Estabilidad de las órbitas de Lissajous alrededor del Sol-Venus L1

Obtengo SVL1 como 1,007,927 kilómetros del centro de Venus. Pero eso es demasiada precisión. Como la órbita de Venus no es perfectamente circular, no tienes tantos dígitos significativos. Yo suelo decir alrededor de un millón de kilómetros.

Hice una hoja de cálculo que calcula las distancias L1 y L2 de varios cuerpos que orbitan alrededor del sol: Sol más Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Ceres, Júpiter, Saturno, Urano, Neptuno y Plutón.

La hoja de cálculo también proporciona varias distancias L1 y L2 de la luna del planeta.

La hoja de cálculo se basa en las ecuaciones que se encuentran en las páginas 133 a 138 de la Teoría de las órbitas de Szebehely: el problema de los 3 cuerpos restringidos .

No creo que Mercury sea una gran influencia. Supongo que la presión de la luz solar tendría un efecto mayor.

Pero incluso si el sol, venus y la sonda fueran un sistema circular perfecto de 3 cuerpos, L1 no sería estable. Necesitaría propulsor de mantenimiento de la estación en cualquier caso.

Los puntos de Lagrange se mueven con la distancia entre el baricentro del cuerpo primario y secundario, por lo que la distancia exacta entre Venus y$\text{SVL}_1$(Sol-Venus Lagrange punto 1) dependería de la distancia de Citerea al Sol en su órbita. Sin embargo, para la distancia media, podemos simplificar esto al semieje mayor de Cytherean ($108,208,000\ \text{km}$o$0.723327\ \text{AU}$). Usando la siguiente fórmula (consulte The Lagrangian Points, An Application of Linear Algebra, Hannah Rae Kerner, 2013 para saber cómo se deriva):

$$L_1 = R \left(1 -\left(\sqrt[3\ \ \ ]{\frac{\alpha}{3}}\right)\right)$$

Dónde$\alpha$es la proporción de$M_2$(masa del cuerpo secundario) a la masa combinada del sistema ($M_1 + M_2$), o$\frac{M_2}{M_1 + M_2}$.

Entonces, en nuestro caso, dado que la masa de Cytherean es$0.815\ M_E$y la masa del sol$333,000\ M_E$($M_E$es la masa de la Tierra), esta relación de masa$\alpha$es$2.4474 \cdot 10^{-6}$y la media$\text{SVL}_1$la distancia a venus es$-0.009344\ R$o, para que se ajuste a nuestra fórmula,$0.99057\ R$del Sol (cuerpo primario).

Entonces, en kilómetros y unidades astronómicas (UA), la distancia media de$\text{SVL}_1$es entonces:

• $-1,011,090\ \text{km}$o$-0.00676\ \text{AU}$de Venus, o
• $107,196,910\ \text{km}$o$0.71657\ \text{AU}$del sol

Calculé esto usando valores más precisos sin quitar decimales, pero para confirmarlo, hagamos un poco de trampa y usemos una de las calculadoras de puntos de Lagrange en línea . Asume una órbita circular (por lo que solo la distancia media será algo precisa, como la que calculo), y las cifras para$a$de$108,208,000\ \text{km}$,$M_1 = 1\cdot M_\odot$(una masa solar ) y$M_2 = 1\cdot M♀$(masa de Venus) salen como:

• $-1,007,985\ \text{km}$o$-0.00674\ \text{AU}$de Venus, o
• $107,200,015\ \text{km}$o$0.71659\ \text{AU}$del sol

Bastante cerca, pero no estoy seguro de qué valores usa la calculadora como entrada, o en qué punto corta los lugares decimales, por lo que se esperaba una pequeña discrepancia.

Si también aplicamos la excentricidad orbital de Cytherean a nuestros cálculos ($e = 0.0067$), obtenemos un movimiento de$\text{SVL}_1$distancia a venus desde$-1,004,259\ \text{km}$o$-0.006713\ \text{AU}$en el perihelio a$-1,017,920\ \text{km}$o$-0.006804\ \text{AU}$en el afelio.

O simplemente$-1,011,090\ \text{km} \pm 0.67\%$.

Dejaré que otros describan$\text{SVL}_1$estabilidad y cuánto sería perturbado por Mercurio, pero sospecho que las perturbaciones gravitacionales de la Tierra y Júpiter serían más severas. Por supuesto, solo que la distancia del punto 1 de Lagrange desde el cuerpo primario y secundario varía con la distancia entre ellos durante una órbita del cuerpo secundario (Venus) alrededor del primario (Sol) debido a que no es circular hace esto$\text{SVL}_1$punto de silla bastante inestable. Lissajous o, de hecho, Halo orbitan alrededor de estos puntos gravitacionalmente planos en el espacio solo hacen que el mantenimiento de la posición sea un poco más fácil y estas inestabilidades (y las propias del satélite debido a los requisitos de quemado de precisión) son más fáciles de controlar. No los cancelan de ninguna manera, independientemente de lo débiles que puedan ser.

Las órbitas de Lissajous y las órbitas de Halo alrededor de L1 o L2 están muy relacionadas. Para las órbitas de Lissajous, el período en el plano (izquierda-derecha) y el período fuera del plano (arriba-abajo) están desacoplados. Todavía oscilará alrededor del punto de Lagrange, pero en una especie de "garabato de osciloscopio".

Pero para cierto rango de distancias, los dos períodos se volverán iguales y terminará con una órbita de halo (esencialmente) cerrada que es aproximadamente una forma de elipse doblada en 3D.

Las órbitas de halo son solo una subclase de las órbitas de Lissajous donde los dos períodos se vuelven iguales.

En un escenario circular puro de 3 cuerpos restringido (CR3BP), hay algunas órbitas de halo que son verdaderamente estables. Ver respuestas a ¿Son algunas órbitas de Halo realmente estables? , uno de los cuales enlaza con esta respuesta a ¿Es posible tener órbitas estables alrededor del punto L1 de Lagrange? en Física SE. Estos serían entonces una subclase de una subclase de órbitas de Lissajous.

Sin embargo, dado que la gravedad es una fuerza de largo alcance, todo atrae a todo (eventualmente), por lo que incluso esas "órbitas de halo estables" del CR3BP no serán estables en el sistema solar real. Para las órbitas de tres cuerpos asociadas con el Sol y Venus, creo que los principales perturbadores serán la Tierra y Júpiter, ya que la masa de Mercurio es muy pequeña. Pero, de nuevo, los períodos de las órbitas del halo L1/L2 suelen ser aproximadamente la mitad de la órbita del planeta, y eso pone el período sinódico de Venus + Mercurio (145 días) en la misma escala que el período de la órbita del halo (del orden de 112 días) que ofrece la posibilidad de algunos efectos resonantes en algunos casos, por lo que será difícil responder con certeza sin un cálculo real y completo.

Había tratado de resolver este problema de una manera diferente.
- Sol-Mercurio 240000km (distancia L1 y L2 desde el centro del cuerpo en órbita) - Sol-Venus sin SVL1 y SVL2.
- Sol-Tierra 1640000km.
- Sol-Marte 1180000km.
- Sol-Júpiter 58250000km.
- Sol-Saturno 71380000km.
- Sol-Urano 76830000km.
- Sol-Neptuno 126900000km.
- Tierra-Luna 65000km.

Sun-Venus nunca tiene L1 y L2 debido al "campo de gravedad con dirección diferente".

Publiqué mi respuesta el año pasado, pero parece que nadie está interesado en eso. De todos modos, daré otra ecuación relacional sobre L1 de todos los planetas en el sistema solar. Usaré el Sol-Tierra L1 de la respuesta de Senbehely (149.75 prestado de la hoja de cálculo de Hopdavid) para calcular todos los L1 de los planetas.

(Unidades: diez mil kilómetros)

MercurioL1=149,75 x 0,387AU x 0,381=22,08

VenusL1=149,75 x 0,73AU x 0,935=102,21

TierraL1=149,75 x 1AU x 1=149,75

MarteL1=149,75 x 1,523AU x 0,475=108,36

JúpiterL1=149,75 x 5,205AU x 6,825=5319,7

SaturnoL1=149,75 x 9,537AU x 4,564=6518,15

UranoL1=149,75 x 19,2AU x 2,44=7015,5

NeptunoL1=149,75 x 30,05AU x 2,575=11587,5

La siguiente es la respuesta de Victor Szebehely VS solución de ecuación relacional

Mercurio: 22.04 frente a 22.08

Venus: 100,79 frente a 102,21

Tierra: 149,75 frente a 149,75

Marte: 108,25 frente a 108,36

Júpiter: 5191.1 frente a 5319.7

Saturno: 6426.1 contra 6518.15

Urano: 6951.9 vs 7015.5

Neptuno: 11520 frente a 11587,5

(La respuesta de Victor Szebehely se toma prestada de la hoja de cálculo de Hopdavid y gracias)

la ecuación relacional es:
Distancia de L1 del planeta = L1 de la Tierra x Relación de radio orbital x Relación de raíz cúbica de masa

Esta ecuación es sencilla y más precisa (si la L1 de la Tierra es precisa). Porque no tiene errores por exceso de masa del planeta.

Tengo que disculparme porque juro responder en este foro. Así que difícilmente debe entender lo que dije.