¿El planeta más cercano a otro planeta es siempre el planeta más interno?

Para un planeta con otro planeta en su punto de Lagrange L4 o L5 , esos serían los vecinos más cercanos entre sí; como puede ver en las simulaciones, Mercurio tiene una distancia promedio un poco más que la distancia promedio entre el Sol y el planeta (por ejemplo, 1,04 AU para la Tierra), y los puntos de Lagrange forman triángulos equiláteros con el planeta más grande y el Sol, entonces para la Tierra eso estaría a una distancia (constante) de 1 AU.

Por supuesto, es discutible si el más pequeño de los dos contaría como un planeta . Podrían ser bastante grandes, por ejemplo, Júpiter (317,8 masas terrestres) podría tener un troyano que pese 317,8 / 24,96 = 12,7 masas terrestres.

Como se mencionó anteriormente, la versión completamente general de esta pregunta requiere un análisis bastante complicado para tratar con órbitas que no son circulares y coplanares. Es aún más complicado si desea incluir las interacciones gravitatorias entre los planetas, aunque en la mayoría de los casos esas pequeñas perturbaciones no serán lo suficientemente grandes como para afectar qué planeta tiene la distancia media más pequeña a un planeta determinado.

Afortunadamente, para nuestro Sistema Solar, podemos usar JPL Horizons para encontrar distancias entre los planetas. Mostraré algunos resultados derivados de Horizons para la distancia media entre la Tierra y Mercurio y la Tierra y Venus más adelante en esta respuesta. Pero primero, me gustaría dar un breve análisis de la versión simple de órbitas circulares coplanares de este problema.

En nuestro sencillo sistema solar circular plano, todos los planetas orbitan alrededor del sol S en la misma dirección. La órbita de nuestro planeta "hogar" H tiene un radio de 1 y un período de 1. Los planetas obedecen las leyes de Kepler, por lo que se mueven alrededor de S con una velocidad orbital constante. Un planeta P con un radio orbital de$r$tiene un periodo de$T=r^{3/2}$.

En relación con H, P tiene un período sinódico de

Sea el ángulo en HSP$\theta$. Entonces

Deja que HP sea$s$. Entonces por la regla del coseno,

Esa no es una integral fácil, pero se puede convertir en una integral elíptica completa del segundo tipo .

Usando Sage, podemos trazar$s$y calcular$m$por algunos valores de$r$, en dos ciclos sinódicos. La línea horizontal punteada azul muestra la distancia media.

Cuando$r=0$,$m$tiene su valor mínimo de 1, y$m$crece como$r$hace. Para pequeños$r$, la gráfica de$s$es casi una onda sinusoidal que va desde$1-r$a$1+r$. Pero como$r$crece, vemos que la parte inferior del gráfico es decididamente más "puntiaguda" que la parte superior, lo que desplaza el valor medio hacia arriba. La puntuosidad alcanza un pico en$r=1$, después de lo cual disminuye gradualmente. (Tenga en cuenta que$r=1$significa que H & P están en la misma órbita, por lo tanto$T_s$es infinito, entonces el$r=1$marco no es realmente posible, es solo el caso límite).

Puede usar este script para generar un gráfico estático para valores pequeños de$r$.

Aquí hay una trama de$m$contra$r$, calculado mediante integrales elípticas.

Y aquí está el guión de trazado.

Como prometí, aquí hay un gráfico de Horizons de la distancia Tierra-Mercurio, durante 12 ciclos sinódicos. Los puntos inicial y final están cerca de los máximos locales. El intervalo de tiempo se divide en 1390 pasos iguales (que son un poco menos de 1 día).

Distancia media = 154762296 km

Y aquí está la distancia Tierra-Venus, sobre 12 ciclos sinódicos. El intervalo de tiempo se divide en 879 pasos iguales (poco menos de cuatro días).

Distancia media = 170272478 km

La órbita de Mercurio es bastante excéntrica, por lo que hay una gran variación en las alturas de los máximos y mínimos, y en la duración del ciclo sinódico. Para obtener un valor más preciso de la distancia media, deberíamos promediar muchos más ciclos.

La excentricidad de la órbita de Venus es bastante baja, por lo que su gráfico es mucho más cercano a los diagramas de órbita circular simples de arriba.

Aunque la distancia media de Mercurio es ciertamente más pequeña que la distancia media de Venus, por 15510182 km, Venus tiene claramente la distancia mínima más baja a la Tierra.

Esos dos últimos gráficos se crearon utilizando este script de Horizons Sage/Python . Puede usarlo para crear diagramas de distancia generales. Cualquier cuerpo que Horizons conozca se puede dar como objetivo, aunque solo los cuerpos principales se pueden dar como centro. Hay una versión anterior del script aquí , junto con breves instrucciones.

El script utiliza los datos de rango de Horizons (y su derivada temporal) para calcular una serie de curvas cúbicas de Bézier que pasan por los puntos de datos. Determina la distancia media por integración exacta de las curvas de Bézier.

No para los planetas dobles , para los que cada cuerpo es siempre el planeta más cercano al otro.

Plutón y Caronte discutiblemente encajan a la perfección. Este informe de la Unión Astronómica Internacional de 2006 establece

P: ¿Plutón es un planeta?

R: Sí. De hecho, el gran compañero de Plutón llamado Caronte también es lo suficientemente grande y masivo como para satisfacer la definición de "planeta". Debido a que Plutón y Caronte están unidos gravitacionalmente, en realidad ahora se los considera un "planeta doble".

Incluso si uno no los considera planetas, una colisión similar a la Tierra-Theia en otro sistema podría producir un par con un baricentro fuera de cada cuerpo.

La wiki también afirma

...la Luna actualmente migra hacia el exterior de la Tierra a una velocidad de aproximadamente 3,8 cm (1,5 pulgadas) por año; en unos pocos miles de millones de años, el centro de masa del sistema Tierra-Luna estará fuera de la Tierra, lo que lo convertiría en un sistema de dos planetas.

La razón por la que Mercurio es el planeta más cercano a todos los planetas en promedio se debe en parte al hecho de que, debido a las leyes de Kepler, el período se escala con el semieje mayor de una órbita, por lo que las órbitas grandes serán lentas y gastarán mucho. de tiempo lejos de cualquier objeto dado porque las órbitas son muy lentas. En oposición, para dos objetos cualesquiera, serán (dada una órbita casi circular) la suma de los dos semiejes principales alejados entre sí. Entonces, naturalmente, si un planeta tiene un semieje mayor pequeño, se moverá rápido y estará mucho más cerca la mayor parte del tiempo que otro objeto con un semieje mayor más grande y una órbita más lenta.

Este principio es fácilmente extensible a otros sistemas, ya que las leyes de Kepler se aplican a cualquier sistema planetario. En cuanto al sistema binario, la dinámica cercana a un sistema estelar binario puede volverse bastante complicada, por lo que no estoy seguro de qué sucedería exactamente, pero dado que el sistema binario podría aproximarse a una masa debido a las distancias, esto aún se mantendría.

Déjame saber si esta explicación es confusa; Puedo editar y reformular esto para que quede más claro si es necesario.

Editar: Tras una mayor consideración y con la ayuda de los comentarios, uno debe considerar qué tipo de promedio estamos viendo aquí. En nuestro sistema solar, muchas de las órbitas son casi circulares y, en situaciones como estas, las aproximaciones circulares pueden generar la posibilidad de promedios puramente espaciales debido a la velocidad angular uniforme. Sin embargo, como se ve en las leyes de Kepler, las órbitas son elipsis y, técnicamente, excepto en el caso de una órbita perfectamente circular, tienen velocidades angulares variables (y, por extensión, velocidades tangenciales). Para una órbita con una excentricidad que no se puede aproximar mediante una órbita circular, se debe considerar un promedio temporal en lugar de solo uno espacial.

Un buen ejemplo de esto lo da d_e en el comentario; él dice

Imaginemos 3 planetas, uno está muy cerca del Sol. los otros 2 están muy lejos (en el afelio) del Sol y tienen aproximadamente el mismo semieje mayor, y la misma dirección de la línea de los ábsides. Ahora, el truco es hacer que tengan una excentricidad muy, muy alta, de modo que el tiempo que pasan cerca del sol sea muy corto; por lo tanto, la mayor parte del tiempo los planetas estarán en su afelio (que su afelio, como dijimos, está cerca uno del otro)

Para órbitas circulares (o cercanas a ellas), un simple experimento mental puede hacer que el razonamiento para la conclusión del mercurio sea un poco más claro. Tomemos por ejemplo a Mercurio, Saturno y Urano. Los ejes semi-principales para cada uno de estos son (aproximadamente) .4, 10 y 20 AU (nuevamente, hay un redondeo apreciable aquí, pero este es un ejemplo heurístico). Asumiendo órbitas circulares, Saturno solo estará a 9,6 o 10,4 AU de Mercurio en todos los puntos de su órbita, lo que significa que el promedio tendría que caer allí. Para Saturno y Urano, estarán alrededor de 10 UA en su punto más cercano y 30 en su punto más lejano. Dado el rango aquí, no es difícil imaginar que el promedio probablemente sea una cantidad decente mayor que 10.4, el promedio absoluto de distancia máxima posible entre Saturno y Mercurio.

Si bien este ejemplo es casi completamente cualitativo, espero que sea útil para creer en el análisis matemático y cuantitativo presentado por el enlace publicado en la pregunta.

Para órbitas no circulares, como d_e ilustra bastante bien, este razonamiento no se extiende necesariamente, por lo que la respuesta sería no , esto no se extiende en general. Cada sistema tendría que ser analizado individualmente. Pero para un grupo de órbitas casi circulares, este parece ser el caso.

Dejé mi respuesta anterior defectuosa aquí como contexto para los comentarios a continuación, que son bastante ilustrativos de algunos principios importantes.

No necesariamente

Los autores del artículo vinculado anteriormente asumen que los planetas involucrados son

en órbitas aproximadamente circulares, concéntricas y coplanares

Supongamos que Mercurio y la Tierra tuvieran órbitas coplanares circulares con Mercurio a 0,4 UA y la Tierra a 1 UA del Sol. Con un programa rápido y un análisis de Monte Carlo, obtenemos el mismo resultado que el autor del artículo mencionado anteriormente de que la distancia promedio de la Tierra a Mercurio es 1.04 AU.

Modifique ligeramente el escenario anterior para que Mercurio ahora tenga una inclinación orbital estelar desplazada de la Tierra en 90 grados, es decir, sus planos orbitales son perpendiculares. Ahora, un análisis de Monte Carlo revela una distancia promedio de 1.0584 AU.

Entonces, claramente (a pesar de las inestabilidades orbitales) podríamos tener un planeta más interno con una inclinación perpendicular a la eclíptica, que en promedio está más lejos de la Tierra que el siguiente planeta con una inclinación coplanar.

Agregue la posibilidad de un planeta más interno en órbita altamente excéntrico (donde el eje semi-mayor es nuestra medida de proximidad estelar) y podemos obtener una discrepancia aún más evidente en la distancia promedio ya que la gran cantidad de tiempo para tal planeta se pasa lejos. de la estrella en apoapsis.

Nota: un contraejemplo de exoplaneta específico de este tipo podría ser extremadamente difícil de encontrar como:

1. los planetas tienden a evolucionar en órbitas casi coplanares.
2. Es casi seguro que tal sistema sería inestable.
3. Los planos orbitales perpendiculares harían que la detección de ambos planetas a través de métodos de tránsito sea extremadamente rara.

Código coplanar:

n=1e7;
theta = rand(1,n)*2*pi;
points =[0.4*sin(theta)-1;0.4*cos(theta)];
aveDist = mean(sqrt(points(1,:).^2+points(2,:).^2));

Código perpendicular:

n=1e7;
theta = rand(1,n)*2*pi;
phi = rand(1,n)*2*pi;
points =[0.4*cos(phi).*sin(theta)-1;0.4*sin(phi).*cos(theta);0.4*cos(theta)];
aveDist = mean(sqrt(points(1,:).^2+points(2,:).^2+points(3,:).^2));

[Esta es una respuesta complementaria a la respuesta de Justin Tackett. Me sentí algo obligado a la luz de los comentarios (incluso después de las ediciones) y de ilustrar mi ejemplo (al que se hace referencia en la respuesta) con un diagrama.]

Digo que hay 2 situaciones ingenuas donde el planeta más interior no es el armario. En la ilustración adjunta, solo hay 2 planetas y considero la distancia al Sol (como podemos suponer que el planeta más interno está muy cerca del Sol, por lo que no hará ninguna diferencia tomar la distancia al Sol en su lugar).

1. En el primer ejemplo, el período (y por lo tanto el semieje mayor) y el ángulo pehilion de los planetas exteriores son iguales. Se diferencian solo en la excentricidad. Podemos ver claramente que la distancia entre los planetas es siempre más corta que la distancia al Sol. (Solía ​​​​a la misma fase de órbita, pero podemos permitir una pequeña diferencia, también en la ubicación de pehilion)

Uno puede afirmar con justicia que esta configuración no es posible en la vida real, y estoy de acuerdo con él. El valor de mi respuesta es principalmente demostrar que no hay nada universal aquí que pueda deducirse del sistema Kepleriano; más bien, que cada sistema tiene sus propias características.

2. El segundo ejemplo que se dio en la respuesta de Justin Tackett incluye que los dos planetas tengan una excentricidad muy alta y aproximadamente el mismo semieje mayor y ángulo pehilion. Admito que pensé, en los números que se dan a continuación, que el efecto sería más fuerte; sin embargo, incluso aquí es bastante fácil ver que la distancia media entre los planetas es más corta que la distancia al Sol. Tenga en cuenta que el diagrama no está a escala: el eje X es más largo; si estuviera a escala, las órbitas se verían mucho más como elipses fuertes. La mayor parte del tiempo, los planetas están en X> 3 mientras que el sol está en 0. Esto es suficiente para establecer que creo mi afirmación aquí.

La página a la que se vincula y el documento se refieren a PCM (el Método del círculo de puntos), y el PCM trata las órbitas de dos objetos como circulares, concéntricas y coplanares. Si los planetas de un sistema tuvieran órbitas extrañas (y probablemente inestables), este podría no ser el caso.

El método PCM trata la posición del planeta en un momento dado como una distribución probabilística uniforme. Eso significa que si observa un punto aleatorio en el tiempo durante los últimos mil millones de años, cada planeta tiene aproximadamente la misma probabilidad de estar en cualquier punto de su órbita. Lo que te da es la capacidad de tratar un planeta como un punto (P) y calcular un promedio para todos los puntos en la órbita circular del otro planeta como si fueran igualmente probables (C).

Entonces, en general, para cualquier par de planetas que mires, la distancia promedio entre ellos se hará más pequeña a medida que la órbita del planeta interior se haga más pequeña. Si hicieras una lista de los planetas más cercanos a cualquier otro, siempre estarían en orden de distancia más cercana al sol (órbita más pequeña).

En la imagen de abajo está el planeta de prueba (azul claro exterior) y dos planetas interiores que son verdes y azules donde queremos encontrar cuál es el más cercano en promedio.

PCM usa una posición estática para el planeta de prueba (azul claro exterior) y calcula la distancia promedio a cada punto en los círculos que representan las órbitas de los otros planetas.

Sin embargo, no necesita hacer ningún cálculo para saber que la distancia promedio será menor para el planeta interior. Si tomamos cualquier ángulo alrededor del círculo y trazamos una línea vertical (a la derecha), podemos ver que el planeta exterior estará más hacia el lado en ese punto de su órbita. Estará más cerca la mitad del tiempo y más lejos la mitad del tiempo verticalmente que el planeta exterior, pero en todos los casos, excepto cuando estén alineados con nuestro planeta de prueba, el planeta exterior tendrá una componente horizontal más grande a la distancia. .

En un sistema estelar binario, hay dos tipos de órbitas que pueden tener los planetas.

Un planeta en una órbita de tipo S o no circumbinaria orbitará una de las dos estrellas. Por lo tanto, la distancia entre las dos estrellas debe ser al menos varias veces mayor que el semieje mayor de la órbita del planeta, para que el planeta tenga una órbita estable.

Un planeta en una órbita tipo p o circumbinaria orbitará ambas estrellas. Por lo tanto, el semieje mayor de la órbita del planeta debe ser al menos unas pocas veces mayor que la distancia entre las dos estrellas para que el planeta tenga una órbita estable.

Es posible que un sistema estelar binario tenga planetas en órbitas de tipo S alrededor de una de las estrellas, o de ambas estrellas, y que tenga planetas en órbitas de tipo P alrededor de ambas estrellas.

Cada planeta alrededor de una estrella tendrá una zona prohibida alrededor de su órbita donde ningún otro planeta puede orbitar debido a las interacciones gravitatorias. Cuanto más cerca estén dos planetas de su estrella, más pequeñas serán sus zonas prohibidas y más cercanas pueden estar las dos órbitas.

Si un sistema binario tiene dos estrellas, A y B, y planetas en órbitas de tipo S alrededor de cada una de ellas, me parece obvio que el planeta más interno alrededor de A será, en promedio, como plantea la pregunta, el más cercano a cada uno. de los otros planetas que orbitan alrededor de A. Y, de manera similar, el planeta más interno que orbita alrededor de B será, en promedio, como plantea la pregunta, el más cercano a cada uno de los otros planetas que orbitan alrededor de B.

Si la separación entre A y B debe ser al menos, por ejemplo, 5 veces la distancia de la órbita del planeta más exterior alrededor de cualquiera de las estrellas, podemos hacer una imagen del sistema.

Suponga que el planeta más externo alrededor de cada una de las estrellas orbita a 10 unidades y que la separación de las dos estrellas en sus órbitas es de 50 unidades. Obviamente la separación entre los planetas más exteriores de cada estrella variará entre 40 a 60 unidades, con una separación media de unas 50,99 unidades.

Pero un planeta interior que orbita la estrella A a 5 unidades, por ejemplo, el planeta AI, siempre estará entre 5 y 15 unidades del planeta más exterior que orbita la estrella A a 10 unidades, el planeta A II, y la separación media entre los dos planetas será unas 11.180 unidades según la teorma de Pitágoras.

Entonces, cualquier planeta que orbite la estrella A siempre estará más cerca de cualquier planeta que orbite la estrella A que cualquier planeta que orbite la estrella B, incluso en su punto más cercano.

Suponga que también hay planetas en órbitas tipo P o circumbinarias alrededor del centro de masa de las dos estrellas A y B. Imagine que el planeta AB I orbita a 250 unidades y el planeta AB II orbita a 500 unidades y el planeta AB III orbita a 1000 unidades. unidades.

La distancia entre AB I y AB II siempre estará entre 250 y 750 unidades con un promedio de 559.01 unidades.

La distancia entre AB II y AB III estará siempre entre 500 y 1.500 unidades con una media de 1118,03 unidades.

La distancia entre AB I y AB III estará siempre entre 750 y 1.250 unidades, con una media de 1.030,77 unidades.

Eso indica que el planeta más interno que orbita en una órbita de tipo P alrededor del centro de gravedad de las dos estrellas A y B, a saber, el planeta AB I, será el más cercano, en promedio, como plantea la pregunta, a los otros planetas. orbital. en órbitas de tipo P alrededor de ambas estrellas.

Entonces, eso deja la pregunta de si alguno de los planetas en órbitas tipo S alrededor de una sola de las estrellas, A o B, estará más cerca, en promedio, como dice la pregunta, de los planetas en órbitas tipo P alrededor del centro de masa de las estrellas A y B.

Suponiendo que las estrellas A y B tienen la misma masa, orbitarán el centro o la masa o el baricentro, a distancias iguales. Suponiendo órbitas circulares casi perfectas, cada estrella siempre estará casi exactamente a 25 unidades del baricentro.

Dije que ningún planeta de A o B podría tener una órbita estable a más de 10 unidades de su estrella. Entonces, ningún planeta de A o B podría obtener más de 35 unidades del baricentro de las dos estrellas.

Entonces, un planeta en órbita A o B podría obtener entre 215 y 285 unidades del planeta AB I, con una distancia promedio de aproximadamente 251 unidades.

Eso significa que un planeta que orbita A o B a veces podría estar más cerca del planeta AB I que del planeta AB II.

Un planeta en órbita A o B podría alejarse entre 465 y 535 unidades del planeta AB II, con una distancia media de unas 500,646 unidades. Que es más corta que la distancia promedio entre AB I y AB II.

Un planeta en órbita A o B podría alejarse entre 965 y 1035 unidades del planeta AB III, con una distancia media de unas 1000,3124 unidades. Que es más corta que la distancia promedio entre AB II y AB III y más corta que la distancia promedio entre AB I y AB III.

Así que aparentemente en un sistema estelar binario con planetas en órbitas tipo S alrededor de una o cada una de las estrellas, así como planetas en órbitas tipo P alrededor del centro de masa de ambas estrellas, los planetas en órbitas tipo S serán más cerca, en promedio, como se define en la pregunta, de los planetas en órbitas de tipo P que cualquiera de los planetas en órbitas de tipo P estarán, en promedio, como se define en la pregunta, entre sí.

Por supuesto, solo he demostrado eso para las órbitas específicas que he elegido para el sistema en mi ejemplo.

Echemos un vistazo más general a la situación en los sistemas con una estrella:

¿Cuál es la distancia promedio a un planeta? Divida esto en dos componentes, la distancia a lo largo de una línea desde el planeta desde el que está midiendo (que llamaré O), a través del baricentro del sistema planetario que llamaré X, y la distancia que el planeta está desplazada de esta línea. que llamaré Y.

Ahora, ¿cuál es el X promedio? Si bien el planeta pasará más tiempo cerca de su apoapsis que de su periapsis, esto es independiente de la órbita del planeta desde el que se está midiendo y, por lo tanto, su promedio será cero. Por tanto, el promedio X es siempre la distancia de O al baricentro. Esto es lo mismo para todos los planetas.

Esto deja la Y. Una vez más, los ángulos de cambio entre O y el objetivo promedian las cosas: va a variar de cero al radio orbital promedio del objetivo. Mi cálculo está demasiado oxidado para sumar esto, pero no importa, claramente depende del radio orbital y nada más.

Esto tenemos X fijo e Y variando en el radio orbital. Por lo tanto, sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) también se ordenará por radio orbital, aunque la relación ya no es lineal. Así, la distancia media a un planeta estará ordenada por el radio orbital del planeta. El planeta interior es siempre el más cercano.

Ahora, hay algunos casos especiales que se han presentado en otras respuestas: planetas dobles, objetos L4 y L5. Sin embargo, uno de los requisitos para ser un planeta es haber despejado la órbita de uno, y todos esos casos significan que tienes dos objetos en la órbita. Por lo tanto, no pueden ser planetas para ser un planeta más cercano.

Una modificación a esta pregunta que podría aclararla:

¿Es la distancia promedio entre un planeta en una órbita estándar (un planeta por órbita circular) y su principal, siempre menor que la distancia promedio entre el planeta y cualquier otro planeta que orbite alrededor del primario?

Cuanto más cerca está un planeta del primario, más cerca está su distancia promedio a cualquier otro planeta de la distancia promedio entre el primario y cualquier otro planeta.