¿Qué probabilidades hay de que pierdas porque Fool's Landing se hunde en el abismo?

Como me gustan las preguntas de probabilidad, y tttpp lo mencionó , pensé que podría ser interesante calcular la probabilidad de que pierdas en el primer turno en Forbidden Island , porque Fool's Landing se hunde en el abismo. Esta pregunta solo está interesada en calcular las probabilidades de perder el juego durante el primer turno de los jugadores. Sería un poco más difícil calcular las probabilidades de perder durante la primera ronda, donde cada jugador ha tenido un turno como máximo. Si esta pregunta recibe suficiente atención, podría decidir hacer esa pregunta y calcular las probabilidades. Para calcular las probabilidades de perder, deberá calcular lo siguiente:

  • ¿Cuáles son las probabilidades de que el primer jugador no pueda apuntalar Fool's Landing? (depende del personaje del primer jugador, su ubicación inicial y la ubicación de Fool's Landing)
  • ¿Cuáles son las probabilidades de que ningún jugador haya recibido un saco de arena/helicóptero (depende del número de jugadores)?
  • ¿Cuáles son las probabilidades de que salga una carta de Waters Rise?
  • ¿Cuáles son las probabilidades de que Fool's Landing se vuelva a dibujar después de Waters Rise? (nivel difícil afecta esto)

¿Cuál es el rango de probabilidades de perder en el primer turno para un juego de 2 a 4 jugadores? Calcule cada componente individual por separado y luego proporcione un rango de probabilidades máximas/mínimas de perder en el primer turno en función de los componentes individuales anteriores. Suponga lo siguiente:

  • Todos los jugadores intentarán apuntalar Fool's Landing. (usar sacos de arena/helicóptero)
  • Se utiliza el mapa de isla predeterminado.
  • El primer jugador y su personaje se determinan aleatoriamente, según las reglas.
  • Ignora las probabilidades de perder porque un jugador se hunde en el abismo. ( opcional :)
  • Ignora las probabilidades de perder porque ambas fichas de un tesoro en particular se hunden en el abismo. ( opcional )

Nota: Calcula esto si quieres, pero no estoy desinteresado en el efecto mínimo sobre el resultado de perder el primer turno.

+1 Que buena pregunta :-) No había pensado en la posibilidad de perder el primer turno debido a que alguien se hundió en el abismo. Definitivamente posible, ¡pero tienes que tener mucha mala suerte!

Respuestas (2)

Una advertencia amistosa: esta es una respuesta laaaaarga.

He calculado las posibilidades de que Fools' Landing se pierda inmediatamente después del primer turno con todos los jugadores jugando para evitarlo y una configuración aleatoria de fichas.

Algunas variables:

  • n = número de jugadores
  • w = nivel de agua después de subir una vez (2 para principiantes, 3 para todo lo demás)

Habilidades/acciones especiales

En primer lugar, hay un par de habilidades y cartas especiales que hacen que sea imposible fallar:

  • Si el primer personaje es el Piloto ( 1/6 ), comienzan en FL y siempre pueden apuntalarlo, o
  • Si alguien comienza con un Helicóptero (hay 3) o un Saco de arena (2) en la mano ( 1-(20 C (2n))/(25 C (2n)) ), puede apuntalar o mover al primer jugador. para apuntalar (está bien ignorar las tarjetas WR en el trato inicial)

1/6 + 1-(20 C (2n))/(25 C (2n))

es decir , (1 - (1/6 + 1-(20 C (2n))/(25 C (2n)))) posibilidad de que las siguientes permutaciones puedan terminar el juego.

Inundaciones, subida de aguas y más inundaciones

Lo que hacen los personajes en sus turnos es complicado, así que primero nos ocuparemos de todas las probabilidades de las cartas juntas:

  • 6 áreas están inundadas para comenzar. Para fallar inmediatamente, FL debe ser uno de ellos ( 6/24 )
  • Al final del turno del primer jugador, independientemente de lo que haya hecho, un fallo requiere que se extraiga una carta WR del mazo restante. Sacan dos cartas. El primero tiene una probabilidad de 3/(28-2n) de ser WR. Si no es ( (25-2n)/(28-2n) ), la segunda carta tiene una probabilidad de 3/(27-2n) de ser WR. Después de equilibrar un poco, eso se convierte en (156-12n)/((28-2n)(27-2n)) probabilidad de que se robe una carta WR en el primer turno
  • Si es así, la pila de descarte (6 cartas) se baraja en el mazo y hay una posibilidad de w/24 de que FL salga de nuevo.

Por lo tanto, las probabilidades de que las cartas estén en tu contra y solo un primer turno perfecto pueda evitar un fallo son:

6/24 * con 24 * (156-12n)/((28-2n)(27-2n)) = (con(156-12n))/(96(28-2n)(27-2n))

El primer turno: Edición Explorer

Aquí es donde comienza a ponerse muy peludo, así que tengan paciencia conmigo. Si el primer jugador es el Explorador, puede moverse en diagonal, lo que hace que todo sea un poco más accesible. Hay una probabilidad de 1/5 de que el primer jugador sea el Explorador (porque ya hemos tenido en cuenta que no es el Piloto). Para fallar como Explorador, debe estar a más de tres espacios de FL, incluso en diagonal.

  • Desde los 8 espacios exteriores (en adelante, "fuera"), hay seis a los que no puedes llegar. La probabilidad de colocar FL en uno de los 6 espacios inalcanzables es 6/23. Por lo tanto, hay una probabilidad de 8/24 * 6/23 = 48/552 de que falle en esta posición inicial
  • Si comienza en una esquina del cuadrado interior ("esquina"), hay cuatro espacios que no puede alcanzar como Explorador (los lados opuestos). Esa es una probabilidad de 4/24 * 4/23 = 16/552 de fallar
  • Si comienzas en un espacio que no está en los cuatro del centro, "afuera" o en una "esquina" (al que me referiré como "adentro" para mayor claridad), hay dos espacios inalcanzables. Eso proporciona 8/24 * 2/23 = 16/552
  • Finalmente, tu primera opción podría ser uno de los espacios centrales (los cuatro del centro). Si es así, ¡felicidades! ¡Puedes llegar a cualquier espacio!

Por lo tanto, las probabilidades de ser el Explorador y no poder aterrizar FL en su primer turno, en función de todas las fichas colocadas al azar, son:

(48+16+16)/552 * 1/5 = 16/552

El primer turno II: Edición para todos los demás

¡¿Pero qué pasa si no eres el Explorador?! Veamos todos los posibles espacios de inicio nuevamente (gemido...) dado que eres uno de los otros personajes que no son piloto ( 4/5 ):

  • Hay una probabilidad de 80/552 de que no se pueda acceder a FL desde el exterior
  • Hay una probabilidad de 40/552 de que FL sea inalcanzable desde una esquina
  • Hay una probabilidad de 72/552 de que FL sea inalcanzable desde adentro
  • Existe una probabilidad de 12/552 de que no se pueda acceder a FL desde el centro.

Por lo tanto, las probabilidades de no ser un Explorador, un Piloto y no poder aterrizar FL en su primer turno son:

(80+40+72+12)/552 * 4/5 = 816/2760

Por lo tanto, las probabilidades de no poder apuntalar a FL (dado que no eres el piloto) son:

16/552 + 816/2760 = 896/2760

¡Uf!

La gran conclusión, o TL;DR

Entonces, ahora tomamos los resultados de las tres secciones y los multiplicamos:

  • Las probabilidades de que no seas el Piloto y nadie tenga cartas que puedan ayudarte = (1 - (1/6 + 1-(20 C (2n))/(25 C (2n))))
  • Las probabilidades de que todas las inundaciones vayan en tu contra, y sacarás al menos un WR = (w(156-12n))/(96(28-2n)(27-2n))
  • Las probabilidades de que no pueda alcanzar y apuntalar FL en circunstancias normales = 896/2760

Dado que w=3 (que es para la mayoría de las configuraciones), las probabilidades de fallar en el primer turno por número de jugadores son:

  • 2 jugadores : aproximadamente 0.0768%
  • 3 jugadores : aproximadamente 0.0483%
  • 4 jugadores : aproximadamente 0.0288%
Todos son bienvenidos a ver mi trabajo :P
Todavía no lo he leído, pero se ve bien. Solo quería señalar que w = 2 si juegas como principiante: boardgamegeek.com/image/1001886/forbidden-island
Tal vez haya leído mal, pero no creo que la posibilidad de obtener una tarjeta de helicóptero / sacos de arena para empezar sea 5/2n. Esto es >1 para dos jugadores :-) En cambio, creo que es 1-(20 C (2n))/(25 C (2n)) (donde C es la función de "combinaciones"), que es ~0.62 para 2 jugadores, ~0,78 para 3 jugadores y ~0,88 para 4 jugadores.
@tttppp... ¡Pasaste la prueba! Pero en serio, gracias por la captura, ¡no estoy seguro de lo que estaba pensando!
@tttppp Y tiene razón sobre w = 2 después del primer WR en Novice, no pude distinguir los niveles correctamente mirando las reglas de PDF.
Ajusté el trabajo y las respuestas para corregir mis cálculos de probabilidades de sacar cartas útiles. Gracias a @tttppp
"Si el primer personaje es el Piloto (1/6), siempre pueden moverse a FL y apuntalarlo" Pequeña objeción, pero, para empezar, ¿el Piloto no siempre comienza en FL?
@bwarner Tienes toda la razón, pero lo que es más importante, me hiciste notar un error diferente: recordé mal la configuración, pensando que elegiste tu ubicación inicial entre dos mosaicos posibles. ¡Eliminar este error hizo que todo el medio de la respuesta fuera mucho más sencillo!
@Johno, gran trabajo hasta ahora. No he revisado todas sus matemáticas, pero parece estar de acuerdo con la mayoría de mis cálculos iniciales. Es posible que tenga un error, "la pila de descarte (6 cartas) se baraja en el mazo = w / 24" El descarte de 6-7 cartas se baraja y se coloca en el mazo de inundación. Ya sea que robes WR primero o segundo, afecta si tienes 6 (50% de probabilidad de que FL vuelva a dibujar si no eres un novato), o 7 cartas en el descarte. El aumento de dos aguas hace que el nivel de inundación suba en dos, esto podría causar que más de 3 mosaicos se inunden (creo) en niveles de dificultad más altos, aunque las probabilidades son minúsculas.
@Johno, otro pequeño tecnicismo es que el buzo puede moverse más de un espacio a través de mosaicos inundados. Iba a responder la pregunta como tú (ignorando esta habilidad), porque su incapacidad para llegar a FL es mucho más compleja. Podría intentar una puñalada en esa parte de la pregunta.
@ user1873 Buen punto. "w/24" de hecho debería decir "w/6 [las matemáticas van aquí] w/7" ya que esas son las opciones basadas en cuándo dibujas WR. Estoy demasiado cansado para pensar en lo que podrían ser las matemáticas :/. En cuanto al buzo, tienes razón, eso complica mucho más las cosas. Es concebible que pueda llegar hasta el otro lado del tablero con mosaicos inundados bien colocados...
Este es un muy buen comienzo, pero creo que un gran problema con esto en este momento es que no has considerado al buzo por separado. No puedo ver una manera fácil de calcular la cantidad de cuadrados que no puede alcanzar, es posible que deba programarse.
Oh, acabo de ver que el usuario 1873 publicó lo mismo :-)
@tttpp, probablemente tengas razón. Un examen de fuerza bruta de las ubicaciones de inicio de pérdidas normales (x/552), con todas las posibilidades examinadas para las que se inundan los mosaicos, no debería ser demasiados cálculos para una computadora. Tendré que pensar en esta pregunta un poco más.
@Johno, un pequeño error más que npm podría eliminar una décima parte de un %. Debe tener en cuenta que una de las dos cartas de tesoro extraídas es un saco de arena (cuando la otra es WZters Rise), ya que ese jugador tiene la oportunidad de usarla antes de que se inunden las fichas.
La pila de descarte de seis cartas no se baraja en el mazo. Se baraja y se coloca en la parte superior de la baraja, lo que aumenta las probabilidades de que FL se vuelva a robar a w/6.
@ user1873 Ejecuté un script y se me ocurrió la posibilidad de que el buzo no pueda llegar a Fool's Landing como 4611612/18574248, que es aproximadamente el 25%. Es más que el explorador, pero menos que todos los demás, por lo que suena bien. Si alguien quiere verificar mi código (horrible) o calcularlo de forma independiente, ¡hágamelo saber!
¡Tomaré tu palabra! Por cierto, todos pueden editar mi respuesta para mejorarla si lo desean.
Otro caso extremo: si el primer jugador roba DOS cartas de Waters Rise, el nivel del agua sube dos veces para el sorteo de inundación. Esto haría w = 3 para principiantes y w = 4 para legendarios. (Todos los demás permanecen en 3)

Resumen

La probabilidad de perder en el primer turno debido al hundimiento de Fool's Landing, suponiendo que todos los jugadores hagan todo lo posible por evitarlo, depende del nivel de dificultad y del número de jugadores n :

Difícilmente | norte | Probabilidad
Novato | 2 | 0.00199
Novato | 3 | 0.00122
Novato | 4 | 0.00071
Normal/Élite | 2 | 0.00291
Normal/Élite | 3 | 0.00179
Normal/Élite | 4 | 0.00103
Legendario | 2 | 0.00296
Legendario | 3 | 0.00182
Legendario | 4 | 0.00105

El cálculo de los valores en esta tabla fue bastante largo, y a continuación se proporciona un resumen de los pasos.

Cálculo

He dividido el cálculo en cuatro secciones, según las etapas del juego:

  1. Configuración del juego : Fool's Landing está inicialmente inundado y nadie recibió una carta de acción especial.
  2. Acciones del primer jugador: el primer jugador no puede apuntalar Fool's Landing.
  3. Sorteo de cartas del tesoro del primer jugador: se roba Waters Rise (y Sandbags no).
  4. Robo de carta de inundación del primer jugador : Waters Rise se extrae por segunda vez y se hunde.

Notación:

  • n El número de jugadores
  • v El número de cartas de Waters Rise robadas al final del primer turno
  • w El nivel del agua después del primer giro

Configuración del juego

P(Fool's Landing drawn in first six cards) = 6/24
P(No sandbags or helicopters dealt) = (20 C (2n)) / (25 C (2n))

Acciones del primer jugador

Sea Rel papel del primer jugador:

P(R = Pilot and can't shore up Fool's Landing) = 1/6 * 0 = 0
P(R = Diver and can't shore up Fool's Landing) = 1/6 * 4611612/18574248 = 384301/9287124
P(R = Explorer and can't shore up Fool's Landing) = 1/6 * 10/69 = 5/207
P(R in {Navigator, Messenger, Engineer} and can't shore up Fool's Landing) = 3/6 * 59/138 = 59/276

Así que sumando estos:

P(Can't shore up Fool's Landing) = 1945439/6965343

Sorteo de cartas del tesoro del primer jugador

Para que Fool's Landing se hunda, una de las dos cartas robadas debe ser Waters Rise. El otro no debe ser un saco de arena. Los mantengo separados ya que el valor de vimpacta el valor de w.

P(v = 2 and no sandbags) = P(v = 2)
                         = 6 / ((28-2n)(27-2n))
P(v = 1 and no sandbags) = P(No sandbags | v = 1) * P(v = 1)
                         = (23-2n)/(25-2n) * 6(25-2n)/((28-2n)(27-2n))
                         = 6*(23-2n)/((28-2n)(27-2n))

Sorteo de cartas de inundación del primer jugador

Ahora hemos barajado las seis cartas de inundación y las hemos vuelto a colocar en la parte superior del mazo de cartas de inundación. Tenga en cuenta que wse puede derivar de la dificultad y el valor de v.

P(Fool's Landing drawn at end of first player's turn) = w/6

El resultado

El nivel de dificultad impacta w:

  • Novato: v=1 => w=2,v=2 => w=3
P(Fool's Landing Sinks First Turn) = 6/24 * (20C(2n))/(25C(2n)) * 1945439/6965343 * (6*(23-2n)/((28-2n)(27-2n)) * 2/6 + 6/((28-2n)(27-2n)) * 3/6)
 =  (20C(2n))/(25C(2n)) * 1945439/27861372 * (49-4n)/((28-2n)(27-2n))
  • Normal/Élite: v=1 => w=3,v=2 => w=3
P(Fool's Landing Sinks First Turn) = 6/24 * (20C(2n))/(25C(2n)) * 1945439/6965343 * (6*(23-2n)/((28-2n)(27-2n)) * 3/6 + 6/((28-2n)(27-2n)) * 3/6)
 =  (20C(2n))/(25C(2n)) * 1945439/27861372 * (72-6n)/((28-2n)(27-2n))
  • Legendario: v=1 => w=3,v=2 => w=4
P(Fool's Landing Sinks First Turn) = 6/24 * (20C(2n))/(25C(2n)) * 1945439/6965343 * (6*(23-2n)/((28-2n)(27-2n)) * 3/6 + 6/((28-2n)(27-2n)) * 4/6)
 =  (20C(2n))/(25C(2n)) * 1945439/27861372 * (73-6n)/((28-2n)(27-2n))

Finalmente, calculando estas fórmulas para diferentes niveles de dificultad y número de jugadores, terminé con:

Difícilmente | norte | Probabilidad
Novato | 2 | 1355970983/682632941760 ≈ 0,00199
Novato | 3 | 1223681131/999834661980 ≈ 0,00122
Novato | 4 | 429942019/608770978200 ≈ 0,00071
Normal/Élite | 2 | 33072463/11377215696 ≈ 0,00291
Normal/Élite | 3 | 99217389/55546370110 ≈ 0,00179
Normal/Élite | 4 | 859884038/837060095025 ≈ 0,00103
Legendario | 2 | 2017420243/682632941760 ≈ 0,00296
Legendario | 3 | 33072463/18178812036 ≈ 0,00182
Legendario | 4 | 3009594133/2869920325800 ≈ 0,00105
Desglosándolo: P(v=1) = (2 pedidos)*(3 formas de elegir un WR)*(25-2n formas de no elegir un WR)/(total de formas de elegir dos cartas ordenadas) = ​​6(25 -2n)/((28-2n)(27-2n))
P(Sin sacos de arena | v=1) = P(No se dan sacos de arena v=1) = P(La carta que no es WR no es una carta de sacos de arena) =(23-2n)/(25-2n)
tienes razón. Volví a revisar mis matemáticas, no tengo idea de cómo obtuve 21.111%. Limpié mis comentarios. Es posible que desee mantener solo su segundo comentario que lo desglosa.
@ usuario1873 ¡Genial! Avísame si quieres que se desglosen más partes.
¿Qué probabilidades hay de que pierdas porque Fool's Landing se hunde en el abismo?
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