Primero, veamos los diferentes tipos de trayectorias que puede tomar una vela solar. Difieren principalmente en base a algo llamado número de luminosidad ,$\beta$, que depende de la composición y estructura de la vela.$\beta$se puede utilizar para determinar el tipo de trayectoria que seguirá la vela solar:

$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Value of }\beta & \text{Type of trajectory} \\ \hline \beta=0 & \text{circular Keplerian} \\ \hline 0<\beta<\frac{1}{2} & \text{elliptical} \\ \hline \beta=\frac{1}{2} & \text{parabolic} \\ \hline \frac{1}{2}<\beta<1 & \text{hyperbolic} \\ \hline \beta=1 & \text{rectilinear} \\ \hline 1<\beta & \text{flipped hyperbolic} \\ \hline \end{array}$$ Esto también es evidente en la Figura 4.8 (página 123) de Solar Sailing: Technology, Dynamics and Mission Applications de Colin McInnes , que es mi referencia principal en esta respuesta:

Ahora, puede ver que una trayectoria hiperbólica de algún tipo puede ser exactamente lo que está buscando y, de hecho, ¡no requiere asistencia de la base con la que se encuentra! Las trayectorias parabólicas también son trayectorias de escape, pero una trayectoria hiperbólica podría ser más eficiente. Además, tener un mayor número de luminosidad resulta en una mayor aceleración característica (ver Seboldt & Dachwald (2003) ), porque$a_c\propto\beta$. Por lo tanto, preferiría trabajar con una trayectoria hiperbólica invertida; elegiré$\beta\approx2$.

Hay dos ecuaciones de movimiento para coordenadas polares$(r,\theta)$:

$$\frac{\mathrm{d}^2r}{\mathrm{d}t^2}-r\left(\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\right)^2=-\overbrace{\frac{\mu}{r^2}}^{\text{gravitational}}+\overbrace{\beta\frac{\mu}{r^2}\cos^3\alpha}^{\text{radiation}}\tag{4.37a}$$ $$r\frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2}+2\left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}\right)\left(\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\right)=\beta\frac{\mu}{r^2}\cos\alpha^2\sin\alpha\tag{4.37b}$$ dónde $\mu$es el parámetro gravitacional estándar y $\alpha$es el ángulo entre un vector normal a la vela y un vector que apunta desde la estrella a la vela. Comparar McInnis' $(\text{4.37a})$a $(\text{346})$ aquí , con la sustitución de $h=r^2\dot{\theta}$. Los dos son idénticos, con la adición del término de radiación en la reformulación de la vela solar. Tengamos $\alpha\approx0$. Esto significa que el lado derecho de $(\text{4.37a})$se convierte $(\beta-1\frac{\mu}{r^2}$, y el lado derecho de $(\text{4.37b})$se convierte $0$.

Podemos llegar a una solución analítica simple si asumimos que la vela solar sigue el camino de una espiral logarítmica , es decir, un camino de la forma

$$r(\theta)=r_0\exp(\theta\tan\gamma)$$ dónde $r_0$es el radio inicial y $\gamma$es el ángulo espiral , el ángulo entre el vector de velocidad y la dirección transversal de la trayectoria de la vela. Así que retrocedamos un poco y supongamos que

• $\beta\approx0.75$(He elegido un valor para una trayectoria hiperbólica normal)
• $\alpha\neq0^{\circ}$. Podría , pero eso podría no ser óptimo.

McInnes pasa por varias sustituciones, lo que lleva a

$$r^3\left(\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\right)^2=\mu\left[1-\beta\cos^2\alpha(\cos\alpha-\tan\gamma\sin\alpha)\right]\cos^2\gamma\tag{4.41}$$ A partir de esta y sustituciones anteriores, podemos derivar expresiones para la velocidad radial $v_r(r)$y velocidad angular $v_{\theta}(r)$. La ecuación de la primera es $$v(r)=\sqrt{\frac{\mu}{r}}\left[1-\beta\cos^2\alpha(\cos\alpha-\sin\alpha\tan\gamma)\right]^{1/2}\tag{4.44}$$ Hay una relación bastante complicada entre $\gamma$y $\alpha$, pero se puede simplificar para pequeños $\gamma$: $$\frac{\beta\cos^2\alpha\sin\alpha}{1-\beta\cos^3\alpha}=\frac{\sin\gamma\cos\gamma}{2-\sin^2\gamma}\approx\frac{1}{2}\tan\gamma\tag{4.45,4.48}$$ Esta integración es importante cuando tratamos de encontrar una relación entre $r$y $t$. integramos $(\text{4.44})$: $$\int_{r_0}^r\sqrt{r}\mathrm{d}r=\int_{t_0}^t\left(2\beta\mu\sin\alpha\cos^2\alpha\tan\gamma\right)^{1/2}\mathrm{d}t\tag{4.46}$$ Integrando esto y sustituyendo en $(\text{4.48})$rendimientos $$t-t_0=\frac{1}{3}\left(r^{3/2}-r_0^{3/2}\right)\left(\frac{1-\beta\cos^3\alpha}{\beta^2\mu\cos^4\alpha\sin^2\alpha}\right)^{1/2}\tag{4.49}$$ Sin embargo, podemos simplificar esto dejando $t_0=0$y centrándose en los casos en que $r_0\ll r$para la mayoría $r$, que es el caso aquí cuando $r=r_f$. Entonces podemos encontrar cuando la función de $\alpha$en $(\text{4.49})$se maximiza; resulta que para pequeños $\beta$(es decir $\beta<0.5$), $\alpha_{\text{max}}\approx35.26^{\circ}$. Sin embargo, elegí $\beta=0.75$, y así resulta que $\alpha$se maximiza en aproximadamente $35.26^{\circ}$. Reemplazando esto en nuestra aproximación para $\tan\gamma$, encontramos eso $\tan\gamma\approx1.362$, lo que nos da $\gamma\approx53.7^{\circ}$. Esto probablemente hace que nuestra aproximación de ángulo pequeño para $\tan\gamma$menos preciso, pero servirá por ahora. Enchufando esto, y suponiendo una vez más que $t_0=0$y $r_0\ll r$, $(\text{4.49})$Nos da $$t=r^{3/2}\times1.23\times10^{-10}$$ y para un radio final de tres años luz ( $2.838\times10^{16}$metros), encontramos que $t\approx5.88\times10^{14}$segundos, o alrededor de 19 millones de años. Puede parecer que no puede ser correcto, pero Centauri Dreams cita a Matloff et al. que una vela solar realmente buena podría tardar 30 años en llegar a la Nube de Oort , a 500 AU de distancia, y un año luz equivale a unas 60 000 AU. Claramente, una espiral logarítmica simple como esta no funcionará.

De hecho, esto significa que es absolutamente necesario darle a la vela solar un impulso inicial muy rápido para que el viaje interestelar en estas escalas sea remotamente factible. Esto hace que las ecuaciones sean un poco más difíciles y significa que es posible que no vea aparecer una solución analítica fácil.

Volvamos a nuestras ecuaciones acopladas originales$(\text{4.37a})$y$\text{4.37b})$, donde hemos establecido$\beta=2$y$\alpha=0$. Esto se convierte en un problema de fuerza central simple , que tiene una ecuación de la forma

$$\frac{\mathrm{d}^2r}{\mathrm{d}t^2}-\frac{h^2}{r^3}=\frac{F(r)}{m}$$ donde he definido $h\equiv r^2\dot{\theta}$, que se conserva. $F(r)$es la fuerza central en función de $r$; normalmente, en mecánica orbital, es simplemente $$F(r)=-\frac{GMm}{r^2}$$ como es el caso en $(\text{346})$; aquí, como señalé antes, también tenemos que tener en cuenta la fuerza de la presión de radiación. Con $\beta=2$, sucede que las dos fuerzas suman $$F(r)=\frac{-GMm}{r^2}+\frac{(2)GMm}{r^2}=\frac{GMm}{r^2}$$ que es repulsivo, a diferencia $(\text{346})$. Ese pdf muestra una buena derivación de la ecuación orbital de la ley de la fuerza central, que no voy a volver a revisar, ya que es bastante estándar. Para una fuerza central genérica de la forma $$F(r)=-\frac{k}{r^2}$$ llegamos a una órbita de la forma $$r(\theta)=\frac{l}{1+\varepsilon\cos\theta}\tag{355}$$ dónde $k=-GM$(en general, $k=(\beta-1)GM$), y $$l\equiv\frac{mh^2}{k},\quad\varepsilon\equiv\frac{l}{a}-1\tag{356}$$ No soy un experto en lo que respecta a la construcción de velas solares, así que leí McInnes et al. (2001) y llegó a una estimación conservadora de 2.000 kg. Los autores estimaron que se podría enviar una vela solar de 900 kg a la órbita solar, con gran parte de esa masa como carga útil. Mi suposición podría estar muy equivocada, por lo que agradecería que un experto tenga mejores cifras.

Supuse que la vela solar comienza en una órbita circular alrededor de una estrella similar al Sol en aproximadamente el semieje mayor de la Tierra. A partir de esto, calculé

$$v_0=\sqrt{\frac{\mu}{r}}=2.97\times10^4\text{ m/s}$$ $$h=\frac{|L|}{m}=\frac{rmv}{m}=rv=4.46\times10^{15}\text{ m}^2\text{/s}$$ $$k=(\beta-1)GM=1.327\times10^{20}\text{ m}^3\text{/s}^2$$ $$l\equiv\frac{mh^2}{k}=3\times10^{14}$$ $$\varepsilon\equiv\frac{l}{a}-1=2000$$ De esto, obtengo $$r=\frac{3\times10^{14}}{1+2000\cos\theta}$$ $\varepsilon>1$(como era de esperar, dado que $\beta>1$), y de hecho $\varepsilon\gg1$.

Usé código modificado de esta página para resolver$(\text{4.37a})$en Mathematica y trazar el movimiento de la vela solar en el transcurso de un año:

M = 1.99 10^30 (*mass of Sun*)
G = 6.67 10^-11 (*Newton's constant*)
x0 = 1.50*10^11 (*apsidal distance*)
y0 = 0; vx0 = 0;(*on x axis with velocity in y direction*)
vCirc = Sqrt[G M/x0] (*apsidal speed for circular orbit*)
vy0 = 0.8 vCirc (*smaller speed gives elliptical orbit*)
a = 1/(2/x0 - vy0^2/(G M)) (*semimajor axis from E=T+V*)
T = 2 Pi Sqrt[a^3/(G M)] (*period from Kepler's third law*)
beta = 2 (*accounts for radiation pressure*)

r[t_] := {x[t], y[t]} (*position vector*)

equation = Thread[r''[t] == (beta-1) G M r[t]/Dot[r[t], r[t]]^(3/2)]

initial = Join[Thread[r[0] == {x0, y0}], Thread[r'[0] == {vx0, vy0}]]

solution = NDSolve[Join[equation, initial], r[t], {t, 0, T}]

orbit = ParametricPlot[r[t] /. solution, {t, 0, T}];
Show[orbit]

Esta es la órbita:

Como puede ver, viaja esencialmente en línea recta, con un poco más de 5 Au por año, al principio. Eso no está nada mal. Todavía llevará mucho tiempo llegar a la base, pero es probable que sea del orden de miles de años, no de millones de años.

Creo que el resultado deseado se puede lograr con medios relativamente simples. El truco con las velas solares es que aunque la luz entrante solo puede empujar la vela directamente, el reflejo de esa luz puede empujar la vela en una dirección diferente. El empuje neto resultante es la combinación de la luz incidente y la luz reflejada. Para una vela solar que es empujada por láseres a fracciones significativas de C, es seguro asumir que la vela tendrá una reflectividad cercana al 100 % (de lo contrario, la luz no reflejada incineraría la nave), por lo que las magnitudes de la luz incidente y reflejada serán aproximadamente igual. Dado que de la geometría básica sabemos que el ángulo de la luz incidente y el ángulo de reflexión serán iguales, entonces el ángulo de empuje o aceleración neta siempre será directamente ortogonal al plano de la vela. Esto significa que la vela solar siempre acelerará en línea recta. Si queremos acelerar en una dirección diferente, simplemente tenemos que girar nuestra vela para mirar directamente en dirección opuesta a esa dirección, tratando la vela como si fuera cualquier otra fuente de empuje convencional. Sin embargo, la advertencia es que cambiar la orientación de la vela cambia la magnitud del empuje experimentado. La aceleración de la vela se puede calcular mediante las siguientes funciones:

Dado que todas las variables de las ecuaciones anteriores son constantes a excepción de B, el ángulo de la vela con respecto al láser, podemos deducir que la relación entre la aceleración del barco y el ángulo B es Accel = cos(B) ^ 2. Es decir, cuando B es 0 y la vela mira directamente al láser, experimentará una aceleración máxima y cuando B es de 90 grados y la vela está de lado al láser, experimentará una aceleración 0.

De ello se deduce que, si queremos que nuestro viaje sea eficiente, debemos minimizar B. Por supuesto, si desea que todo sea mucho más simple, simplemente puede decir que la luz proviene directamente de detrás de la nave en todo momento debido a alguna tecnología sofisticada. . En esa situación la fuerza experimentada por el barco será siempre constante. Pero eso también quita toda la diversión a las velas solares, ¿no es así?

Entonces, con este sistema podemos acelerar en cualquier dirección alejándonos de la fuente láser, pero nunca retrocediendo hacia ella. Sin embargo, la eficiencia de nuestra aceleración disminuye rápidamente cuanto más intentamos girar. Una consecuencia de esto es que será difícil usar ambos láseres simultáneamente con alguna eficiencia ya que están separados por ~90 grados. Esto significa que para la primera etapa de nuestro viaje vamos a querer acelerar directamente lejos de nuestro láser doméstico hacia algún punto de encuentro lejano e ignorar el láser de la estación. Al acelerar directamente y mantener B igual a 0, maximizamos nuestra aceleración. Sin embargo, en algún momento tendremos que reducir nuestra velocidad hacia la estación que se aproxima para no sobrepasarla. Tenemos que usar la estación láser para hacer esto.

El siguiente esquema no es exactamente lo que estoy describiendo arriba, se hizo antes de que me diera cuenta de lo ineficiente que sería el empuje en ángulo, pero aún transmite el concepto general.

Con respecto a los efectos de la relatividad. Obviamente, los láseres de ambas partes deberán apuntar años luz por delante de la trayectoria de la nave con cálculos absurdamente precisos y un curso predeterminado. Incluso un pequeño error se agravaría y eventualmente arrojaría la nave fuera del camino de los láseres que habían sido disparados con años de anticipación. Incluso con comunicaciones más rápidas que la luz, esto sería una hazaña notable.

Para abordar específicamente sus preocupaciones sobre la relatividad y el ángulo de la vela:

Supongo que el ángulo en el que presenta la vela se verá significativamente afectado por los efectos relativistas y la aberración de la fuente en movimiento.

La aberración de la luz debida al movimiento de la estación no cambiará la dirección en la que acelera el barco, ya que determinamos anteriormente que el barco siempre acelera de forma ortogonal al plano de la vela. Sin embargo, la aberración de la luz cambiará la magnitud de ese empuje al influir en el área proyectada de la vela (y, por lo tanto, la cantidad de luz que incide en la vela) y la proporción de los vectores de empuje incidente y reflejado que son productivos (cuánto de esos los vectores se anulan entre sí).

Esta respuesta no incluye una trama precisa de un rumbo óptimo para que tome el barco. Esto se debe a que hay muchos cursos posibles y difieren drásticamente según la fuerza relativa de los láseres y las distancias y velocidades involucradas. Por ejemplo, si el láser de la estación es significativamente más potente que el láser doméstico, querremos un curso que nos permita voltear para utilizarlo lo antes posible. Pero ese curso es muy diferente de uno en el que se prefiere el láser doméstico. Según las distancias, las velocidades y las aceleraciones máximas involucradas, es posible que el barco deba comenzar a acelerar en un rumbo casi paralelo al de la estación para garantizar que iguale las velocidades antes de que pase la estación. O si la estación está muy lejos, tal vez simplemente pueda acelerar directamente hacia la ruta de la estación y luego aumentar la velocidad gracias a la máxima eficacia del láser de la estación que empuja la nave directamente frente a ella. No veo forma de calcular simplemente un único curso óptimo incluso si se definieron esas constantes que faltan. Creo que esta respuesta proporciona información sobre los principios de las operaciones de la vela de luz impulsada por láser y las ecuaciones necesarias para calcular el tiempo que tomará un curso determinado.

Hay algunas formas de dividir este problema en otros más simples.

Un láser a la vez

Dado que ambas fuentes de empuje son láseres, son coherentes. Y dado que administrar sus fases relativas a distancias de años luz es básicamente imposible, desea tener solo una activa a la vez, para evitar interferencias y pérdidas de empuje.

Míralo como dos viajes separados

Es un truco básico de física para descomponer problemas en fuerzas en dos problemas separados en ángulos rectos. Dado que esencialmente no hay fricción en este sistema, eso es bastante preciso para este problema. Así que podemos ver esto como dos problemas separados:

1. Salir del punto de partida, acelerar, girar, decelerar y detenerse a la distancia adecuada del inicio.

2. Acelerar desde velocidad cero en el curso paralelo a la estación para igualar su velocidad real.

No estoy sugiriendo que el primer viaje deba completarse y luego comenzar el segundo, solo que es más fácil pensar en el problema en dos partes.

Manejo de la vela

Comience con la vela apuntando hacia atrás, hacia el punto de partida. Déjalo ahí hasta que llegue al volumen de negocios. Luego, inclínelo en$arctan(y/x)$a tu curso, donde$y$es su velocidad desde el principio, que tiene que arrojar, y$x$es la velocidad de la estación, que tienes que adquirir. Déjelo en manos del astuto láser sobre la capacidad de la estación para venir desde una dirección efectiva diferente a su dirección real para suministrar empuje desde una dirección constante en relación con usted.

Esta no es la forma más eficiente de energía para hacer el viaje, pero exige menos del láser en el punto de partida y en el barco. Los barcos de velas ligeras tienen un peso aún más crítico que las naves espaciales ordinarias, y hacer girar la vela continuamente mientras viaja en el rayo de la estación requiere (a) masa de reacción y (b) mantener en funcionamiento los motores y el sistema de control que usa esa masa de reacción. . Todo eso cuesta peso. Evitar la necesidad de hacer esas cosas hace que el viaje tenga más probabilidades de éxito.