Movimiento de partícula cargada en onda em

Puede dividir el problema en dos regímenes: (No relativista) donde la velocidad de la partícula cargada es$\ll c$y la solución es simple, se muestra a continuación. (Relativista} donde no se puede hacer la suposición no relativista y la solución es bastante difícil.

No relativista. Nosotros decimos eso

$$m \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B}).$$ Pero para una onda plana en el vacío sabemos que $B = E/c$por lo que el segundo término del lado derecho puede ignorarse.

Entonces, por ejemplo, si tiene una onda plana que viaja a lo largo del eje x con amplitud$E_0$y frecuencia$\omega$:

$$m \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2} = qE_0 \sin (\omega t - kx) \vec{j},$$ donde he elegido polarizar la onda a lo largo del eje y y el campo B está a lo largo del eje z.

Si ahora asumimos que la partícula cargada comienza en reposo y en el origen, entonces al integrar dos veces, tenemos

$$\vec{r} = \frac{q E_0}{m \omega} \left( t - \frac{\sin \omega t}{\omega} \right) \vec{j}.$$

Hay alguna oscilación de segundo orden en el$x$dirección, al doble de la frecuencia, pero con una amplitud mucho menor.

Relativista. Mucho más duro.

Los cuatro componentes de la aceleración son:

$$m \ddot{x} = -q\dot{y} B_0 \sin \omega t$$ $$m \ddot{y} = q( \dot{x}B_0 \sin \omega t + \dot{t} E_0 \sin \omega t)$$ $$m \ddot{z} = 0$$ $$m \ddot{t} = \frac{q \dot{y}}{c}E_0 \sin \omega t$$ donde las derivadas aquí están con respecto al tiempo propio $\tau$y la relación entre el tiempo propio y el tiempo coordinado $t$es $$d\tau = dt \left[ 1 - \frac{1}{c^2}\left[\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dz}{dt}\right) \right]^2 \right]^{1/2}$$

Como era de esperar, los resultados de la integración de estos son confusos. Todo se analiza en Kruger y Bovyn (1976) y los resultados se expresan como funciones de$\tau$y la frecuencia del ciclotrón$\Omega = eB_0/m$(Las ecuaciones 12a-d en esa referencia dan expresiones generales para una excitación de onda plana). Sin embargo, los resultados se pueden expresar en términos de una expansión en serie de armónicos de frecuencia$\omega^*$, dónde$\omega^*$está relacionado con$\omega$por un desplazamiento doppler (ver p. 1844 del documento) - es decir, las oscilaciones ya no pueden considerarse en una sola frecuencia y tienen lugar tanto en el$x$y$y$direcciones.

La fuerza de Lorentz que actúa sobre una partícula cargada libre en un campo electromagnético${\bf E},{\bf B}$es${\bf F} = q({\bf E} + {\bf v}\times{\bf B})$y si estás usando mecánica no relativista entonces tienes que resolver la ecuación

$$m\frac{d {\bf v}}{dt} = q({\bf E} + {\bf v}\times{\bf B})$$ con (por su pregunta, supongo que se refiere a una onda plana que viaja en el $z$dirección) $${\bf E}= E_0{\bf i} sin(\omega t + kz), {{\bf B}= B_0{\bf j} sin(\omega t + kz)}$$

(puede ser más fácil mantener la forma compleja para el campo em, es decir , reemplazar$\sin$por$e^{i(\omega t + k z)}$?). Para una onda plana existirá una relación entre las amplitudes$E_0, B_0$pero, por lo general, el término de la fuerza magnética será mucho más pequeño que el término de la fuerza eléctrica (ciertamente, si asume una mecánica no relativista, entonces esto será cierto).

Para resolver el problema de${\bf v}$necesitarás las condiciones iniciales. En el caso más simple de que la carga en$t = 0$está inicialmente en reposo en el origen Sospecho que puede ser más fácil buscar una solución numérica: cuando la carga está en reposo siente la fuerza del campo eléctrico que la mueve en la dirección${\bf i}$y luego la fuerza magnética lo empuja en la dirección${\bf i}\times{\bf j} = {\bf k}$por lo que debe tener en cuenta la variación con la distancia de la onda plana.

PD: Tenga en cuenta que además de ser no relativista, también ignora la carga (ya que está acelerando) también irradia energía.