¿Qué ecuación describe la función de onda de un solo fotón?

No existe una mecánica cuántica de un fotón, solo una teoría cuántica de campo de la radiación electromagnética. La razón es que los fotones nunca son no relativistas y pueden emitirse y absorberse libremente, por lo tanto, no hay conservación del número de fotones.

Aún así, existe una dirección de investigación en la que las personas intentan reinterpretar ciertas cantidades de campo electromagnético en términos de la función de onda de fotones, consulte, por ejemplo, este documento .

Hay una ligera confusión en esta pregunta. En la teoría cuántica de campos, la ecuación de Dirac y la ecuación de Schrödinger tienen funciones muy diferentes. La ecuación de Dirac es una ecuación para el campo, que no es una partícula. La evolución temporal de una partícula, es decir, un estado cuántico, viene siempre dada por la ecuación de Schrödinger. El hamiltoniano para esta evolución temporal se escribe en términos de campos que obedecen ellos mismos a una determinada ecuación. Entonces, la respuesta correcta es: la ecuación de Schrödinger con un hamiltoniano dado en términos de un campo vectorial sin masa cuya ecuación no es otra cosa que la ecuación de Maxwell.

Las ecuaciones de Maxwell, como en la electrodinámica clásica. Sin embargo, deberá usar la teoría cuántica de campos para trabajar con ellos.

http://en.wikipedia.org/wiki/Relativistic_wave_equations
http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_electrodynamics

Si bien las respuestas anteriores son excelentes, sentí que faltaba lo que preguntaba la pregunta con respecto a una ecuación análoga a la ecuación de Schrödinger (o Dirac).

Hay una cantidad llamada vector de Riemann-Silberstein ( https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann%E2%80%93Silberstein_vector#Photon_wave_function ), utilizada por primera vez por el famoso Bernhardt Riemann para demostrar una formulación concisa de las ecuaciones de Maxwell.

Este “vector” tiene la forma:

Una búsqueda rápida en línea demuestra que la electrodinámica clásica escrita de esta forma puede ser bastante útil para resolver problemas.

En el reino cuántico, se puede escribir una cantidad análoga a la función de onda para un solo fotón. Tal cantidad tiene la forma:

Esta puede ser una cantidad útil para examinar las propiedades de un solo fotón. Comience con la página de Wikipedia, en realidad es una cantidad bastante interesante y útil.

El concepto general de la mecánica cuántica es que las partículas son ondas. Una de las "derivaciones" manuales de la mecánica cuántica asume que la fase de las partículas se comporta de la misma manera que la fase de la luz.$\exp( i \vec{k}\cdot \vec{x} - iE t / \hbar)$(ver Feynman Lectues on Physics , Volumen 3, Capítulo 7-2).

Para la luz que es monocromática (o casi monocromática), simplemente tome las ecuaciones de Maxwell y agregue la suposición de que un fotón no puede absorberse parcialmente. La mayoría de las veces es suficiente usar la aproximación paraxial, o incluso la aproximación de onda plana. Funciona para configuraciones estándar de mecánica cuántica como el probador de bombas Elitzur-Vaidman .

Para la luz no monocromática es mucho más complicado. Más sobre la naturaleza de la mecánica cuántica de un fotón: Iwo Bialynicki-Birula, On the Wave Function of the Photon , Acta Physica Polonica 86, 97-116 (1994).

Un solo fotón se describe mecánicamente cuánticamente mediante las ecuaciones de Maxwell, donde las soluciones se toman como complejas. Las ecuaciones de Maxwell se pueden escribir en la forma de la ecuación matricial de Dirac, donde las matrices de dos componentes de Pauli, correspondientes a los electrones de espín 1/2, se reemplazan por matrices análogas de tres componentes, correspondientes a los fotones de espín 1. Dado que la ecuación de Dirac y la correspondiente ecuación de Maxwell son completamente relativistas, no hay problema con que la masa del fotón sea cero, como lo habría para una ecuación similar a la de Schroedinger. Consulte http://www.nist.gov/pml/div684/fcdc/upload/preprint.pdf .

Según el análisis de Wigner, el espacio de Hilbert de un solo fotón está atravesado por una base parametrizada por momentos de energía en el límite del cono de luz hacia adelante, y una helicidad de$\pm 1$.

Sin embargo, una descripción manifiestamente covariante de Lorentz en el espacio de posición tiene que incluir un fotón longitudinal ficticio con una helicidad de 0. Este grado de libertad es puro calibre y se desacopla. Curiosamente, la norma de estado ahora es semidefinida positiva, en lugar de definida positiva, con los modos transversales con norma positiva y los longitudinales con norma cero.

Hay varias ondas diferentes asociadas con un fotón. En QED, el fotón está asociado con una solución clásica del potencial de (4-) vector. El vector potencial contiene características que no son físicas, ya que un cambio de calibre no se refleja en ningún cambio de propiedades físicas. Por lo tanto, su papel como función de onda podría ser algo cuestionable. Pero aún así, debe haber una onda que explique los bien conocidos patrones de interferencia y difracción.

Cuando vemos una pantalla iluminada por luz láser que ha pasado por una doble rendija, nuestros ojos reciben fotones dispersados ​​por los átomos en la superficie de la pantalla. Los átomos absorben y emiten fotones como antenas dipolo eléctricas cuánticas. Esto implica que los átomos son sensibles al campo eléctrico. A partir del campo vectorial asociado al fotón se puede calcular un campo eléctrico. Este campo es independiente del calibre, por lo tanto, es un campo físico. Este campo es una solución a las ecuaciones de Maxwell y describirá los patrones habituales de interferencia y difracción.

Mi respuesta es más un comentario sobre otras respuestas correctas: no puede construir una función delta para el fotón en 3D porque falta el componente longitudinal de un campo vectorial sin masa. Pero eso no significa que no haya un concepto útil y significativo de una función de onda en el sector de un solo fotón. Este es solo un hecho peculiar sobre el campo electromagnético libre, básicamente no puede localizar la luz en una región más pequeña que la longitud de onda característica. Ecuaciones de Maxwell para el componente sin fuente ( solenoide ) del campo de potencial vectorial$\bf{A}$juegan el papel de la ecuación de Schrödinger.

Recomiendo el libro de Rodney Loudon " La teoría cuántica de la luz " como un buen recurso para comprender realmente el nivel cuántico de descripción de la luz.

Hay una buena manera de representar las ecuaciones de Maxwell utilizando el formalismo de espinor de 2 componentes. La expresión final es de hecho una ecuación de onda, pero es mejor interpretarla como un resultado semiclásico.

Se puede descomponer el tensor de Maxwell en partes anti-doble y auto-dual, que se representa en forma espinorial:

Los índices latinos pequeños son los índices de espacio-tiempo, mientras que los índices capitales con prima y sin prima son los índices de espinor. También tenga en cuenta que {a} <---> {AA'} , los índices sin prima como A toman el valor 0 o 1, mientras que es 0' o 1' para índices con prima (como A')

La expresión final de la ecuación de Maxwell (en unidades cgs) se ve así: