¿Es E2=(mc2)2+(pc)2E2=(mc2)2+(pc)2E^2=(mc^2)^2+(pc)^2 o es E=mc2E=mc2E=mc^2 el ¿Corriga uno?

Permítanme aclarar algunas confusiones en la notación a las que han aludido otras respuestas pero que no se han mencionado claramente.

Históricamente, a los físicos les gustaba hablar de dos definiciones diferentes de masa

• La primera es la masa en reposo de una partícula.$m_0$. Esta es la masa de la partícula cuando está en reposo. Por ejemplo, la masa en reposo del electrón es$(m_0)_{electron} = 9.1 \times 10^{-31}~Kg$. Esta es una constante absoluta que es independiente de la velocidad de la partícula.

• La segunda es la masa relativista.$m$. Esta es la masa aparente de la partícula cuando se mueve con velocidad.$v$. Está relacionado con la masa en reposo a través de la relación

  $$m = \gamma m_0 = \frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$ Tenga en cuenta que la masa relativista NO es una constante. Depende de$v$.

En esta notación histórica, la famosa fórmula de Einstein que es completamente correcta en todos los marcos es

$$E = m c^2$$ Sin embargo, resulta a través de una serie de manipulaciones algebraicas que esta ecuación también implica $$E^2 = ( m_0 c^2)^2 + (pc)^2$$ Probemos esto. $p$es el momento de la partícula definida por $p = m v = \gamma m_0 v$. De este modo $$(m_0 c^2)^2 + (pc)^2 = m_0^2 c^4 + \gamma^2 m_0^2 v^2 c^2 = m_0^2 c^4 \left( 1 + \frac{\gamma^2 v^2}{c^2} \right)$$ Ahora tenemos la propiedad $$1 + \frac{\gamma^2 v^2}{c^2} = 1 + \frac{\frac{v^2}{c^2}}{\left( 1 - \frac{v^2}{c^2} \right) } = \frac{1}{ \left( 1 - \frac{v^2}{c^2} \right) } = \gamma^2$$ De este modo $$(m_0 c^2)^2 + (pc)^2 = m_0^2 c^4 \gamma^2 = (\gamma m_0)^2 c^4 = m^2 c^4 = (mc^2)^2 = E^2$$ Así, en resumen, en la notación histórica tenemos dos fórmulas completamente equivalentes $$\boxed{ E^2 = (m c^2 )^2 = (m_0 c^2)^2 + (pc)^2}$$

En la notación moderna , los físicos han decidido abandonar la discusión sobre la masa relativista.$m$ya que no es una constante absoluta y depende de la velocidad de la partícula. Hoy en día, solo hablamos de la masa en reposo,$m_0$. Sin embargo, en un cambio notacional confuso, los físicos de hoy decidieron usar$m$para el resto de la masa (que en la notación actual no es para nada confusa, ya que no hablamos de masa relativista, pero a menudo es confusa para los estudiantes que intentan comparar los artículos originales de Einstein con los libros escritos hoy).

Entonces, siguiendo la notación moderna, solo tenemos UNA ecuación, a saber

$$\boxed{ E^2 = (m c^2)^2 + (pc)^2 }$$ donde en la ecuación anterior $m$es ahora la masa restante.

Ambos son correctos, dentro de los dominios para los que son correctos.

Más seriamente, la relación general

$$E^2 = m^2c^4 + p^2c^2$$

vale para todos los objetos, tengan masa o no, se muevan o no.

el caso especial$E = mc^2$es para$p = 0$, es decir, objetos que no se mueven, como dijiste.

el caso especial$E = pc$es para objetos que no tienen masa, es decir, fotones.

Estoy de acuerdo con la respuesta de ACuriousMind, pero creo que también podría ser útil pensarlo así...

$E^2=m_0^2c^4+p^2c^2 =m^2c^4$

dónde$m_0$es la masa en reposo y$m$es la masa relativista (o masa inercial), definida como$m = \gamma m_0 = m_0 / \sqrt{1 - v^2/c^2}$.

La masa relatavista aumenta a medida que aumenta el impulso de la masa. En reposo los dos son iguales entre sí. A medida que aumenta la velocidad de un objeto y su impulso, aumenta la masa del objeto.

así que lo pienso como

$E^2=m_0^2c^4+p^2c^2$

y

$E=mc^2$

La ecuacion

$$E^2=(mc^2)^2+(pc)^2$$ representa la relación energía-momento correcta. da la energia total $E$para un objeto de masa invariable (masa en reposo) $m$que se observa que se mueve con impulso $p$. Esta ecuación es aplicable independientemente de si se observa que el objeto está en movimiento ( $p \ne 0$), o se observa que está en reposo ( $p = 0$). En el último caso, la ecuación energía-momento se simplifica en la conocida $E=mc^2$.

Como un aparte (algunos podrían llamarlo quisquilloso), cuando se discuten los aspectos genéricos de la ecuación energía-momento, es una buena forma escribir la ecuación de modo que ambos lados de la ecuación sean independientes del marco de observación elegido:

$$E^2 - (pc)^2 = (mc^2)^2$$ Mismas matemáticas, diferente física. (Tenga en cuenta que esta relación relativistamente invariante es simplemente la expresión de la norma cuadrática del cuatro vector energía-momento).

Todas las otras respuestas son geniales, y recomiendo leerlas. Sin embargo, creo que falta algo si no intenta obtener una comprensión intuitiva con la geometría:

Este triángulo muestra que la ecuación$E^2=(mc^2)^2+(pc)^2$se puede representar a través de una especie de teorema de Pitágoras inverso. El caso especial de$E=mc^2$se puede encontrar configurando$p$a cero, y aparece como si el$pc$lado del triángulo es de tamaño cero, cambiando la forma a una línea con$E$en la parte superior y$mc^2$En el fondo. Asimismo, para la luz, podemos mostrar el caso especial de$E=pc$estableciendo la masa en reposo$m$a cero, lo que transforma el triángulo en una línea vertical con$E$a la izquierda y$pc$A la derecha.

Gran parte de esto son ideas obtenidas con esfuerzo después de un par de décadas de estudio independiente. Míralo, y creo que podrías encontrar que hay algo bastante útil aquí.

La segunda ley de Newton se puede escribir:

$$\frac{\text{Impulse}}{\text{mass}} = \text{Change in Velocity}.$$

Pero en mecánica relativista tenemos

• Impulso/masa (en ls/s) =$\sinh(w)$,
• Cambio en la velocidad (en ls/s) =$\tanh(w)$
• Factor de dilatación del tiempo/contracción de la longitud (en s/s o ls/ls) =$\cosh(w)$

dónde$w$es la rapidez . Cuando la rapidez es pequeña,$\sinh(w)= \tanh(w) = w$

Puedes ver parte de esto en

$$E^2 = p^2 c^2 + (mc^2)^2$$

Entonces, esta ecuación es esencialmente el equivalente trigonométrico hiperbólico del teorema de Pitágoras.

$$(mc^2)^2 \cosh^2(w) = (mc^2)^2\sinh^2(w) + (mc^2)^2$$

o

$$(mc^2)^2 \gamma^2 = (mc^2)^2 \left(\frac{\text {impulse}}{\text{mass}} \text{(in ls/s)}\right)^2 + (mc^2)^2$$

También puede obtener la energía cinética de esta ecuación restando 1 del factor de dilatación del tiempo y multiplicando el resultado por$mc^2$. Sin embargo, la ecuación no es muy útil para ese propósito a bajas velocidades, dado que el factor de dilatación del tiempo,$\gamma$, será algo así como 1.00000000004 y no cabe en su calculadora.

Una vez que confirme que todo esto es realmente trigonometría hiperbólica, si puede encontrar una calculadora con fácil acceso a las funciones trigonométricas hiperbólicas, le resultará mucho más fácil poner las cosas en rapidez.