¿Qué aspectos del calentamiento de reentrada 'escalan como la octava potencia'?

@ckmrk esencialmente ya dio la respuesta a la que probablemente se refiere Musk, y como su comentario llegó hace una semana sin una respuesta a la vista, voy a ampliar eso.

Musk hace referencia claramente a la escala de "calentamiento" como la octava potencia de la velocidad de entrada, ya que este es el contexto.

Ahora, el calentamiento principal de la nave espacial en la entrada proviene de la luminosidad de choque que cualquier objeto por encima de la velocidad del sonido local creará en su frente.
La 'luminosidad' aquí es el calentamiento infrarrojo del gas comprimido adiabáticamente. Comprimido adiabáticamente significa que se comprime tan rápido que sigue una cierta relación termodinámica, pero esencialmente el gas intentará expandirse y, si no puede, se calentará e irradiará su temperatura adicional.

El modelo más simple para este proceso son las ecuaciones 1D-Euler integradas sobre una caja de Rankine-Hugoniot . El resultado del modelo son ecuaciones predictivas para las cantidades de gas antes$\rm Q_b$y despues del susto$\rm Q_a$.

Aquí nos interesa principalmente una de esas ecuaciones, que es la de la energía interna:

Donde tenemos las cantidades$\rm e$siendo la energía interna,$\rm u$la velocidad del flujo,$\rm p$presión cinética y$\rm \rho$la densidad de masa volumétrica del gas. Ahora, para el caso adiabático descrito antes, es$\rm e = c_v \rho T$y la presión se encuentra con el gas ideal EOS, dándonos$\frac{p}{\rho} = \frac{k_B T}{\mu}$.
Ahora, en el marco de reposo de la nave espacial, el gas viene hacia ella con velocidad orbital, pero la presión y la energía interna pueden despreciarse, en comparación con después del choque, donde el gas está esencialmente en reposo.

Entonces obtenemos

Ahora, como se explicó, la escala rhs es proporcional a T.

A continuación, como se hace a menudo en esos cálculos de fondo, uno finge que en realidad tiene un modelo más complejo que las ecuaciones de Euler, y acopla la temperatura cinética del gas al campo de radiación de fotones, saltando así a la hidrodinámica de radiación. Esto implica una Luminosidad (como decimos los astrónomos) o tasa de calentamiento (como prefieren los ingenieros) de$\rm L \sim T^4$y vemos trivialmente que es

Este pequeño ejercicio probablemente se hace en todas las clases de introducción a la ingeniería aerodinámica, y eso es lo que recuerda Musk.
Además, como se mencionó, este es solo el modelo más simple posible. Fuertes fuentes adicionales de disipación de energía, como reacciones químicas espontáneas e ionización, cambian$\rm c_v$y$\rm \mu$y por lo tanto puede cambiar la escala anterior. A altas velocidades de entrada, el calentamiento puede ser bastante extremo, entonces los procesos radiativos no térmicos y de no equilibrio pueden incluso producir nuevos canales radiativos para enfriar el gas y, por lo tanto, calentar la nave espacial.

Hay libros enteros sobre el reingreso atmosférico y encuentro fascinante toda la complejidad física del problema. Puedo recomendar el libro un poco más antiguo (1989) de JDAnderson 'Dinámica de gases hipersónicos y de alta temperatura', como referencia.

Caramelo de información:
el modelo discutido anteriormente también deja en claro que la 'fricción' no tiene mucho que ver con el calor generado en la entrada atmosférica, que nunca me canso de señalar a los estudiantes. La generación de calor puramente por fricción tendría una escala diferente y más débil.

tl; dr: Si bien el calentamiento radiativo real para naves espaciales reales no se escala realmente como v${}^8$(es mucho más complicado), cuando Musk dice que "ciertos aspectos" dependen de la octava potencia, puede estar recordando una ecuación que leyó una vez en uno de los libros de cohetes que ha tomado prestado y leído a lo largo de los años (originalmente cerca de la parte inferior).

Voy a aventurar una respuesta un tanto agitada, que normalmente trato de desalentar, pero en este caso particular, dado que la pregunta se refiere a un comentario improvisado (o como dice @AnthonyX " improvisado y sin filtrar ") de Musk quien probablemente está tomando una mezcla de adrenalina, oxitocina, " ... cafeína y el deseo de ayudar a la humanidad a colonizar Marte " en el video después del exitoso lanzamiento de FH, lo improvisaré solo esta vez.

El calentamiento aerodinámico durante la reentrada es un problema complejo y, si bien uno puede comenzar con ecuaciones, rápidamente se convierte en un problema de dinámica de fluidos computacional , calibrado por comparación con un extenso conjunto de mediciones de procesos físicos a alta velocidad y/o temperatura para hacerlo bien, o por lo menos acércate.

Los ingenieros pueden ejecutar muchas simulaciones en varios conjuntos de condiciones (velocidad, densidad) (consulte la Tabla 3-8 ) para tener una idea de cómo las tasas de calentamiento dependen de ellas. Entonces uno puede usar esa tasa para pruebas de trayectoria de reentrada simples iniciales. Más tarde, uno haría simulaciones CFD completas de todo a la vez. Es algo así como hacer cónicas parcheadas para obtener una trayectoria inicial, luego un cálculo completo de n cuerpos cuando desea refinar.

Mirando una gráfica de calentamiento versus velocidad sobre un cierto rango limitado de velocidades, puede ser más fácil expresar la pendiente como una ley de potencia. También puede haber leyes de potencia en aproximaciones analíticas (formulaicas) más antiguas. Las leyes de potencia y los exponenciales son las dos formas en que los ingenieros suelen parametrizar las variaciones locales porque es rápido. Por ejemplo, si algo aumenta a la octava potencia, entonces se sabe que si la velocidad aumenta en un 10 %, el calentamiento aumenta en 1,1${}^8$el cual, usando una serie de Taylor es factor de 1.8 o 2.1 usando uno o dos términos:

Entonces, para problemas complejos, las leyes de potencia todavía se usan como formas rápidas de estimar mentalmente o en una pizarra cuánto depende algo de otra cosa. Esto se hace a menudo cuando se discute si algo es importante o no, una buena idea, una mala idea, etc.

En estas diapositivas de la NASA seleccionadas al azar, Clase n.º 1: Calentamiento del punto de estancamiento , encontré un gráfico de la tasa de calentamiento en función de la velocidad de reentrada. Lo estoy sacando del contexto de un problema mucho más complejo, pero cumple su propósito.

Para obtener el valor de la potencia de un comportamiento de ley de potencia, utiliza la relación de los logaritmos de las relaciones:

Si$y=x^p$, después

Después de contar los píxeles, la potencia de la línea roja más delgada y muy empinada es de aproximadamente 30 , y la potencia de la parte superior que termina en la parte superior de la línea roja gruesa cae a aproximadamente 5,3 .

El calentamiento por radiación es un proceso complejo, y las moléculas orgánicas emitidas por un escudo térmico ablativo (si se usa uno) pueden contribuir en gran medida a reducir el transporte de calor a la nave espacial debido a su fuerte absorción de luz infrarroja. Pero el plasma puede calentarse mucho, mucho, por lo que, además de CFD, también se debe hacer un modelado detallado del plasma. No puedes simplemente usar el familiar$T^4$ley de potencia sola cuando las propiedades del plasma también dependen de la temperatura y hay mucha autoabsorción.

Cuando Musk dice que "ciertos aspectos" dependen de la octava potencia, puede estar recordando una ecuación que leyó una vez en uno de los libros de cohetes que ha tomado prestado y leído a lo largo de los años:

Ver también Quora ¿Devolvió Elon Musk los libros que le prestó Jim Cantrell? Mantenga el cursor sobre el cuadro de alerta de spoiler para revelar la respuesta. Sugerencia: es lo que piensas.

no, nunca lo hizo