¿Cómo puede la tunelización cuántica conducir a la descomposición espontánea?

Pensé que indicaría cómo se puede argumentar que se produce la descomposición radiactiva a partir de la tunelización cuántica. Esto deriva de una manera muy “en la parte de atrás del sobre” la ecuación fenomenológica para la desintegración radiactiva. A partir de ahí puedo argumentar algo sobre el papel de observar la desintegración radiactiva.

La tunelización cuántica se puede ver con la barrera de potencial cuadrada. Una barrera de potencial cuadrada con energía potencial.$V$admite funciones de onda de la forma

$$exp\left(i\frac{\sqrt{2mE}x}{\hbar}\right),~exp\left(i\frac{\sqrt{2m(E - V)}x}{\hbar}\right)$$ fuera y dentro de la barrera cuadrada. Con la onda dentro de la barrera existe el vector de onda $$k = \frac{\sqrt{2m(E – V}}{\hbar},$$ que tiene un valor imaginario $E < V$. La partícula está haciendo un túnel a través de la barrera y es una función decreciente. $exp(-kx)$. Esto se mantiene en la región de la barrera $0 < x < d$de ancho $d$. El mas largo $k$es más rápidamente la función decae exponencialmente y se reduce la probabilidad de tunelizar. Además, si se aumenta el ancho de la barrera de potencial, hay una mayor disminución en la función de izquierda a derecha, por lo que nuevamente se reduce la probabilidad de formación de túneles. Esto se calcula como un coeficiente de transmisión.

Para hacer este problema en su totalidad tenemos que hacer coincidir las condiciones de contorno en la barrera. Podríamos aproximarnos aún más a la$L^2/2mr^2$término con una barrera infinita a la izquierda de la barrera cuadrada. Esto se mete en una buena cantidad de álgebra, nada difícil pero largo y un poco tedioso. Para la barrera cuadrada tenemos la amplitud de transmisión

$$T = \frac{4k_{out}k_{in}e^{-id(k_{out} - k_{in})}}{(k_{out} + k_{in})^2 + (k_{out}^2 + k_{in}^2)sin(dk_{out})}$$ y el módulo cuadrado de esto es la probabilidad de tunelización $$P_T = \left(1 + \frac{V^2sinh^2(k_{in}d)}{4E(V – E)}\right)^{-1},$$ llamado coeficiente de transmisión.

Esto no es del todo satisfactorio. El problema es que esto es para el caso estacionario a largo plazo, que se basa en la ecuación de Schroedinger independiente del tiempo, para una barrera cuadrada. Sin embargo, podemos pensar en nuestra partícula alfa en un pozo nuclear moviéndose de un lado a otro, de modo que cada vez que alcanza la barrera tiene esta probabilidad de transmisión de atravesarla. Esta función de transmisión no se ajusta exactamente a este problema, pero podemos hacer uso de ella. La probabilidad de que la partícula alfa permanezca en el pozo es$P = 1 – P_T$con cada recurrencia u órbita/oscilación de la partícula alfa. Ahora voy a suponer que la probabilidad de transmisión es bastante pequeña para cada oscilación u órbita. Por lo tanto para$N$órbitas de la partícula alfa$P_N \simeq 1 – NP_T$. Entonces podemos aproximar esto con la regla de Taylor para la función exponencial de modo que con el tiempo$t = N/\omega$,$\omega$la frecuencia de oscilación$\omega \simeq \hbar k_{out}/d$eso

$$P(t) \simeq exp\left(-P_T\frac{\hbar k_{out}t}{d}\right)$$ que es la regla fenomenológica para la desintegración radiactiva.

Esta pregunta es en gran medida sobre el papel de la medición en la desintegración radiactiva. Creo que está claro que la desintegración radiactiva ha estado ocurriendo mucho antes de que la gente la midiera. Toda la empresa de fechar rocas y fósiles se basa en el hecho de que la desintegración radiactiva ha estado ocurriendo durante millones e incluso miles de millones de años. La ocurrencia de un evento de decaimiento radiactivo es una forma de reducción de estado. En el argumento anterior con probabilidades estimadas a partir de una amplitud cuántica, hay una suposición implícita de que cada vez que la partícula alfa orbita hay algún acoplamiento a un conjunto de estados en el entorno que puede inducir la decoherencia de la función de onda. El evento de decaimiento real es entonces una decoherencia o, en el lenguaje de la regla de oro de Fermi, una suma masiva (corte y quema de estados cuánticos) para estimar la emisión espontánea de bosones.

Estoy agregando algunos puntos que la respuesta de Lawrence aún no abordó, pero que deberían ayudar a aclarar la naturaleza del proceso de tunelización cuántica:

De acuerdo con los postulados de QM, la evolución unitaria de tal sistema debería, por definición, mantenerlo reversible, por lo que solo cuando se mide se puede observar o no un decaimiento. Pero esto haría que la tasa de decaimiento dependiera de la tasa de medición, mientras que sabemos bien que la probabilidad de decaimiento es constante y que el decaimiento se considera "espontáneo". ¿Qué me estoy perdiendo?

La reversibilidad de la evolución unitaria no excluye la irreversibilidad de eventos de tunelización únicos. Esto se debe a que "reversibilidad" significa cosas diferentes en los dos contextos:

1) Una evolución unitaria$\hat U$se dice que es reversible en el tiempo si siempre que$|\psi(0)\rangle \rightarrow |\psi(t)\rangle = {\hat U}(t)|\psi(0)\rangle$es una dinámica válida, entonces para$|{\bar \psi}(0)\rangle = {\hat T} |\psi(t_0)\rangle$en algún momento$t_0$y con${\hat T}$el operador de inversión de tiempo antilineal,$|{\bar \psi}(0)\rangle \rightarrow |{\bar \psi}(t)\rangle = {\hat U}(t)|{\bar \psi}(0)\rangle \equiv {\hat T} |\psi(t_0-t)\rangle$da la dinámica invertida en el tiempo exacta. Esto implica que$[{\hat T}, {\hat U}] = 0$, y de manera similar para el generador de${\hat U}$, el hamiltoniano${\hat H}$. Para una partícula de espín 0, el operador de inversión de tiempo${\hat T}$equivale a una conjugación compleja en la representación de posición, pero para espín-1/2 y superior también incluye un componente unitario que actúa sobre los grados de libertad de espín.

2) Un evento de tunelización es irreversible simplemente porque una vez que la partícula atraviesa la barrera, la probabilidad de que retroceda en algún momento posterior es prácticamente nula. El túnel real corresponde a la$|\psi(0)\rangle \rightarrow |\psi(t)\rangle = {\hat U}(t)|\psi(0)\rangle$evolución. pero deja$D$denote el dominio espacial "dentro" de la barrera, y sea

$$P_D(t) = \int_D{dV\;|\langle {\bf x} |\psi(t)\rangle|^2}$$ Sea la probabilidad de localizar la partícula dentro $D$. En general, se supone que la partícula se localiza inicialmente por completo dentro de D, de modo que $P_D(0) = \int_D{dV\;|\langle {\bf x} |\psi(0)\rangle|^2} = 1$. La afirmación de que la probabilidad de tunelización inversa es nula equivale a decir que $P_D(t)$desaparece asintóticamente, $$\lim_{t \rightarrow \infty}{P_D(t)} = \lim_{t \rightarrow \infty}{\int_D{dV\;|\langle {\bf x} |\psi(t)\rangle|^2}} \;\rightarrow \;0$$ El hecho de que la evolución de los túneles ${\hat U}(t)$sigue siendo reversible en el tiempo significa que si ahora tomamos como estado inicial el tiempo invertido del estado en algún tiempo asintóticamente grande $t_0 \rightarrow \infty$, $|{\bar \psi}(0)\rangle = {\hat T} |\psi(t_0)\rangle$, cuando la partícula está definitivamente localizada fuera de $D$, $\int_D{dV\;|\langle {\bf x} |{\bar \psi}(0)\rangle|^2} \rightarrow 0$, entonces la evolución de $|{\bar \psi}\rangle$será exactamente el tiempo invertido del original para $|\psi\rangle$, y conducirá asintóticamente a la partícula de regreso al dominio $D$a través de tunelización inversa, $$\lim_{t \rightarrow \infty}{\int_D{dV\;|\langle {\bf x} |{\bar \psi}(t)\rangle|^2}} \;\rightarrow \;1$$ En el sentido de un evento individual, este túnel inverso en $D$es tan irreversible como el túnel original de $D$, a pesar de que ${\hat U}(t)$es una evolución reversible en el tiempo.

Si lo prefiere, piense en una analogía con un paquete de ondas de partículas libres de momento promedio bien definido${\bf p}$: siempre viaja en la dirección de$\bf p$y, estadísticamente hablando, nunca da la vuelta, a pesar del zitterbewegung y la dispersión inherentes. Pero la evolución de las partículas libres es reversible en el tiempo, y el tiempo invertido de este paquete de ondas viajará en el$-\bf p$dirección, etc

[…] ¿por qué, en ausencia de cualquier medida, tenemos un decaimiento exponencial? Simplemente no entiendo en qué punto de la evolución unitaria del sistema inestable está ocurriendo espontáneamente el efecto túnel.

No es tanto en qué punto en el tiempo ocurre el efecto túnel, ya que este es esencialmente un proceso estadístico, sino cuál es la probabilidad de que en el tiempo$t$la partícula se encuentra fuera del dominio interior$D$. Para determinar esta probabilidad, en realidad no necesitamos seguir la dinámica del mismo sistema a través de múltiples consultas. En general, ni siquiera podemos hacer esto sin alterar toda la dinámica. Lo que debemos hacer es consultar conjuntos de sistemas preparados idénticamente en diferentes momentos.$t$, idealmente usando un conjunto diferente para cada consulta. En principio, esto garantizaría que el procedimiento de medición no interfiera con la dinámica hasta ese momento y que la probabilidad medida sea realmente confiable.

El decaimiento exponencial significa entonces que la fracción de partículas detectadas fuera del dominio$D$en cada una de estas consultas disminuye exponencialmente con el tiempo transcurrido desde la preparación del conjunto respectivo. Tenga en cuenta que el tiempo de tunelización promedio está bien definido estadísticamente, aunque no es necesario considerar un promedio sobre los tiempos de tunelización individuales exactos para cada una de las partículas en un conjunto.

(De un comentario a la respuesta de Lawrence) para obtener una ley exponencial ordenada, me parece que se necesita una interacción casi continua. No he visto ese punto discutido.

En realidad, se ha investigado extensamente en relación con una multitud de campos distintos, desde la física nuclear hasta la cinética química y la biofísica. Consulte estas " Conferencias sobre tunelización disipativa " y busque en Google el modelo Leggett-Caldeira.