogonalidad tomando el producto escalar de este vector con$\vec{v}$y encontrar que es cero.) El cambio de dirección $d\hat{v}/dt$por lo tanto, depende solo de esta componente perpendicular, a la que llamaste$A$.