Estabilidad condicional

Esta es exactamente la razón por la que creo que la gente debería estudiar la estabilidad primero usando diagramas de Nyquist, LUEGO usando diagramas de Bode y los diagramas de ganancia y margen de fase asociados.

Los márgenes de ganancia/fase son solo una forma conveniente de determinar qué tan cerca está el sistema de tener polos en el lado derecho del plano complejo, en términos de qué tan cerca está el diagrama de Nyquist de -1, porque después de la expansión en fracciones parciales esos términos con los polos positivos terminan como exponenciales de tiempo con coeficiente positivo, lo que significa que tiende al infinito, lo que significa que es inestable.

Sin embargo, solo funcionan cuando la trama de nyquist tiene un "aspecto normal". Es muy posible que haga algo como esto:

Por lo tanto, viola la regla del margen de fase, pero la función de transferencia de bucle abierto G(s)H(s) no rodea a -1, por lo que 1+G(s)H(s) no tiene ceros en el lado derecho, lo que significa que el bucle cerrado no tiene polos en el lado derecho, por lo que sigue siendo estable.

La palabra condicional proviene del hecho de que la ganancia tiene un límite superior/inferior para mantenerla así, y cruzarlos hace que el sistema sea inestable (porque cambia la curva lo suficiente como para cambiar el número de veces que -1 está encerrado).

Estabilidad condicional en una respuesta en lazo abierto.

Primero, dado que esto es de Ridley, puede apostar a que se trata de una respuesta de bucle abierto de un convertidor de potencia. Esta respuesta será estable para la ganancia mostrada para pequeñas perturbaciones de bucle lineal. Si la perturbación del bucle se vuelve lo suficientemente grande como para llevar a los amplificadores a una operación no lineal, es probable que el bucle se vuelva oscilatorio porque la operación de la región no lineal tendrá una ganancia de amplificador más baja.

El problema con bucles como este es que si bien son estables, es común que los sistemas tengan una ganancia que varía ampliamente con el voltaje de entrada, la carga o la temperatura, o una combinación de todos ellos. Si usa un bucle condicionalmente estable, debe verificar que ninguna de estas dependencias sea un factor durante ningún modo de operación (incluidas las condiciones de inicio). Una vez que este tipo de bucles comienzan a oscilar, tienden a pegarse (la oscilación reducirá la ganancia para que así sea).

Tenga en cuenta que el bucle que se muestra está correctamente compensado con 2 ceros para cubrir los 2 polos. El problema es que los polos son probablemente de un filtro LC (polos complejos) en el bucle. Habrá un inductor de baja pérdida y un banco de condensadores de baja pérdida que se combinarán para dar una respuesta Q alta. Dado que Q es alto, toda la contribución de fase del LC ocurrirá en un rango de frecuencia muy pequeño; del gráfico parece una octava para 180 grados de pérdida de fase. Los ceros compensatorios de Opamp serán simples, por lo que el aumento de fase ocurrirá en un intervalo de frecuencia de 2 décadas (como mínimo). Por lo tanto, aunque haya un impulso de fase adecuado para cubrir la pérdida de fase de LC, habrá una caída de fase y un margen de fase nulo o negativo en el medio cerca de los polos.

Posibles soluciones a este tipo de respuesta de bucle:

• Los ceros compensatorios se pueden dividir para que uno entre antes de los polos (entre paréntesis de los polos), agregando un impulso de fase temprano. Eso podría dar como resultado un mayor margen de fase en la caída de fase, pero podría no ser suficiente.

• La mejor acción suele ser reducir la Q del filtro LC.

Deconstrucción de bucles:

Para mostrar cómo podría producirse este tipo de respuesta de bucle abierto, el bucle se puede deconstruir utilizando un modelo simple.

Realmente no conozco el circuito que generó la respuesta que publicó el OP, pero sospecho, según la forma en que se ve la respuesta, que proviene de un regulador de impulso de modo de conducción continua. Un modelo básico incluiría un filtro LC, PowerModulator y un amplificador de error. Un semiesquema de una versión de circuito abierto de CA es:

En general, el circuito reflejará el comportamiento de un bucle de refuerzo CCM, aunque los detalles aquí se eligen para que sean razonables y obtengan la coincidencia más conveniente con el bucle publicado... con la menor cantidad de trabajo. Esta es solo una herramienta para ayudar a separar todas las partes del bucle y mostrar cómo se unirían para formar el bucle total.

Comencemos con el resultado de este modelo, el bucle completo:

No está mal... se parece bastante al original. Puede ver que el carácter básico del bucle es un integrador con una perturbación resonante LC a 1000 Hz. En frecuencias por debajo de los polos LC, la ganancia del bucle cae a -20 dB por década, y en frecuencias por encima de los polos LC, la ganancia reanuda una disminución de -20 dB por década. Entonces, dado que en general hay una caída de 1 polo (-20dB /), algo ha manejado esos 2 polos LC cubriéndolos con ceros. Hay artefactos adicionales que aparecen por encima de ~20kHz; ESR cero en el filtro LC, semiplano derecho cero (rhpz) y frecuencia de Nyquist; que se mencionará brevemente.

Respuesta del filtro LC:

Aquí puede ver los polos LC a 1kHz y el efecto de$C_o$esr un cero a unos 65kHz. Tenga en cuenta lo comprimido que está el comportamiento de fase de los polos LC, casi todo el cambio ocurre en un par de octavas.

Modulador de potencia con filtro LC:

El modulador de potencia se ha agregado al filtro LC aquí. El modulador de potencia tiene 30dB de ganancia, el semiplano derecho cero a 70kHz y un polo para la frecuencia de Nyquist a 100kHz (sí, sé que agregar un polo no es la forma correcta de manejar Nyquist, pero tendrá que funcionar para esto ). Excepto por tener 30dB de ganancia, el gráfico de ganancia se ve igual que el LC. Pero, ¿y esa fase? Es el rhpz que exhibe fase como un polo lhp, pero gana como un cero lhp. Esta es principalmente la razón por la que la fase de bucle abierto nunca se recupera tanto como pensaría después de la resonancia LC.

Amplificador de errores:

Aquí puede ver la respuesta del amplificador con su polo integrador de baja frecuencia, seguido de 2 ceros a aproximadamente 1kHz y 7kHz, un polo a 42kHz para aplanar el último cero antes de llegar al límite de ancho de banda de ganancia del amplificador.

El amplificador operacional tenía un ancho de banda de 20 MHz con una ganancia de 140 dB y un polo de baja frecuencia de 2 Hz. La ganancia del integrador se establece mediante R1 y C1. El primer cero lo establecen C1 y R3. El segundo cero lo establecen C2 y R1. El poste de nivelación está fijado por C2 y R2.

Primero una pequeña aclaración. Lo que traza es la ganancia de bucle L(s), que correspondería a G(s)H(s) en el siguiente diagrama:

La función de transferencia completa (también llamada ganancia de bucle cerrado ) en este caso es:

La transformada inversa tendrá exponenciales crecientes (lo que significa que es un sistema inestable) siempre que esa función tenga polos en el lado derecho (RHS) del plano s. Eso es lo mismo que averiguar si hay ceros en el lado derecho del plano s de 1+L(s). Entonces, básicamente, la inestabilidad está determinada por la ganancia de bucle, no hay necesidad de calcular la ganancia de bucle cerrado más compleja. Entonces, cuando se habla de estabilidad, las gráficas casi siempre son de la ganancia de bucle L(s).

Volviendo a tu pregunta:

Con respecto a la afirmación de que el sistema es inestable cuando la ganancia es mayor a 0dB con fase invertida (-180), permítanme responder con un contraejemplo fácil de ver. Considere lo muy simple:

^{simular este circuito : esquema creado con CircuitLab}

La función de transferencia de bucle es

De acuerdo con el criterio demasiado asumido que dice:

si la ganancia del lazo es positiva a -180°, el sistema será inestable.

Entonces si |K| > 1 entonces debe ser inestable.

Sin embargo, no lo es. La salida es:

Entonces, si K = -2 (ganancia positiva en dB y fase de -180),

Estable.

Por otro lado, si K = -1, entonces tenemos un problema (se vuelve inestable).

Lo anterior fue un ejemplo de solo una constante, pero en general, el solo hecho de saber que la ganancia es> 0dB a -180 no implica que el sistema sea inestable . Si su libro dice eso, está mal (pero parecerá correcto para muchos casos típicos).

Si comienza a imaginar que el sistema anterior tiene un pequeño retraso y que la señal E no ha tenido tiempo de responder y tiene un valor incorrecto y luego ve cómo se propaga iterativamente a través del ciclo, concluirá que la señal crecerá sin atado. Y con esto caerás en una trampa mental de la que es difícil salir, que es lo que creo que es el concepto erróneo subyacente que no permite aceptar conceptualmente que el sistema en tu pregunta puede ser estable.

El diagrama de Bode es solo una porción de Nyquist, y el criterio de estabilidad de Bode solo es aplicable cuando el diagrama de Nyquist es típico, pero Bode es solo una conveniencia (es más fácil de graficar que Nyquist).

Los diagramas de Nyquist y su versión simplificada de los diagramas de Bode son solo métodos gráficos para principalmente:

1. Averigüe si el sistema tiene polos RHS, que se convierten en exponenciales crecientes.
2. Obtenga información sobre qué tan lejos está el sistema de ser estable/inestable y qué se puede hacer al respecto.

También solo para aclarar, no hay saturación que minimice las frecuencias inestables. Una explicación simple es considerar que la respuesta total es la superposición de las respuestas de todas las frecuencias, por lo que simplemente no hay forma de arreglarlo, de la misma manera que no puedes cancelar una sinusoidal de cierta frecuencia con cualquier número de sinusoidales de diferentes frecuencias.

Pero, de nuevo, pensar en términos de frecuencias que hacen que el sistema sea inestable también es incorrecto. Esta inestabilidad no es lo mismo que tener una frecuencia infinitamente resonante, como en un sistema de segundo orden no amortiguado. Ese es un sistema oscilatorio, pero la inestabilidad de la que estamos hablando es crecer sin límites con cualquier entrada (excepto cero).

Una forma sencilla de probarlo es darse cuenta de que un sistema inestable tendrá polos en el lado derecho del plano s, y que:

Entonces, no hay forma de que pueda cancelar un polo en la función de transferencia que lo multiplica. La salida seguirá creciendo sin límites.

La respuesta oscilatoria solo entra en juego si la fase es mala en el cruce por cero de la ganancia. Este bucle es condicionalmente estable porque si algún factor reduce la ganancia (haciendo que se cruce antes), podría cruzar en esa zona de 2 kHz donde la fase es peligrosa y crear la respuesta oscilatoria.

Para que este bucle sea incondicionalmente estable, tendría que haber algún impulso de fase para mover esa sección de 2 kHz fuera de la zona de peligro, o la ganancia tendría que cruzar a una frecuencia mucho más baja (en el área antes de que la fase se bloquee).