Hora de caer al Sol desde la órbita de Marte

Question

Hora de caer al Sol desde la órbita de Marte

M.Riyan

Si un cuerpo comienza a caer libremente desde la órbita de Marte hacia el Sol, entonces, ¿cómo podemos calcular el tiempo para tocar la superficie del Sol?

Probé la tercera ecuación de movimiento que dice R=(1/2 dg)*dt^2. Entonces, ¿cuáles deben ser los límites? Si es necesario, puede agregar un comentario para el trabajo que hice y quererlo como una foto.

UH oh

¡Sí, definitivamente agrega una foto del trabajo que hiciste! Esto siempre se recomienda en Stack Exchange.

nathan tuggy

Si puede formatear su trabajo usando MathJax/LaTeX, eso sería aún mejor.

UH oh

Veo que hizo dos preguntas ( 1 , 2 ) en Physics SE y no fueron bien recibidas con comentarios que explican que debe mostrar el trabajo que ha realizado. Así que sí, definitivamente, agregue su trabajo desde el principio. Por cierto, si busca en Physics SE "El momento en que 2 masas colisionarán debido a la gravedad newtoniana", obtendrá varias buenas respuestas.

Respuestas (2)

Hora de caer al Sol desde la órbita de Marte

¡Sí, definitivamente agrega una foto del trabajo que hiciste! Esto siempre se recomienda en Stack Exchange.
Si puede formatear su trabajo usando MathJax/LaTeX, eso sería aún mejor.
Veo que hizo dos preguntas ( 1 , 2 ) en Physics SE y no fueron bien recibidas con comentarios que explican que debe mostrar el trabajo que ha realizado. Así que sí, definitivamente, agregue su trabajo desde el principio. Por cierto, si busca en Physics SE "El momento en que 2 masas colisionarán debido a la gravedad newtoniana", obtendrá varias buenas respuestas.

ilmari karonen · Answer 1

Una forma rápida y sucia de obtener una respuesta aproximada es notar que, a medida que la velocidad orbital inicial del cuerpo se acerca a cero, su órbita se acercará a una elipse (degenerada) con un eje menor de cero y un eje mayor igual a la la distancia inicial del cuerpo desde el centro del Sol (es decir, el radio de la órbita de Marte).

En particular, esto significa que la órbita tendrá un semieje mayor igual a la mitad de la distancia inicial del cuerpo al Sol, es decir, la mitad del semieje mayor de la órbita (circular aproximada) del propio Marte.

Como sabemos que el periodo de una órbita elíptica es proporcional a su semieje mayor elevado a la potencia de $3/2$ , esto significa que reducir el semieje mayor de una órbita a la mitad reducirá el período orbital a $1/2^{3/2} = 1/\sqrt8 = \sqrt2/4 \approx 0.35$ veces el período original.

Como el tiempo que le toma a un cuerpo en órbita caer desde el apoapsis de su órbita hasta el periapsis es exactamente la mitad de su período orbital, esto significa que su cuerpo inicialmente estacionario caerá al Sol en un tiempo que es $\sqrt2/8 \approx 0.18$ veces el período orbital de un cuerpo en una órbita circular a la misma altura inicial (como, en este caso, Marte).

Entonces podemos buscar el período orbital (sideral) de Marte y multiplicarlo por $\sqrt2/8 \approx 0.18$ para obtener la solución a su pregunta.

PD. Este método hace un par de aproximaciones que vale la pena señalar. Uno está implícito en la pregunta misma, que simplemente especifica la altitud inicial del cuerpo como "órbita de Marte", sin especificar más si eso significa afelio, perihelio o algún punto intermedio. En efecto, este método asume que la altitud inicial está "en algún punto intermedio", específicamente en el eje semi-mayor de la órbita de Marte.

La otra aproximación notable que se hizo es que asumimos efectivamente que el radio del Sol es insignificante. Como el radio del Sol es inferior al 0,3% del semieje mayor de Marte, y como el cuerpo que cae en cualquier caso pasará la mayor parte de su tiempo de caída en las partes exteriores de su órbita donde se mueve más lentamente, el error introducido por esta aproximación será incluso menor que eso. En comparación con la incertidumbre de aproximadamente ±14% introducida por la altitud inicial mal especificada debido a la excentricidad de la órbita de Marte, eso es insignificante.

Estoy completamente confundido por tus matemáticas aquí. ¿Por qué estás reduciendo el semieje mayor a la mitad?
@LorenPechtel: Porque una órbita circular (más o menos) a distancia $d$ del Sol tiene un eje semi-mayor de $d$ , mientras que una órbita que cae desde la distancia $d$ directamente al Sol tiene un eje semi-mayor de $\frac12d$ . ¿Eso ayuda? Si no es así, describa la naturaleza de su confusión con más detalle.
@JCRM: ¿Porque así es como se define? El semieje mayor es la mitad del eje mayor de la órbita, es decir, la mitad de la distancia del perihelio al afelio (que siempre están situados en lados opuestos de la órbita, porque así funcionan las órbitas keplerianas). Para una órbita aproximadamente circular, como la de Marte, el perihelio y el afelio están aproximadamente a la misma distancia del Sol. Para un cuerpo en caída libre desde esa distancia hacia el Sol, el afelio todavía está a la misma distancia, pero el perihelio está dentro del Sol.
Entonces estás diciendo que cuando la velocidad es cero, la energía orbital se vuelve $\epsilon = -\frac{\mu}{r}$ y debido a que el semieje mayor es $a = -\frac{\mu}{2\epsilon}$ se sigue que es $\frac{r}{2}$
@JCRM: Sí, esa es una forma de resolverlo. Pero realmente no necesitas tomar ese desvío a través de la energía orbital. Todo lo que realmente necesita saber es que las órbitas cerradas de dos cuerpos son elipses con el centro de masa en un foco ; el resto es solo geometría.
podrías hacerlo de esa manera también, pero no lo hiciste. el caso de la línea recta es contrario a la intuición, uno podría esperar un comportamiento similar al de un péndulo, por lo que simplemente afirmar que será d / 2 ha llevado a la confusión. Su respuesta mejoraría con algún tipo de explicación.
Hermosa respuesta! Es rápido pero prístino en lugar de sucio. Lo he respaldado a través de YouTube.

UH oh · Answer 2

Dado que la respuesta de @IlmariKaronen recibió cierto escepticismo y aún no se ha aceptado el tiempo, ¡lo respaldaré de forma independiente para que pueda recibir el crédito que se merece!

Período orbital de Wikipedia Cuerpo pequeño que orbita alrededor de un cuerpo central da

T = 2 π \sqrt{\frac{R^{3}}{GRAMO METRO}}

$T = 2 \pi \sqrt{\frac{R^3}{GM}}$

multiplica eso por $\sqrt{2}/8$ y obtenemos

\frac{2 \sqrt{2} π}{8} \sqrt{\frac{R^{3}}{GRAMO METRO}} = \sqrt{\frac{R^{3}}{8 GRAMO METRO}} π

$\frac{2 \sqrt{2} \pi}{8} \sqrt{\frac{R^3}{GM}} \ \ = \ \ \sqrt{\frac{R^3}{8 GM}} \pi$

Mire el video Atracción gravitacional: ¡Tiempo que tardan 2 objetos en chocar en el espacio libre y después de 27 minutos de manipulaciones analíticas-mágicas obtenemos el mismo resultado!

27 minutos? La integral no es tan difícil. ;) Puedes resolverlo con una sustitución trigonométrica bastante obvia en unas pocas líneas.
@PM2Ring Supongo que también enseñarlo y las habilidades asociadas de resolución de problemas también agregan unos minutos al video, ¿ya lo vieron? No creo que el objetivo aquí sea que muestren lo inteligentes o rápidos que son, ni lo es para estos canales: Mathologer , 3Blue1Brown , Numberphile , Vihart .
En lugar de presumir, creo que realmente están intentando enseñar habilidades y perspicacia a aquellos que de otro modo no podrían acceder a ella.
Rara vez veo videos de matemáticas, prefiero leer. Probablemente he visto ~10 videos de matemáticas, pero he oído hablar de las últimas 3 personas que mencionaste y vi 1 o 2 de sus presentaciones, tal vez 3 de Vi Hart.
@PM2Ring La próxima vez que tenga la oportunidad de comer una piña fresca y recoger un cono de pino en el camino, espero (re)ver la trilogía Doodling in Math: Spirals, Fibonacci, and Being a Plant de Hart y escribir un informe :-) Mi pregunta de Mathologer en Math SE: Restricciones en las construcciones de tazas de café cónicas de cardioides y catacáusticos

Hora de caer al Sol desde la órbita de Marte

M.Riyan

UH oh

nathan tuggy

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ilmari karonen

Loren Pechtel

ilmari karonen

usuario20636

ilmari karonen

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ilmari karonen

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UH oh

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PM 2 Anillo

UH oh

UH oh

PM 2 Anillo

UH oh

¿Por qué el vector de excentricidad siempre apunta hacia el periápside de una órbita?

¿Se supone que debo modificar la constante gravitatoria con escala y por qué los cambios de fps y escala de tiempo hacen que mi órbita se rompa?

Si hubiera una sonda orbitando en el borde de la Esfera de influencia de la Tierra, ¿a qué velocidad orbitaría?

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