¿Un dipolo eléctrico acelerado irradia?

Resumen: Un dipolo que se mueve por el espacio irradia. En concreto, la potencia radiada depende tanto de la aceleración del dipolo como de su tirón.

Encontrar los potenciales:

Considere un dipolo idealizado$\vec{p}$moviéndose a lo largo de una trayectoria$\vec{w}(t)$. Suponemos que este dipolo tiene una magnitud y dirección constantes en un marco inercial. Esto es algo artificial, particularmente para movimientos a lo largo de la dirección de$\vec{p}$(uno esperaría el momento dipolar del contrato de Lorentz); pero los cálculos a continuación son lo suficientemente complicados, y siempre que la velocidad del dipolo no sea relativista, estas suposiciones deberían ser válidas.

La distribución de carga para este dipolo será

$$\rho(\vec{r},t) = \vec{p} \cdot \vec{\nabla} \delta^{(3)}(\vec{r} - \vec{w}(t))$$ y la distribución actual será $$\vec{J}(\vec{r},t) = \dot{\vec{w}} \rho(\vec{r},t) = \dot{\vec{w}} \left[ \vec{p} \cdot \vec{\nabla} \delta^{(3)}(\vec{r} - \vec{w}(t)) \right].$$

Para encontrar los potenciales, usamos las funciones de Green retardadas para el operador de onda. Tenemos

$$V(\vec{r}, t) = - \frac{1}{\epsilon_0} \iiiint G(\vec{r} - \vec{r}',t - t') \rho(\vec{r}',t') \, d\tau' dt'$$ $$\vec{A}(\vec{r}, t) = - \mu_0 \iiiint G(\vec{r} - \vec{r}',t - t') \vec{J}(\vec{r}',t') \, d\tau' dt',$$ donde $$G(\vec{r} - \vec{r}',t - t') = - \frac{c}{4\pi} \begin{cases} \delta(\mathcal{R} - ct)/\mathcal{R} & t > t' \\ 0 & t < t' \end{cases}$$ con $\vec{\mathcal{R}} \equiv \vec{r} - \vec{r}'$.

Consideremos la integral para$V$primero. Tenemos

$$V(\vec{r}, t) = \frac{c}{4 \pi \epsilon_0} \iiiint \frac{\delta( \mathcal{R} - (t - t'))}{\mathcal{R}} \vec{p} \cdot \vec{\nabla}' \delta^{(3)}(\vec{r}' - \vec{w}(t')) \, d\tau' dt'$$ donde $\vec{\nabla}'$denota el gradiente con respecto a $\vec{r}'$. Integrando por partes, el término de frontera desaparece, y se convierte en $$V(\vec{r}, t) = - \frac{c}{4 \pi \epsilon_0} \iiiint \vec{p} \cdot \vec{\nabla}' \left[ \frac{\delta( \mathcal{R} - (t - t'))}{\mathcal{R}} \right] \delta^{(3)}(\vec{r}' - \vec{w}(t')) \, d\tau' dt'$$ El término sobre el que actúa el gradiente solo depende de $\vec{r}'$mediante $\mathcal{R}$, y para cualquier función de este tipo, $\vec{\nabla} f(\mathcal{R}) = - \vec{\nabla}' f(\mathcal{R})$(donde $\vec{\nabla}$es el gradiente "normal".) Por lo tanto, $$V(\vec{r}, t) = \frac{c}{4 \pi \epsilon_0} \iiiint \vec{p} \cdot \vec{\nabla} \left[ \frac{\delta( \mathcal{R} - (t - t'))}{\mathcal{R}} \right] \delta^{(3)}(\vec{r}' - \vec{w}(t')) \, d\tau' dt'$$ Dado que la función delta final es independiente de $\vec{r}$, podemos sacar el operador de gradiente de la integral para obtener $$V(\vec{r}, t) = \vec{p} \cdot \vec{\nabla} \left[ \frac{c}{4 \pi \epsilon_0} \iiiint \frac{\delta( \mathcal{R} - (t - t'))}{\mathcal{R}} \delta^{(3)}(\vec{r}' - \vec{w}(t')) \, d\tau' dt'\right]$$ Pero la cantidad entre corchetes es precisamente lo que obtendríamos para una carga puntual (con magnitud unitaria) moviéndose a lo largo de la trayectoria $\vec{w}(t)$; en otras palabras, ¡este es el potencial estándar de Liénard-Wiechert! Si denotamos el potencial de Liénard-Wiechert para una carga puntual como $V_1 (\vec{r},t)$, podemos concluir que $$V(\vec{r}, t) = \vec{p} \cdot \vec{\nabla} \left[ V_1 (\vec{r},t) \right].$$ Una línea de argumentación similar que involucra el vector potencial da como resultado un resultado de aspecto muy similar: $$\vec{A}(\vec{r}, t) = \vec{p} \cdot \vec{\nabla} \left[ \vec{A}_1 (\vec{r},t) \right] = \vec{p} \cdot \vec{\nabla} \left[ \frac{\dot{\vec{w}}}{c^2} V_1 (\vec{r},t) \right].$$ Tenga en cuenta que $\dot{\vec{w}}$(así como todas las demás distancias y posiciones involucradas en los potenciales de Liénard-Wiechert) se evalúan en el tiempo retardado.

Encontrar los campos de radiación:

Para obtener los campos eléctrico y magnético, ahora querríamos tomar las derivadas, gradientes y rotaciones temporales de estas expresiones. Pero dado que los potenciales de un dipolo acelerado están relacionados con los de una unidad de carga puntual acelerada tomando la derivada direccional$\vec{p} \cdot \vec{\nabla}$, y dado que este operador conmuta con todas las derivadas espaciales y temporales, se deduce que los campos eléctrico y magnético de un dipolo acelerado están relacionados de manera similar a los de una unidad de carga puntual acelerada:

$$\vec{E}(\vec{r},t) = (\vec{p} \cdot \vec{\nabla}) \vec{E}_1(\vec{r},t) \qquad \vec{B}(\vec{r},t) = (\vec{p} \cdot \vec{\nabla}) \vec{B}_1(\vec{r},t)$$

Para una unidad de carga puntual en movimiento arbitrario, la parte del campo eléctrico responsable de la radiación es el campo de aceleración:

$$\vec{E}_1 \sim \frac{\mathcal{R}}{4 \pi \epsilon_0} \frac{ \vec{\mathcal{R}} \times (\vec{u} \times \vec{a})}{(\vec{\mathcal{R}} \cdot \vec{u})^3},$$ donde $\vec{u} = c \hat{\mathcal{R}} - \vec{v}$, $\vec{v} = \dot{\vec{w}}$, $\vec{a} = \ddot{\vec{w}}$, y todas las cantidades se evalúan en el tiempo retardado. Tenga en cuenta que esta cantidad escala como $\mathcal{R}^{-1}$a grandes distancias; usamos el símbolo $\sim$para denotar "igualdad hasta el más alto orden en $\mathcal{R}$."

Ahora queremos tomar la derivada direccional de esta cantidad. Esta cantidad depende de la posición de dos maneras: primero, a través de la dependencia explícita de$\vec{\mathcal{R}}$; y segundo, a través de la dependencia implícita de$\vec{w}$,$\vec{v}$y$\vec{a}$en el tiempo retrasado$t_r$. (Tenga en cuenta que$\vec{\mathcal{R}} = \vec{r} - \vec{w}(t_r)$también depende implícitamente de$t_r$.) Tomar esta derivada en el caso más general se deja (por autopreservación) al lector; en su lugar, me centraré en el caso en el que la carga está instantáneamente en reposo en el momento$t_r$( cf. la simplificación habitual realizada en el cálculo de la fórmula de Larmor). En tal caso, tenemos

$$(\vec{p} \cdot \vec{\nabla}) \vec{\mathcal{R}} = (\vec{p} \cdot \vec{\nabla}) (\vec{r} - \vec{w}(t_r)) = \vec{p} - \dot{\vec{w}} (\vec{p} \cdot \vec{\nabla} t_r) = \vec{p}.$$ Esto significa que cada vez que el operador $\vec{p} \cdot \vec{\nabla}$actúa en función de $\vec{\mathcal{R}}$, la expresión resultante se escalará en una potencia de $\mathcal{R}$menos que la función original. Dado que los campos de radiación son aquellos que escalan como $\mathcal{R}^{-1}$, y $\vec{E}_1$ya escala como $\mathcal{R}^{-1}$, podemos tratar eficazmente $\vec{\mathcal{R}}$como constante al tomar la derivada de $\vec{E}_1$: todos los términos derivados de $\vec{p} \cdot \vec{\nabla}$actuando $\vec{\mathcal{R}}$caerá más rápido que $\mathcal{R}^{-1}$.

Todavía necesitaremos tomar las derivadas direccionales de$\vec{u}$y$\vec{a}$, aunque. El primero resulta ser

$$(\vec{p} \cdot \vec{\nabla}) \vec{u} = (\vec{p} \cdot \vec{\nabla}) (c \hat{\mathcal{R}} - \vec{v}(t_r)) \sim - (\vec{p} \cdot \vec{\nabla})\vec{v}(t_r) = - \dot{\vec{v}} (\vec{p} \cdot \vec{\nabla} t_r) = \vec{a} \left(\frac{\vec{p} \cdot \hat{\mathcal{R}}}{c} \right),$$ donde hemos usado el hecho de que para una carga en reposo en el tiempo $t_r$, $\vec{\nabla} t_r = - \hat{\mathcal{R}}/c$. Del mismo modo, el segundo se convierte en $$(\vec{p} \cdot \vec{\nabla}) \vec{a} = - \vec{\jmath} \left(\frac{\vec{p} \cdot \hat{\mathcal{R}}}{c} \right),$$ donde $\vec{\jmath}$es el tirón del dipolo. Finalmente, si el dipolo está en reposo en el tiempo $t_r$, después $\vec{u} = c \hat{\mathcal{R}}$.

Por lo tanto, el campo de radiación total es

$$\vec{E}(\vec{r}, t) = (\vec{p} \cdot \vec{\nabla}) \vec{E}_1 \\ \sim \frac{\mathcal{R}}{4 \pi \epsilon_0} \left\{ \frac{ \vec{\mathcal{R}} \times [ ((\vec{p} \cdot \vec{\nabla})\vec{u} ) \times \vec{a}]}{(\vec{\mathcal{R}} \cdot \vec{u})^3} + \frac{ \vec{\mathcal{R}} \times [ \vec{u} \times ((\vec{p} \cdot \vec{\nabla}) \vec{a})]}{(\vec{\mathcal{R}} \cdot \vec{u})^3} - 3 \frac{\vec{\mathcal{R}} \times [ \vec{u} \times \vec{a}]}{(\vec{\mathcal{R}} \cdot \vec{u})^4} \vec{\mathcal{R}} \cdot [ (\vec{p} \cdot \vec{\nabla}) \vec{u} ] \right\}$$ El primer término desaparece, ya que $(\vec{p} \cdot \vec{\nabla}) \vec{u}$es paralelo a $\vec{a}$; y el resultado es que $$\vec{E}(\vec{r}, t) \sim - \frac{\vec{p} \cdot \vec{\mathcal{R}}}{4 \pi \epsilon_0 c} \left\{ c \frac{\vec{\mathcal{R}} \times [ \hat{\mathcal{R}} \times \vec{\jmath}]}{(c \mathcal{R})^3} + 3 c \frac{\vec{\mathcal{R}} \times [ \hat{\mathcal{R}} \times \vec{a}]}{(c \mathcal{R})^4} \vec{\mathcal{R}} \cdot \vec{a} \right\} \\ = - \frac{\vec{p} \cdot \hat{\mathcal{R}}}{4 \pi \epsilon_0 c^3 \mathcal{R}} \left\{ \hat{\mathcal{R}} \times [ \hat{\mathcal{R}} \times \vec{\jmath}] + \frac{3}{c} (\hat{\mathcal{R}} \cdot \vec{a}) \hat{\mathcal{R}} \times [ \hat{\mathcal{R}} \times \vec{a}] \right\}$$ Es fácil ver que podemos construir trayectorias $\vec{w}(t)$por lo que esta cantidad no se desvanece.

Afortunadamente, no tenemos que volver a pasar por todo esto con el campo magnético. Tendremos

$$\vec{B}(\vec{r},t) = (\vec{p} \cdot \vec{\nabla}) \vec{B}_1 (\vec{r},t) = (\vec{p} \cdot \vec{\nabla}) \left[ \frac{1}{c} \hat{\mathcal{R}} \times \vec{E}_1 \right] \sim \frac{1}{c} \hat{\mathcal{R}} \times \left[ (\vec{p} \cdot \vec{\nabla}) \vec{E}_1 \right] = \frac{1}{c} \hat{\mathcal{R}} \times \vec{E}(\vec{r},t).$$ En el tercer paso, hemos usado nuevamente el hecho de que cualquier derivado que actúe sobre $\hat{\mathcal{R}}$conducirá a términos que no contribuyen a los campos de radiación. El vector de Poynting será entonces $$\vec{S} \propto \vec{E} \times \vec{B} \propto \hat{\mathcal{R}} E^2,$$ ya que $\vec{E}$es perpendicular a $\hat{\mathcal{R}}$y $\vec{B}$es perpendicular a ambos. Por tanto, para un movimiento general del dipolo, habrá una cantidad finita de potencia radiada hasta el infinito.

Suponiendo que el campo está puramente retardado como de costumbre, entonces se aplica la fórmula de Lienard-Wiechert, y suponiendo que el dipolo es un dipolo real formado por dos cargas puntuales de magnitud$q$con distancia finita$d$.

Suponiendo también el momento eléctrico dipolar

$$\mathbf p = q(\mathbf r_+ - \mathbf r_-)$$

es constante en su marco de reposo, lo que significa que puede cambiar en el marco del observador debido a la contracción de longitudes de Lorentz (esto no se especificó en la pregunta pero es más natural que$\mathbf p$siendo constante en el marco del observador).

Entonces la presencia de$1/r$campo eléctrico depende de los detalles de cómo se acelera el dipolo.

Si la aceleración$\mathbf A$del dipolo en su conjunto es paralelo a$\mathbf p$, las dos cargas puntuales no tendrán exactamente la misma aceleración, debido a la contracción de Lorentz de la distancia entre las dos cargas. Los campos de radiación se combinarán como (ignorando la dependencia angular y despreciando la diferencia entre distancias$r_+$y$r_-$):

$$q\frac{A-\epsilon}{r} - q\frac{A+\epsilon}{r} = \frac{-2q\epsilon~~~}{r}$$ donde $\epsilon$es la corrección de la contracción de Lorentz a la aceleración y $r$es la distancia entre el dipolo y el observador. Entonces habrá un campo residual débil que decaerá con la distancia como $1/r$, que es la condición habitual de radiación.

Ya que$\epsilon$es proporcional a$d$, podemos expresar el campo de aceleración en función del momento eléctrico$p$:

$$\frac{-p\alpha~~~}{r}$$ donde $\alpha$es un factor que depende de la velocidad del dipolo y su derivada temporal.

Si la aceleración$\mathbf A$es perpendicular al vector de momento eléctrico$\mathbf p$, no hay contracción de Lorentz.

EDITAR lo siguiente ignora el hecho de que el término del campo de aceleración depende de la velocidad de la partícula que debe evaluarse en diferentes momentos para las dos partículas. Esto probablemente invalida la conclusión. Gracias a Michael Seifert por señalar esto.

... los términos se combinan como (nuevamente, ignorando los ángulos, pero teniendo en cuenta la diferencia entre$r_+$y$r_-$):

$$\frac{qA}{r - \delta} - \frac{qA}{r+\delta} = A\frac{-2q\delta~~~}{r^2-\delta^2}$$ donde $\delta$es la corrección de la distancia debido a la longitud finita del dipolo.

Cuando expandimos esto en series de Taylor en$1/r$, solo hay poderes pares de$1/r$, no hay$1/r$término. Por lo tanto, no hay radiación en este caso.

Sin embargo, el campo residual es proporcional a la aceleración y decae un orden más lento que el campo estático, de manera similar al campo de radiación de la carga acelerada, por lo que la aceleración definitivamente "hace algo".

Ya que$\delta$es la mitad de la proyección del tamaño del dipolo$d$en la línea de observación, podemos expresar el campo de aceleración residual como

$$A\frac{-p f~~~}{r^2-\delta^2}$$ donde $f$es algún factor angular.

Para el caso de dipolo ideal , debemos tomar el límite de estos resultados donde$d\rightarrow 0,q\rightarrow \infty$tiempo$qd = p=\text{const}$. Es fácil ver que ninguno de los dos campos residuales desaparece en este límite; siempre hay un campo proporcional al momento electrico$p$.