Ecuación de movimiento de una barra que cae (con un extremo tocando una superficie sin fricción) [cerrado]

Como la superficie no tiene fricción, solo hay fuerza vertical. El par viene dado por la fuerza normal de la superficie multiplicada por la distancia horizontal al centro de masa (com). Ahora, la fuerza normal depende de la aceleración vertical del com. Usted sabe que la aceleración del com es el resultado de todas las fuerzas que actúan sobre el objeto, en este caso solo$F_n-mg$.

Ahora solo tiene que escribir la relación entre los dos: el par da lugar a la aceleración angular, que a su vez da como resultado cambios en la aceleración vertical. para masa$m$, longitud$2\ell$, momento de inercia$I = \frac{1}{3}m\ell^2$(¡rotación sobre el centro de masa!), ángulo$\theta$a la vertical (vertical:$\theta=0$), podemos escribir las siguientes ecuaciones:

Aceleración angular:

$$I\ddot\theta = F_n \ell \sin\theta\\ \frac13m\ell^2 \ddot\theta= F_n\ell\sin\theta$$ $$\ddot\theta = \frac{3F_n\sin\theta}{m\ell}\tag1$$ Aceleración vertical de com: $$y = \ell \cos\theta$$ $$\ddot{y} = -\ddot\theta\ell\cos\theta \tag2$$

Pero también sabemos

$$\Gamma = I\ddot\theta\tag3$$ $$F_n - mg = m\ddot{y}\tag4$$

eliminando$\ddot\theta$de$(1)$y$(2)$, y sustituyendo la expresión resultante por$\ddot{y}$en$(4)$, obtenemos

$$F_n = mg - 3F_n\sin\theta\cos\theta\\ =\frac{mg}{1+3\sin\theta\cos\theta}$$

Y finalmente el par sigue:

$$\Gamma = F_n\ell\sin\theta\\ = \frac{mg\ell\sin\theta}{1+3\sin\theta\cos\theta}$$

Comprobación rápida de cordura: cuando$\theta$esta cerca de$0$, hay poco par; el denominador se convertiría en cero cuando$3\sin\theta\cos\theta = -1$- pero eso no sucede cuando$\theta\in[0,\pi/2]$lo cual es tranquilizador. De hecho, la gráfica de torque se ve así:

Es posible que haya cometido un error en lo anterior, pero parece razonable. El enfoque debe ser correcto...

Consulte https://physics.stackexchange.com/a/90894/392 para obtener detalles sobre una pregunta muy similar.

Si el cuerpo está en contacto con el suelo así

entonces las ecuaciones de movimiento son

$$\begin{aligned} F & = m \ddot{x}_C \\ N - m g & = m \ddot{y}_C \\ N \frac{\ell}{2} \sin\theta + F \frac{\ell}{2} \cos\theta & = I_C \ddot\theta \end{aligned}$$

con restricciones de movimiento

$$\begin{aligned} \dot{x}_C & = \dot{x}_A - \frac{\ell}{2}\cos\theta \dot\theta & \ddot{x}_C & = \ddot{x}_A - \frac{\ell}{2}\cos\theta \ddot\theta + \frac{\ell}{2}\sin\theta \dot{\theta}^2 \\ \dot{y}_C & = - \frac{\ell}{2}\sin\theta \dot\theta & \ddot{y}_C & = - \frac{\ell}{2}\sin\theta \ddot\theta- \frac{\ell}{2}\cos\theta \dot{\theta}^2 \end{aligned}$$

y propiedades de contacto

$$F = 0 \\ N > 0$$

Lo anterior se resuelve por

$$\boxed{ \begin{aligned} \ddot\theta & = \frac{ m \frac{l}{2} \sin\theta \left( g -\frac{l}{2} \dot{\theta}^2 \cos\theta \right)}{I_C + m \left(\frac{l}{2}\right)^2 \sin^2\theta} \\ N & = I_C \frac{ m \left( g -\frac{l}{2} \dot{\theta}^2 \cos\theta \right)}{I_C + m \left(\frac{l}{2}\right)^2 \sin^2\theta} \\ \ddot{x}_C & = 0 \\ \ddot{y}_C & = - \frac{ \frac{\ell}{2} \left( I_C \dot{\theta}^2 \cos\theta + m \frac{\ell}{2} g \sin^2\theta \right)}{I_C + m \left(\frac{l}{2}\right)^2 \sin^2\theta} \\ \end{aligned} }$$

Ahora el momento de torsión sobre el centro de masa es

$$\begin{aligned} \tau_C & = N \frac{\ell}{2} \sin\theta + F \frac{\ell}{2} \cos\theta \\ & = \frac{\ell}{2} N \sin\theta \\ & = I_C \frac{ m \frac{l}{2} \sin\theta \left( g -\frac{l}{2} \dot{\theta}^2 \cos\theta \right)}{I_C + m \left(\frac{l}{2}\right)^2 \sin^2\theta} \end{aligned}$$

^NOTA: La notación$\dot{x}_C$y$\ddot{x}_C$significa la velocidad y aceleración del punto C a lo largo de la dirección x . De manera similar para el resto de los componentes de velocidad/aceleración anteriores. Observe cuánto más complejo es este problema de lo que podría haber pensado originalmente.

Supongo que la velocidad horizontal inicial es cero. De lo contrario, podríamos simplemente cambiar el marco de referencia.

Si la superficie es horizontal, entonces este es efectivamente un sistema de restricciones con solo un grado de libertad:

1. La fuerza de restricción tiene dirección vertical.
2. La fuerza gravitacional tiene dirección vertical.
3. Sin fricción. Esta sería la única fuerza en dirección horizontal.

Por estas razones, solo tendrá aceleración del centro de masa en dirección vertical y podrá concentrar sus investigaciones en el movimiento vertical.

Incluso si no lo usamos a continuación, algunas notas sobre la generación de torque: La fuerza de restricción actúa sobre el punto de contacto. La contrafuerza es la fuerza de inercia que actúa sobre el centro de masa. La longitud efectiva de la palanca es$\frac l2\cos(\theta)$.

Sin embargo, no me gustaría escribir ecuaciones de equilibrio. Preferiría algún principio de mecánica de restricciones. Por ejemplo, el principio de Lagrange.

Puedes usar$\theta$como coordenada generalizada si lo desea.

La energía potencial es:

$$U= mg\frac l2\sin(\theta)$$ la energía cinética es $$T = \frac m2 \dot h^2 + \frac{J}2\dot\theta^2$$ con $h(\theta(t)) = \frac l2\sin(\theta(t))$, $\frac{d}{dt}h(\theta(t)) = \frac l2\cos(\theta)\dot\theta$y con el momento de inercia $J$para rotaciones alrededor del centro de masa. Eso no lo elaboro porque depende de la caña.

$$T = \frac {ml}8 \cos^2(\theta)\dot\theta^2 + \frac{J}2\dot\theta^2$$ El lagrangiano es $$L(\theta,\dot\theta) = T-U = \frac {ml}8 \cos^2(\theta)\dot\theta^2 + \frac{J}2\dot\theta^2 - mg\frac l2\sin(\theta)$$ y la ecuación de Lagrange es $$\frac{d}{dt}\left(\partial_{\dot\theta} L\right)-\partial_\theta L = 0.$$ Esta es realmente la ecuación del movimiento. $$\frac{d}{dt}\left(\left(\frac{ml}{4}\cos^2(\theta)+J\right)\dot\theta\right) -\left(-\frac{ml}4\cos(\theta)\sin(\theta)\dot\theta^2-mg\frac l2\cos(\theta)\right)=0$$ Espero no haber cometido muchos errores y dejaros la prueba y el resto.