Conversión de ECI a LVLH

Un marco LVLH es fácil de construir. Una construcción:

• Dejar$\boldsymbol r$y$\boldsymbol v$indican la posición y la velocidad de la nave espacial con respecto al centro del planeta expresada en un marco inercial.
• Construir$\hat {\boldsymbol x}$como el vector unitario dirigido a lo largo del vector de posición de la nave espacial:
  $\hat {\boldsymbol x} = \boldsymbol r/||\boldsymbol r||$.
• Construir$\hat {\boldsymbol z}$como el vector unitario dirigido a lo largo del vector de momento angular orbital de la nave espacial:
  $\hat {\boldsymbol z} = \boldsymbol r \times \boldsymbol v / ||\boldsymbol r \times \boldsymbol v||$.
• Construir$\hat{\boldsymbol y}$como el vector unitario que completa un sistema de coordenadas diestro:
  $\hat {\boldsymbol y} = \hat {\boldsymbol z} \times \hat{\boldsymbol x}$.

Fíjense muy bien: Esta construcción no es única. Verá algunas referencias que tienen lo que denoté como$\hat{\boldsymbol x}$y$\hat{\boldsymbol z}$negado El orden y los nombres de los ejes también varían de una referencia a otra. Así que tenga cuidado al leer referencias sobre este tema.

Un marco LVLH centrado en la nave espacial es un marco de referencia tanto de aceleración como de rotación. Esto parecería complicar bastante las ecuaciones de movimiento. El truco consiste en linealizar las ecuaciones de movimiento de un objeto (normalmente llamado perseguidor o vehículo de persecución) muy cerca de la nave espacial (normalmente llamada vehículo objetivo). Ignorando la gravedad no esférica, el arrastre, las perturbaciones de otros planetas y suponiendo que vehículo objetivo está en una órbita circular, las ecuaciones linealizadas de movimiento para un perseguidor ubicado en$\boldsymbol r_{\text{rel}} = x\hat{\boldsymbol x} + y\hat{\boldsymbol y} + z\hat{\boldsymbol z}$se convierten en las ecuaciones de Clohessy-Wiltshire (también aquí , derivación aquí ), también conocidas como ecuaciones de Hill,

$$\begin{aligned} \ddot x(t) &= \frac{F_x(t)}{m} + 3\omega^2 x(t) + 2\omega\,\dot y(t) \\ \ddot y(t) &= \frac{F_y(t)}{m} \phantom{3\omega^2 x(t)\ \quad} -2\omega\,\dot x(t) \\ \ddot z(t) &= \frac{F_z(t)}{m} -\phantom{3}\omega^2 z(t) \end{aligned}$$ dónde$\boldsymbol F(t) = F_x(t)\,\hat{\boldsymbol x} + F_y(t)\,\hat{\boldsymbol y} + F_z(t)\,\hat{\boldsymbol z}$es el empuje variable en el tiempo generado por el perseguidor.