¿Qué le sucede a un campo magnético incrustado cuando se forma un agujero negro a partir de polvo cargado en rotación?

La solución para un agujero negro con espín distinto de cero y carga distinta de cero se completa con el potencial vectorial asociado al campo electromagnético. Si tanto el espín como la carga son distintos de cero, el vector potencial tendrá$A_{i}$que dependen de las coordenadas espaciales, y por lo tanto, el agujero negro tendrá un campo magnético distinto de cero.

En coordenadas esferoidales, el vector potencial resulta:

$\begin{equation} A_{a} = -\frac{er}{r^{2}+a^{2}\cos^{2}\theta}dt_{a} + \frac{era\sin^{2}\theta}{r^{2}+a^{2}\cos^{2}\theta}d\phi_{a} \end{equation}$

Tomando el rotacional de la parte espacial (así, suponiendo que vamos a calcular 'el campo magnético observado por alguien que no se mueve en relación con$r,\theta,\phi$, por ejemplo), encontramos los dos componentes relevantes del tensor de Maxwell:

$\begin{align} F_{r\phi}&=\frac{(a^{2}\cos^{2}\theta - r^{2})ea\sin^{2}\theta}{(r^{2}+a^{2}\cos^{2}\theta)^{2}}\\ F_{\theta\phi}&=\frac{(r^{2}+a^{2})era\sin(2\theta)}{(r^{2}+a^{2}\cos^{2}\theta)^{2}} \end{align}$

Lo sabemos$F_{r\phi}$es proporcional a$B_{\theta}$, mientras$F_{\theta\phi}$es proporcional a$B_{r}$(los factores exactos requieren calcular el determinante del tensor métrico, y no creo que calcular estos términos exactamente sea el objetivo de este ejercicio). Sin embargo, la dependencia angular de este campo debería dejar en claro que el campo es diferente al de un dipolo verdadero. La pregunta sobre las líneas de campo que cruzan el horizonte es más complicada, ya que estas coordenadas son singulares en el horizonte, y ese cálculo tendría que realizarse en un sistema de coordenadas que allí no es singular. Pero esperaría que hubiera un componente normal del campo magnético hacia el horizonte, ya que no hay nada en estos$F_{ab}$términos que es singular en el horizonte.