¿Cuál es la fórmula barométrica de un gigante gaseoso?

Esta fórmula asume una aceleración gravitacional constante en toda la altura de la columna de gas, una suposición razonable para la Tierra, ya que la atmósfera es delgada en comparación con el tamaño del planeta.

Para un argumento simple , si asumió que la composición es la misma, está claro que el cambio de altitud necesario para que la presión cambie en un cierto factor es menor en Júpiter que en la Tierra. La gravedad es más fuerte y el radio de Júpiter es más grande. Ambos factores dan como resultado una altura característica más pequeña para la atmósfera. Eso da alguna indicación de que la cita anterior puede ser menos correcta que la proposición inversa. Pero hay muchas más complicaciones.

Obviamente, Júpiter tiene mucho más gas ligero en su atmósfera que la Tierra. Esto se debe en parte a que la gravedad de la Tierra no es perfecta para retener el hidrógeno contra la radiación en el espacio. Entonces esto empuja en la otra dirección, haciendo que la atmósfera de Júpiter tenga una longitud característica más larga.

Pero la longitud característica no es la historia completa. Obviamente, la Tierra tiene un buen nivel del suelo (acordado). Júpiter podría tener un cambio de fase que se parezca vagamente a esto, pero incluso si hay un cambio de densidad abrupto, no será como la Tierra. Así que esto plantea la cuestión de cómo deberíamos definir la región de la atmósfera de Júpiter en primer lugar. ¿Podríamos aceptar el Hidrógeno metálico interno en el centro como "atmósfera"? Probablemente no, pero ese es solo el caso más extremo.

Las ecuaciones diferenciales que describen correctamente el sistema se pueden encontrar en otras respuestas. Para completar, son:

Pero entremos en las soluciones de casos especiales, porque creo que esto es lo que pide el OP. En el caso de gravedad constante, gas uniforme ideal y temperatura constante, la presión atmosférica es la siguiente:

Dónde$H$aquí está la longitud característica. Para la Tierra, esto es alrededor de 7,4 km. Depende de la temperatura, por lo que siempre está cambiando.

Ahora, si sumamos el componente de marea de la gravedad, podemos obtener una nueva expresión. Esto es asumiendo un$\frac{1}{r^2}$forma de gravedad, en lugar de una constante. En este caso, la solución a la ecuación diferencial produce el siguiente perfil de presión :

dónde$H$tiene la misma longitud característica.$r_0$es el radio del propio planeta, y$r$(radio) reemplaza$h$(altitud). Esta ecuación es precisa para el caso específico de:

1. temperatura constante
2. composición constante (homogénea)
3. La contribución al campo gravitacional del propio aire puede despreciarse

1 y 2 son suposiciones terribles, obviamente. Para todos los planetas, tiende a haber un mínimo local de temperatura en la atmósfera, y más adentro, la temperatura será muchas veces más alta, lo que da una magnitud de cuán mala es la suposición de temperatura constante.

La suposición homogénea también es muy mala, porque los gases se estratifican sutilmente. No es como la separación de agua y aceite, pero cuanto más alto, mayor será la concentración de los elementos más ligeros. De hecho, esta es una justificación importante de por qué las atmósferas de los gigantes gaseosos son, para empezar, hidrógeno y helio tan puros.

No obstante, esta ecuación para la presión sigue siendo técnicamente mejor que la suposición de gravedad constante. Pero eso no es lo más relevante en Júpiter. De hecho, es probablemente más relevante una corrección en la Tierra.

Para una distribución de masa esféricamente simétrica en equilibrio hidrostático:

${dP\over dr}=-g\rho$

dónde$P$es la presión,$r$es el radio,$g$es la aceleración de la gravedad en función de$r$, y$\rho$es la densidad del gas en función de$r$.

Luego integra hacia arriba o hacia abajo a partir de algunas condiciones conocidas.

$g$como una función de$r$es sencillo ya que estamos asumiendo una distribución de masa esféricamente simétrica.$g$solo depende de la masa debajo$r$. Asi que$g={Gm(r)\over r^2}$, dónde$m(r)$es la masa del cuerpo debajo$r$. Asi que,$m(r)=\int_0^r\rho(r)\,4\pi r^2dr$.

Por último, necesita una ecuación de estado relacionada$P$y$\rho$. El más simple es para un gas ideal, derivado del buen viejo$PV=nRT$, cual es$P=\rho{kT\over\mu}$.$\mu$es la masa molecular y$T$es la temperatura$k$es la constante de Boltzmann.

Como se señaló en la pregunta, los cambios de estado dan como resultado, como era de esperar, ecuaciones de estado completamente diferentes. Tenga en cuenta que diferentes especies sufrirán cambios de estado a diferentes temperaturas y presiones, por lo que la ecuación de estado real puede volverse bastante complicada. Pero la ley de los gases ideales es suficientemente buena para tener una idea del comportamiento general en un campo de gravedad variable.

Si asume una atmósfera bien mezclada (que no es necesariamente consistente con el equilibrio hidrostático), entonces puede considerar$\mu$ser una constante. Te quedas con la necesidad de un perfil de temperatura,$T(r)$para hacer la integración.

El perfil de temperatura importa. No se puede suponer una temperatura constante excepto en pequeños cambios de altitud. A continuación se muestra un gráfico de los perfiles de temperatura de esta página :

Algo más a tener en cuenta: cuando se trata de gigantes gaseosos, ya no se tiene nada que se parezca remotamente a un gas perfecto.

Hace mucho tiempo hice un cálculo de fuerza bruta de la presión y la densidad de la atmósfera en un agujero a través de la Tierra. Las respuestas son una locura: en realidad, el gas se comprimirá a una densidad líquida y dejará de seguir la ley de los gases.

Por lo que vale:
usar números que se aproximen a Urano (atmósfera a solo 350 km de profundidad, g local relativamente bajo, frío, 100 bar en el límite inferior de la atmósfera) e ignorar la gravedad de la atmósfera misma: ingresar los mismos números en la fórmula barométrica y la dado por Alan (suponiendo una temperatura constante), la diferencia sería de aproximadamente un 6% en la parte superior de la atmósfera. La diferencia se vuelve más grande con una g más alta, una temperatura más fría y un radio más pequeño en la parte inferior de la atmósfera.