Ecuación relativista del cohete

tldr; Si$\Delta v>c$, es un problema de marco de referencia. Usa la rapidez para calcular$\Delta v$en cambio. Si$v_e > c$, entonces no hay solución para las condiciones especificadas, porque la velocidad de escape requiere más entrada de energía que masa-energía en el combustible.

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Hay 2 partes de esta pregunta que se pueden abordar. Al resolver la ecuación del cohete, hay 2 velocidades que se pueden resolver (dadas las otras variables) y cualquiera podría exceder la velocidad de la luz si se usan los números correctos.

(1) ¿Qué pasa si$\Delta v > c$?

(2) ¿Qué pasa si$v_e > c$?

La primera pregunta se responde considerando marcos de referencia. A$\Delta v$mayor que la velocidad de la luz no significa que la velocidad del cohete en relación con el marco de inercia inicial sea mayor que$c$. En cambio, es la medida$\Delta v$en el marco de referencia del cohete que es. Es similar al escenario en el que puede acelerar a 1 g durante 2 años, pero su velocidad no es$2c$, sin embargo su observado (integrado)$\Delta v=a\Delta t$Es mas grande que$c$. Aquí,$a$es la aceleración local que sentirías a bordo del cohete, sin embargo, el observador desde un marco inercial observaría una aceleración diferente.

La forma correcta de calcular el cambio real de velocidad es considerar el marco de referencia correcto e integrar el cambio local de velocidad relativo a ese marco de referencia. En todos los marcos de referencia,

$$dp_{ex} = dp_{rocket}$$ En el marco local del cohete, se ignoran los efectos relativistas de la velocidad del cohete. Entonces$dp_{rocket} = (m-dm)dv$y se obtiene la ecuación clásica del cohete, y$\Delta v$puede ser mayor que$c$. En cambio, si consideramos un marco de referencia inercial, $$dp_{rocket} = (m-dm)d(\gamma v)$$ La solución resultante a la ecuación del cohete se puede poner fácilmente en términos de un término llamado rapidez . La propiedad clara de la rapidez es que se suma como lo hacen las velocidades en la relatividad galileana. $$r \equiv \tanh^{-1}\left(\frac{v}{c}\right)$$ $$\Delta r = \frac{v_e}{c}\ln\left(\frac{m_i}{m_f}\right)$$ Esto le permite calcular la cantidad real$\Delta v$en relación con el marco de referencia inercial inicial.

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En cuanto a la segunda pregunta: ¿y si$v_e>c$? Volviendo a los primeros principios, sabemos que

$$dp_{ex} = dp_{rocket}$$ y si la velocidad del cohete no fuera relativista, entonces $$\gamma_e v_e dm_{ex} = (m-dm_{r})dv_{r}$$ Sin embargo, hay un matiz oculto en esta ecuación (gracias a @Litho por captar esto). Con los cohetes químicos (velocidades de escape bajas), la masa del escape que sale del cohete es igual al cambio de masa del cohete según el principio de conservación de la masa. $$dm_{ex} = dm_{r}, \hspace{10pt} \gamma = 1$$ Pero en relatividad, una de las primeras lecciones es que ¡ la masa no se conserva! En cambio, es masa-energía. Por lo tanto, si el escape es expulsado a una velocidad$v_e$, entonces esta energía cinética proviene de su masa inicial en reposo. A partir de la relación energía-momento $$E^2 = (mc^2)^2 + (pc)^2$$ y usando la definición de un objeto en reposo,$E = m_{rest}c^2$, se puede demostrar (álgebra) que para una masa$m$moviéndose a velocidad$v_e$: $$m_{rest} = \gamma m, \hspace{10pt} \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-{\frac{v_e^2}{c^2}}}}$$ $$dm_{rocket} = \gamma dm_{ex}$$ Este factor de$\gamma$cancela con el$\gamma$en la ecuación de impulso anterior, por lo que la solución es en realidad la ecuación clásica del cohete. Por lo tanto, la ecuación clásica del cohete es válida incluso para velocidades de escape relativistas.

Entonces, ¿qué sucede cuando$v_e>c$? Usted es SOL La energía requerida para lograr esta velocidad de escape es mayor que la masa-energía inicial del combustible. No hay solución para$v_e$Para el$\Delta v$y masas especificadas.