Derivación S = VI*/2

Sean V e I el voltaje y la corriente instantáneos en una carga. De la definición de potencia, voltaje y corriente, tenemos la relación para potencia instantánea:

$p(t) = v(t) \cdot i(t)$

Lo que significa que la potencia en un instante dado$t$es igual al producto del voltaje por la corriente exactamente en ese instante.

Asumiré que está familiarizado con lo que realmente significa la representación fasorial. Solo para decirlo brevemente: un fasor es una abreviatura matemática para representar una sinusoide en una frecuencia desconocida dada.

Asi que,$V=V_{M} ∠ \phi _{V}$es una abreviatura de$v(t) = V_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{V})$. Similarmente:$I=I_{M} ∠ \phi _{I}$significa$i(t) = I_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{I})$.

multiplicando$v(t) \cdot i(t)$para todos$t$, nos da la forma de onda de la potencia instantánea para cada$t$. Trabajando en esa multiplicación:

$s(t) = v(t) \cdot i(t) = V_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{V}) \cdot I_{M} \cdot cos(\omega t+ \phi _{I})$

Como$cos(u) \cdot cos(v) = \cfrac{1}{2} \cdot [cos(u-v)+cos(u+v) ]$, con$u = \omega t+ \phi _{V}$y$v = \omega t+ \phi _{I}$, podemos simplificar la ecuación anterior a:

$s(t) = v(t) \cdot i(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\phi _{V} - \phi _{I}) + cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})]$

Esta forma de onda es bastante interesante por sí misma: es un valor constante$\cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot cos(\phi _{V} - \phi _{I})$sumado por una sinusoide$\cfrac{V_{M}I_{M}}{2} cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})]$.

Esto muestra claramente que la potencia instantánea no es constante en el tiempo.

Con base en ese resultado, podemos ver que la potencia media es igual al componente invariable de$s(t)$(Es bastante sencillo demostrar que matemáticamente, solo hay que resolver la integral$\cfrac{1}{T}\int_{t}^{t+T}{s(t)dt}$)

Motivado por este resultado, y por la dulce interpretación geométrica de$VIcos(\phi _{V} - \phi _{I})$, ese valor se ha definido como la potencia real , es decir, la potencia que realmente se entrega a la carga. Ahora sabe que esta llamada potencia real no es más que la potencia media en la carga.

Profundizando un poco en este concepto (es una pena que no pueda dibujar aquí, pero lo intentaré):

Sea v un vector de magnitud ||v|| y fase$\phi_v$, y i un vector de magnitud ||i|| y fase$\phi_i$Si multiplicas ||i|| por$cos(\phi_v-\phi_i)$tienes la proyección de i sobre v . Por otro lado,$||i||sin(\phi_v-\phi_i)$se dice que es la componente de i en cuadratura con v .

Ahora puedes entender por qué la potencia media tiene una interpretación geométrica genial: la potencia media es el voltaje multiplicado por la proyección de la corriente sobre el voltaje, en el espacio fasorial.

Esto motivó la creación del complejo potencia S como:

S = P + jQ

Con esta definición, la parte real del vector es exactamente la potencia media entregada a la carga, y la parte compleja es la potencia que se dice que está en cuadratura , llamada potencia reactiva (googlee Power Triangle para ver la interpretación geométrica de este resultado) .

Bien, ahora volviendo a la$s(t)$definición, vemos que$P = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot cos(\phi_v - \phi_i)$y$Q$, por definición, y para cumplir con la definición de S, es igual a$\cfrac{V_M I_M}{2} \cdot sin(\phi_v - \phi_i)$

Entonces, como queríamos probar al principio:

$S = P + jQ = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot cos(\phi_v - \phi_i) + j\cfrac{V_M I_M}{2} \cdot sin(\phi_v - \phi_i)$

$S = \cfrac{V_M I_M}{2} \cdot [cos(\phi_v - \phi_i) + jsin(\phi_v - \phi_i) ]$

$S = \dfrac{V_{M} ∠ \phi _{V} \cdot I_{M} ∠ -\phi _{I}}{2}$

$S = \cfrac{V \cdot I*}{2}$

Entonces, ahí tienes, lo que querías ver;)

editar : ¿Cuál es la interpretación física de Q?

He mostrado arriba cuál es la interpretación física de la parte real de la potencia compleja, P, es decir, la potencia media entregada a la carga. Pero, ¿qué es exactamente Q, cómo se puede visualizar? Se basa en el hecho de que el coseno y el seno son ortogonales , y el principio de superposición se puede aplicar a la potencia si las dos formas de onda involucradas en el cálculo son ortogonales. Vayamos a las matemáticas, porque eso es realmente lo que importa.

Utilizando el resultado obtenido anteriormente:$s(t) = \cfrac{V_{M}I_{M}}{2} \cdot [cos(\phi _{V} - \phi _{I}) + cos(2\omega t+ \phi _{V} + \phi _{I})]$