¿Podría Legolas realmente ver tan lejos?

¡Pregunta divertida!

Como usted señaló,

Para un ojo similar al humano, que tiene un diámetro máximo de pupila de aproximadamente$9\ \mathrm{mm}$y elegir la longitud de onda más corta en el espectro visible de aproximadamente$390\ \mathrm{nm}$, la resolución angular es aproximadamente$5.3\times10^{-5}$(radianes, por supuesto). A una distancia de$24\ \mathrm{km}$, esto corresponde a una resolución lineal ($\theta d$, dónde$d$es la distancia) de aproximadamente$1.2\ \mathrm m$. Por lo tanto, contar a los jinetes montados parece plausible, ya que probablemente estén separados por una o varias veces esta resolución. Comparar sus alturas, que están en el orden de la resolución, sería más difícil, pero aún podría ser posible con tramado . ¿Legolas tal vez mueve mucho la cabeza mientras cuenta? El tramado solo ayuda cuando el muestreo de la imagen (en este caso, por fotorreceptores élficos) es peor que la resolución de la óptica. Aparentemente, los ojos humanos tienen un espaciado de píxeles equivalente a unas pocas décimas de minuto de arco , mientras que la resolución limitada por difracción es de aproximadamente una décima de minuto de arco, por lo que sería necesario difuminar o alguna otra técnica para aprovechar al máximo la óptica.

Un interferómetro tiene una resolución angular igual a un telescopio con un diámetro igual a la separación entre los dos detectores más separados. Legolas tiene dos detectores (globos oculares) separados por unas 10 veces el diámetro de sus pupilas .$75\ \mathrm{mm}$o así como mucho. Esto le daría una resolución lineal de aproximadamente$15\ \mathrm{cm}$a una distancia de$24\ \mathrm{km}$, probablemente suficiente para comparar las alturas de los jinetes montados.

Sin embargo, la interferometría es un poco más complicada que eso. Con solo dos detectores y una sola separación fija, solo se resuelven las características con separaciones angulares iguales a la resolución, y la dirección también es importante. Si los ojos de Legolas están orientados horizontalmente, no podrá resolver la estructura en dirección vertical usando técnicas interferométricas. Por lo tanto, al menos tendría que inclinar la cabeza hacia un lado y probablemente también moverla mucho (incluida alguna rotación) nuevamente para obtener una muestra decente de las diferentes orientaciones de la línea de base. Aún así, parece que con un procesador suficientemente sofisticado (¿cerebro de elfo?) podría lograr la observación informada.

Luboš Motl señala algunas otras posibles dificultades con la interferometría en su respuesta, principalmente que la combinación de una fuente policromática y un espaciado del detector muchas veces mayor que la longitud de onda observada no conduce a ninguna correlación en la fase de la luz que ingresa a los dos detectores. Si bien es cierto, Legolas puede evitar esto si sus ojos (específicamente los fotorreceptores) son lo suficientemente sofisticados como para actuar como un espectrómetro de imágenes de alta resolución simultáneo o un espectrógrafo de campo integral e interferómetro. De esta forma, pudo seleccionar señales de una longitud de onda dada y usarlas en su procesamiento interferométrico.

Un par de las otras respuestas y comentarios mencionan la posible dificultad para dibujar una línea de visión en un punto$24\rm km$lejos debido a la curvatura de la Tierra. Como se ha señalado, Legolas solo necesita tener una ventaja en la elevación de aproximadamente$90\ \mathrm m$(la distancia radial desde un círculo$6400\ \mathrm{km}$en radio a una tangente$24\ \mathrm{km}$a lo largo de la circunferencia; Aparentemente, la Tierra Media tiene el tamaño de la Tierra, o puede ser la Tierra en el pasado, aunque realmente no puedo concretar esto con una fuente canónica después de una búsqueda rápida). No necesita estar en la cima de una montaña ni nada, por lo que parece razonable suponer que la geografía permite una línea de visión.

Finalmente, un poco sobre "aire limpio". En astronomía (si aún no has adivinado mi campo, ahora lo sabes) nos referimos a las distorsiones causadas por la atmósfera como "ver" . Ver a menudo se mide en segundos de arco ($3600'' = 60' = 1^\circ$), refiriéndose al límite impuesto a la resolución angular por las distorsiones atmosféricas. La mejor visibilidad, lograda desde la cima de las montañas en perfectas condiciones, se trata de$1''$, o en radianes$4.8\times10^{-6}$. Esta es aproximadamente la misma resolución angular que los asombrosos ojos interferométricos de Legolas. No estoy seguro de cómo sería ver horizontalmente a través de una distancia de$24\ \mathrm{km}$. Por un lado hay mucho más aire que mirando verticalmente hacia arriba; la atmósfera es más espesa que$24\ \mathrm{km}$pero su densidad cae rápidamente con la altitud. Por otro lado, la densidad y la temperatura relativamente uniformes a una altitud fija provocarían una menor variación en el índice de refracción que en la dirección vertical, lo que podría mejorar la visión. Si tuviera que adivinar, diría que para aire muy quieto a temperatura uniforme podría ver tan bien como$1\rm arcsec$, pero con condiciones más realistas con el Sol brillando, los efectos similares a los de un espejismo probablemente tomen el control y limiten la resolución que Legolas puede lograr.

Primero sustituyamos los números para ver cuál es el diámetro requerido de la pupila de acuerdo con la fórmula simple:

Tal como dice el video, la fórmula de difracción, por lo tanto, permite observar marginalmente no solo la presencia de los caballeros, para contarlos, sino también marginalmente sus primeras propiedades "detalladas internas", tal vez que los pantalones son más oscuros que la camisa. Sin embargo, ver si el líder mide 160 cm o 180 cm es claramente imposible porque requeriría que la resolución fuera mejor en otro orden de magnitud. Tal como dice el video, no es posible con la luz visible y los ojos humanos. Uno necesitaría un ojo y una pupila 10 veces más grandes; o alguna luz ultravioleta con una frecuencia 10 veces mayor.

De nada sirve estrechar las pupilas porque empeoraría la resolución permitida por la fórmula de difracción. Las imágenes significativamente más borrosas no son útiles como adiciones a la imagen más nítida. Lo sabemos también en el mundo real de los humanos. Si la visión de alguien es mucho más nítida que la visión de otra persona, la segunda persona es bastante inútil para refinar la información sobre algunos objetos difíciles de ver.

Es probable que los efectos atmosféricos empeoren la resolución en relación con la simple expectativa anterior. Incluso si tenemos el aire más limpio, no se trata solo del aire limpio; necesitamos el aire uniforme con una temperatura constante, y así sucesivamente, y nunca es tan uniforme y estático, todavía distorsiona la propagación de la luz e implica algún deterioro adicional. Todas estas consideraciones son, por supuesto, completamente académicas para mí, que podría ponderar razonablemente si veo a las personas con la suficiente nitidez desde 24 metros como para contarlas. ;-)

Incluso si la atmósfera empeora la resolución en un factor de 5 más o menos, los caballeros aún pueden inducir los "puntos borrosos" mínimos en la retina, y siempre que la distancia entre los caballeros sea mayor que la distancia desde la resolución (empeorada), como 10 metros, uno podrá contarlos.

En general, las células fotorreceptoras son lo suficientemente densas como para no empeorar la resolución estimada. Creo que son lo suficientemente densos para que el ojo explote completamente los límites impuestos por la fórmula de difracción. La evolución probablemente ha trabajado hasta el límite porque no es tan difícil para la Naturaleza hacer que las retinas sean densas y la Naturaleza estaría desperdiciando la oportunidad de no dar a los mamíferos la visión más nítida que pueden tener.

En cuanto a los trucos para mejorar la resolución o eludir el límite de difracción, no hay casi ninguno. Las observaciones a largo plazo no ayudan a menos que uno pueda observar la ubicación de los puntos con una precisión mejor que la distancia de las células fotorreceptoras. Los órganos de los mamíferos no pueden ser tan estáticos. El procesamiento de imágenes que usa muchas imágenes inevitablemente borrosas en ubicaciones fluctuantes simplemente no puede producir una imagen nítida.

El truco del Very Large Array tampoco funciona. Es porque el Very Large Array solo ayuda con las ondas de radio (es decir, largas), por lo que los elementos individuales del conjunto miden la fase de la onda y la información sobre la fase relativa se usa para afinar la información sobre la fuente. La fase de la luz visible, a menos que provenga de láseres, e incluso en ese caso es cuestionable, no tiene ninguna correlación en los dos ojos porque la luz no es monocromática y la distancia entre los dos ojos es mucho mayor que la longitud de onda promedio. . Entonces los dos ojos solo tienen la virtud de duplicar la intensidad general; y para darnos la visión estéreo 3D. Esto último también es claramente irrelevante a la distancia de 24 kilómetros. El ángulo en el que los dos ojos miran para ver el objeto distante de 24 km es mediblemente diferente de las direcciones paralelas. Pero una vez que los músculos se adaptan a estos ángulos ligeramente no paralelos, lo que ven los dos ojos desde la distancia de 24 km es indistinguible.

Considere la siguiente situación idealizada:

• la persona de interés está completamente inmóvil y tiene un color homogéneo fijo
• el fondo (hierba) es de un color homogéneo fijo (significativamente diferente de la persona).
• Legolas conoce las proporciones de las personas, los colores de la persona de interés y el fondo.
• Legolas conoce el PSF de su sistema óptico (incluidos sus fotorreceptores)
• Legoalas conoce la posición y orientación exactas de sus ojos.
• Suponga que esencialmente no hay ruido en sus fotorreceptores y que tiene acceso a la salida de cada uno.

A partir de esto, Legolas puede calcular la respuesta exacta a través de su retina para cualquier posición y tamaño (angular) de la persona de interés, incluidos los efectos de difracción. Luego puede comparar esta plantilla exacta con los datos reales del sensor y elegir la que mejor coincida; tenga en cuenta que esto incluye la forma de coincidencia en la que se produce la respuesta y/o cualquier franja de difracción alrededor del borde de la persona fotografiada (estoy asumiendo que las células sensoras en sus ojos sobremuestrean el PSF de las partes ópticas de sus ojos).

(Para hacerlo aún más simple: es bastante obvio que dado el PSF y un rectángulo negro sobre un fondo blanco, podemos calcular la respuesta exacta del sistema óptico; solo digo que Legolas puede hacer lo mismo con su ojos y cualquier tamaño/color hipotético de una persona).

Las principales limitaciones al respecto son:

1. cuántas hipótesis modelo diferentes considera,
2. Cualquier ruido o turbulencia que distorsione la respuesta de sus ojos lejos de la respuesta ideal calculable (el ruido se puede aliviar con el tiempo de integración),
3. Su habilidad para controlar la posición y orientación de sus ojos, es decir$2m$a$24km$es solo$0.01$radianes -- se asigna a$\approx 0.8\mu m$desplazamientos en la posición de una mancha en el exterior de sus ojos (supuesto$1cm$radio del globo ocular).

Esencialmente, estoy esbozando una técnica de superresolución de tipo bayesiano como se menciona en la página de Wikipedia de superresolución .

Para evitar los problemas de mezclar a la persona con su montura, supongamos que Legolas observó a las personas cuando estaban desmontadas, quizás tomando un descanso. Podía decir que el líder es alto simplemente comparando los tamaños relativos de diferentes personas (suponiendo que estuvieran dando vueltas a distancias mucho mayores que la resolución de sus ojos).

La escena real en el libro lo hace discernir todo esto mientras los jinetes estaban montados y moviéndose. En esta etapa, solo tengo que decir "Es un libro", pero la idea de que el límite de difracción es irrelevante cuando sabes mucho sobre tu sistema óptico y lo que está viendo es digno de mención.

Aparte, los bastones humanos son$O(3-5\mu m)$-- esto impondrá un filtrado de paso bajo sobre cualquier efecto de difracción de la pupila.

Una ilustración modelo de juguete de un problema similar

Dejar$B(x; x_0, dx) = 1$por$x_0 < x < x_0+dx$y ser cero de otra manera; retorcerse$B(x; x_0, dx_1)$y$B(x; x_0, dx_2)$, con$dx_2>dx_1$, con alguna PSF conocida; suponga que este es el ancho de este PSF si es mucho menor que cualquiera$dx_1, dx_2$pero ancho en comparación con$dx_2-dx_1$para producir$I_1(y), I_2(y)$. (En mi concepción de este modelo, esta es la respuesta de una sola célula de la retina en función de la posición angular del ojo ($y$).) Es decir, tome dos imágenes de bloques de diferentes tamaños y alinee las imágenes para que los bordes izquierdos de los dos bloques estén en el mismo lugar. Si luego hace la pregunta: ¿dónde cruzan los bordes derechos de las imágenes un valor de umbral seleccionado, es decir,$I_1(y_1)=I_2(y_2)=T$encontrarás eso$y_2-y_1=dx_2-dx_1$independiente del ancho del PSF (dado que es mucho más estrecho que cualquiera de los dos bloques). Una razón por la que a menudo desea bordes afilados es que cuando hay ruido, los valores de$y_1, y_2$variará en una cantidad que es inversamente proporcional a la pendiente de la imagen; pero en ausencia de ruido, la capacidad teórica de medir diferencias de tamaño es independiente de la resolución óptica.

Nota: al comparar este modelo de juguete con el problema de Legolas, se puede plantear la objeción válida de que el PSF no es mucho más pequeño que las alturas de las personas en la imagen. Pero sirve para ilustrar el punto general.

Una cosa que no supiste tomar en cuenta. La curva del planeta (la Tierra Media es similar en tamaño y curvatura a la Tierra). Solo puedes ver 3 millas hasta el horizonte del océano a 6 pies de altura. Para ver 24 km, necesitaría estar casi 100 m por encima de los objetos que se están viendo. Entonces, a menos que Legolas estuviera en la cima de una colina o montaña muy (muy) alta, no habría podido ver 24 km en primer lugar debido a la curvatura del planeta.

La deconvolución puede funcionar, pero solo funciona bien en el caso de fuentes puntuales como, por ejemplo, se indica aquí . El principio es simple; el desenfoque debido a la apertura finita es un mapeo matemático conocido que mapea una imagen de resolución hipotéticamente infinita a una con resolución finita. Dada la imagen borrosa, puede intentar invertir este mapeo. La imagen borrosa de una fuente puntual que debería haber afectado solo un píxel si la imagen no estuviera completamente borrosa, se denomina función de dispersión de puntos. El mapeo de la imagen borrosa está completamente definido por la función de dispersión de puntos. Hay varios algoritmos que pueden desenfocar una imagen con cierta aproximación, por ejemplo, la deconvolución de Richardson-Lucy o el método de filtro de Wiener .

En la práctica, no puede desconvolucionar una imagen perfectamente, porque esto implica dividir la transformada de Fourier de la imagen borrosa por la transformada de Fourier de la función de dispersión de puntos, y esta última tenderá a cero en números de onda grandes. Esto significa que terminará amplificando el ruido en números de onda altos y es precisamente en los números de onda altos donde están presentes los detalles de pequeña escala. Por lo tanto, la resolución que puede obtener estará limitada en última instancia por el ruido.

Legolas probablemente solo necesite un ojo si tiene suficiente tiempo y puede realizar mediciones espectrales lo suficientemente precisas.

Primero, tenga en cuenta que Legolas estaba mirando en un día soleado; supondremos que entre la intensidad incidente y el albedo ese objeto se reflejaba en el orden de$100 \mathrm{W}/\mathrm{m}^2$luz, que se trata de$10^{22}$fotones por segundo. A los 24 kilómetros, eso se reduce a aproximadamente$10^8$fotones por$\mathrm{cm}^2$.

No estamos seguros de qué tan grandes son los ojos de Legolas, ya que los libros no lo dicen, pero podemos suponer que no son anormalmente enormes, por lo que miden alrededor de 1 cm de diámetro, lo que le da aproximadamente$6 \cdot 10^{-5}$resolución angular en radianes, o aproximadamente$1.5 \mathrm{m}$. Como ya se ha descrito, esto debería ser suficiente para contar el número de ciclistas.

Ahora bien, hay dos factores que son muy importantes. Primero, los jinetes se están moviendo. Por lo tanto, al observar las correlaciones temporales en los espectros, Legolas puede, en principio, deducir cuáles son los espectros de los ciclistas distintos del fondo. También podemos suponer que está familiarizado con los espectros de varios objetos comunes (cuero, cabello de varios colores, etc.). Por lo tanto, puede hacer un modelo de mezcla de sub-resolución donde plantea la hipótesis$n$objetos de distintos espectros e intenta encontrar el tamaño/luminancia de cada uno. Esta es probablemente la parte más complicada, ya que los espectros de muchos elementos tienden a ser bastante amplios, lo que genera una superposición sustancial en los espectros. Supongamos que el objeto que está buscando tiene solo un 10% de diferencia en el perfil espectral de los demás (en conjunto). Luego, con un tiempo de integración de un segundo, tendría un ruido de disparo de fotones del orden de$10^4$fotones sino una señal de aproximadamente$A\cdot10^7$fotones donde$A$es la luminancia fraccionaria del objeto objetivo dentro del campo de visión limitado por difracción.

Dado que la microscopía de superresolución puede resolver elementos aproximadamente proporcionales a la SNR (el ejemplo más simple: si una fuente está toda en un píxel, toda en otro o una fracción intermedia, básicamente solo tiene que comparar la intensidad en esos dos píxeles), esto significa que Legolas podría encontrar un objeto brillante dentro del orden de$1.5 \mathrm{mm}$. Si usa el brillo de un casco y un estribo, por ejemplo, podría medir adecuadamente la altura y seleccionar detalles como "amarillo es su cabello".

En el espíritu de su pregunta, tener dos ojos y suponer que puede usarlos como una matriz (lo que requiere medir la fase de la luz, algo que los ojos no hacen) le permite usar la distancia entre ellos para$D$en la ecuación de resolución. No conozco el espaciado de los ojos de un elfo, así que usaré$6 cm$por conveniencia. Con luz violeta de$\lambda = 430 nm$, obtenemos$\theta \approx 1.22\frac {430\cdot 10^{-9}}{0.06}=8.7\cdot 10^{-6}$. A una distancia de$24 km$, esto da una resolución de$21 cm$. Probablemente puedas distinguir a los jinetes, pero la estimación de la altura es muy difícil.

El otro problema es la curvatura de la tierra. Si el radio de la tierra es$6400 km$puedes dibujar un triangulo rectangulo con catetos$24, 6400$y descubre que el otro es$6400.045$, por lo que solo necesita estar en un$45 m$alta montaña. La neblina del suelo será un problema.

Aquí hay otra posibilidad que aún no se ha mencionado. Si un objeto A puede ocultarse completamente detrás de otro objeto de forma similar B, entonces B debe ser más grande que A. Por el contrario, A pasa detrás de B y permanece parcialmente visible todo el tiempo, esto es evidencia de que A es más grande que B (o que A no está pasando directamente detrás de B, ignoremos esa posibilidad por ahora).

En la situación de Legolas, si el líder tiene alguna característica distinguible (casco brillante, chaqueta de otro color) y Legolas puede ver algo de ese color mientras el líder pasa detrás de otros en su grupo, entonces concluiría que el líder es más alto. La resolución no es importante en este caso. Legolas puede decir qué objeto está enfrente porque la cantidad de fotones del color del líder se reducirá, como en el caso de un planeta que pasa frente a una estrella distante.

También hay una limitación geométrica para ver tan lejos. Lo he preguntado y respondido en math.SE. Si estuviera parado en un terreno nivelado, Legolas habría podido ver solo 4,8 km de distancia debido a la curvatura del planeta (suponiendo que la Tierra Media esté en un planeta parecido al nuestro). Para ver tan lejos, tendría que haber subido a una colina o a un árbol de unos 50 m de altura.