¿La masa del cuerpo en órbita afecta la velocidad orbital? [duplicar]

¿La masa del cuerpo en órbita afecta la velocidad orbital?

tl; dr: Sí, siempre lo hace, aproximadamente la mitad. Si es pequeño, como una millonésima parte de la masa del primario, el cambio de velocidad es la mitad de una millonésima, por ejemplo. En el caso extremo, cuando las dos masas son iguales, la tendencia se rompe y la velocidad ahora es del 70,7 % ($\sqrt{1/2}$) en lugar de la mitad.

Si quitaras la Luna y pusieras una pequeña roca allí, orbitaría un 0,6% más rápido que la Luna. Júpiter es aproximadamente 1/1000 del Sol o 0,1% de la masa. Si quitaras a Júpiter y pusieras un pequeño planeta allí, ¡orbitaría un 0,05% más rápido que Júpiter!

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El problema de dos cuerpos y la órbita circular de Wikipedia son útiles, pero descubrí que la página 15 de cnx.org. Sistema de dos cuerpos: el movimiento circular tiene un tratamiento particularmente directo del problema circular de dos cuerpos.

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Usar

$$r = r_1 + r_2$$

$$m_1 r_1 = m_2 r_2$$

$$\frac{v_1}{r_1} = \frac{v_2}{r_2}$$

$$\omega_1 = \omega_2 = \omega \ \ \text{ orbital angular speed}$$

$$M = m_1 + m_2$$

$$m_2 = M\frac{r_1}{r_1 + r_2}$$

...luego suceden algunas matemáticas y física...

$$\omega = \sqrt{\frac{GM}{r^3}} = sqrt{\frac{G(m_1+m_2)}{r^3}}$$

La velocidad orbital de cada cuerpo sería simplemente la velocidad angular$omega$veces el radio de cada cuerpo:

$$v_1 = \omega r_1$$

$$v_2 = \omega r_2$$

$$r2 = r \frac{m_1}{M}$$

$$v_2 = \omega r_2 = \omega r \frac{m_1}{M} = \sqrt{\frac{G(m_1+m_2)}{r^3}} r \frac{m_1}{M}$$

Se puede demostrar que si$m_1$(es decir, la masa de la Tierra) es constante y la separación entre los dos$r$es constante, entonces el cambio de velocidad es la mitad de rápido que la relación de masas, siempre que sea bastante pequeño.

Por ejemplo, si la masa del objeto pequeño es una millonésima parte de la masa del objeto grande, entonces el cambio de velocidad (en comparación con el objeto pequeño sin masa) es la mitad de una millonésima .

Para la Luna hemos dicho$m_2 = m_1 / 81$, entonces

$v_2$= 0.9939$r_2$= 0.9878$\omega$= 1.0062 y$\omega r_2$= 0.9939

La luna, que tiene el 1,23 % de la masa de la Tierra, se movería un 0,61 % más lento que un pequeño satélite.

Esta tendencia de "la mitad de la diferencia" se rompe cuando las dos masas se acercan a la igualdad.

Si el segundo objeto tuviera la misma masa que la Tierra, esta tendencia dice que la velocidad sería la mitad de la del pequeño satélite, pero resulta que la velocidad es$\sqrt{1/2}$o 70,7% en lugar de 50%.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

m1 = 1.0

m2 = np.logspace(-10, 0, 101)

M = m1 + m2

r = 1.0
G = 1

omega = np.sqrt(G * M / r**3)
r2  = r * m1 / M
v2 = omega * r2

plt.figure()
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(m2, v2)
plt.xscale('log')
plt.ylim(None, 1.02)
plt.ylabel('v(m2=0) - v "how much slower"')
plt.subplot(2, 1, 2)
plt.plot(m2, 1 - v2)
plt.xscale('log')
plt.yscale('log')
plt.xlabel('m2 with m1 = 1')
plt.ylabel('v(m2=0) - v "how much slower"')
plt.suptitle('G = r = m1 = 1')
plt.show()