¿Son estos dos sistemas cuánticos distinguibles?

Suponga que Stanford Research Systems comienza a vender una fábrica de átomos de dos niveles. Su estudiante de posgrado presiona un botón y, ¡zas!, obtiene un átomo de dos niveles. La mitad de las veces el átomo se produce en el estado fundamental, y la mitad de las veces el átomo se produce en el estado excitado, pero aparte de eso, obtienes exactamente el mismo átomo cada vez.

National Instruments vende una fábrica de átomos de dos niveles de imitación barata que se ve igual, pero no tiene la misma producción. En la máquina NI, si su estudiante de posgrado presiona un botón, obtiene el mismo átomo de dos niveles que produce la máquina SRS, pero el átomo siempre está en una superposición 50/50 de estados fundamental y excitado con una fase relativa aleatoria entre los dos estados

La "fase relativa aleatoria entre los dos estados" de la imitación de NI varía de átomo a átomo y es desconocida para el usuario del dispositivo.

¿Son estas dos máquinas distinguibles? ¿Qué experimento harías para distinguir sus salidas?

Hice esta pregunta porque creo que hay una buena pregunta de seguimiento sobre la indistinguibilidad en QM. Sin embargo, cada vez que trato de formular esta pregunta de seguimiento, sale irremediablemente vaga y con un sonido místico. Seguiré reformulando hasta que consiga algo concreto.
Creo que esta es una gran pregunta y se basa en algunas nociones fundamentales de cómo describimos lo que se puede conocer en QM y cuánta redundancia hay en nuestra descripción.
Veo que marcaste una respuesta aceptada. Encuentro esta pregunta fascinante y me gustaría verla discutida más a fondo. Realmente esperaba que la gente agregara más análisis. Como nadie lo hizo, agregué lo que a primera vista (puede estar mal) parece ser un contraejemplo para, con suerte, al menos generar más discusión.
@Edward Esta pregunta está esencialmente respondida, pero también me gustaría ver esto discutido más a fondo para aclarar por qué no se pueden distinguir aquí dos secciones no superpuestas del espacio de Hilbert. Así que hice una nueva pregunta physics.stackexchange.com/questions/8123/…

Respuestas (7)

Estos sistemas no son distinguibles. La matriz de densidad promedio es la misma, y ​​la distribución de probabilidad obtenida al realizar cualquier medición depende solo de la matriz de densidad promedio.

Para el primer sistema, la matriz de densidad es

1 2 [ ( 1 0 0 0 ) + ( 0 0 0 1 ) ] .

Para el segundo sistema, la matriz de densidad es

1 2 π ∫ θ 1 2 ( 1 mi − i θ mi i θ 1 ) d θ .

Se comprueba fácilmente que estos son los mismos.

Todo se reduce a si la fase es "verdaderamente aleatoria" o no, ¿verdad? Tal vez podría haber alguna sistemática experimental en la imitación barata que aparece en la fase relativa aleatoria. Como @Peter Morgan señala en su respuesta, si la fase tiene un promedio de cero, entonces no es una imitación barata.
Más precisamente, parece que debemos asumir que la "fase aleatoria" se distribuye uniformemente en el conjunto. Porque eso se supone implícitamente en cómo se escribe allí la integral.

Caso 1: 1 2 [ | 0 ⟩ ⟨ 0 | + | 1 ⟩ ⟨ 1 | ] .

Caso 2, promedio sobre fases 0 a 2 π :

∫ [ ( | 0 ⟩ + mi i θ | 1 ⟩ ) ( ⟨ 0 | + mi − i θ ⟨ 1 | ) ] d θ ∫ [ ( ⟨ 0 | + mi − i θ ⟨ 1 | ) ( | 0 ⟩ + mi i θ | 1 ⟩ ) ] d θ .
Los términos cruzados promedian cero porque ∫ 0 2 π mi i θ d θ = 0 , por lo que es la misma matriz de densidad. Si esto es realmente lo que ofrecen los diferentes fabricantes, no es una imitación barata.

Recibí el mensaje "otra respuesta publicada" solo unos segundos antes de terminar. Cuando vi lo similar que era casi no lo publico, pero bueno, la notación es diferente.
interesante, por lo que físicamente son estados equivalentes (hasta donde sabemos) pero descritos matemáticamente en diferentes formas
@lurscher, es exigente, pero creo que casi todo sobre esta pregunta es más Matemática que Física. Un experimentador querría que las hojas de datos del producto nos dijeran qué tipos de átomos se entregan, qué tan cerca del equilibrio térmico están las energías cinéticas, a qué temperatura, qué niveles de energía atómica están presentes, cuáles son las distribuciones de entrega a lo largo del tiempo, mucho más. caracterización de lo que obtendría si trajera los productos. Para mí, si la máquina de NI entrega cesio en lugar de xenón, uno cada segundo en lugar de uno cada milisegundo, o lo que sea, es la física.
@Pedro: ¿lo es? Me suena a ingeniería. Física experimental en el mejor de los casos.
@Marek Tienes razón en que mi respuesta a @lurscher tiene sus problemas. No obstante, es la ambición de cada teoría física ser lo suficientemente precisa, lo suficientemente simple, lo suficientemente tratable, tener suficiente de una multitud de otros méritos que una teoría puede tener y, en fin, lo suficientemente buena como para ser utilizada de forma rutinaria como una herramienta de ingeniería . . No discutamos si la Física mueve al perro o la Ingeniería mueve al perro.
A propósito de los comentarios anteriores, wondermark.com/634

Permítanme dar alguna referencia que podría ser útil para aclarar las cosas.
Es Landau-Lifshitz, libro 5, capítulo 5:

La promediación por medio de la matriz estadística... tiene una doble naturaleza. Comprende tanto la promediación debida a la naturaleza probabilística de la descripción cuántica (incluso cuando sea lo más completa posible) como la promediación estadística necesaria por lo incompleto de nuestra información sobre el objeto considerado... Debe tenerse en cuenta, sin embargo, que que estos constituyentes no pueden separarse; todo el procedimiento de promediación se lleva a cabo como una sola operación, y no puede representarse como el resultado de promediaciones sucesivas, una puramente mecánica cuántica y la otra puramente estadística.

Este "doble promedio" es exactamente la razón por la cual los dos estados no pueden distinguirse de ninguna manera.

Permítanme agregar otra buena cita:

Debe enfatizarse que el promedio de varios ψ estados, que hemos utilizado para ilustrar la transición de una descripción mecánica cuántica completa a una incompleta, sólo tiene un significado muy formal. En particular, sería bastante incorrecto suponer que la descripción mediante la matriz de densidad significa que el subsistema puede estar en varios ψ estados con varias probabilidades y que el promedio está por encima de estas probabilidades. Tal tratamiento estaría en conflicto con los principios básicos de la mecánica cuántica.

EDITAR: Vuelva a leerlo algunas horas más tarde y encontré mi error. Supuse que estaba haciendo algo mal. Estaba aplicando operaciones desordenadas al calcular la probabilidad condicional. Es 1/2 en cada caso. Dejaré el comentario intacto.

Creo que la respuesta es sí, o al menos no estoy del todo convencido de que la respuesta sea no.

Proporcionaré un ejemplo a continuación, pero no lo encuentro muy convincente ya que solo lo abordé ad-hoc, y no tengo un buen principio "general" para sacar de esto. Básicamente, considere esto más como un comentario para iniciar la discusión, que como una respuesta completa.

Las otras respuestas muestran que el valor esperado de medir el sistema para estar en un estado particular es el mismo. Básicamente, la matriz de densidad del conjunto es la misma, pero la matriz de densidad de la primera máquina solo tiene dos salidas posibles, mientras que la segunda tiene un número infinito. Centrarse inmediatamente en la media del conjunto parece descartar cualquier posibilidad que tengamos de distinguirlos.


He aquí un intento de distinguirlos:

Salida posible de la máquina 1, solo estados puros
| 0 ⟩
| 1 ⟩

Máquina 2 salida posible, cualquier estado
1 2 ( | 0 ⟩ + pag | 1 ⟩ )
dónde pag = mi i θ con 0 ≤ θ < 2 π

Ahora tome otro qubit B (aquí no importa físicamente lo que sea) de estado preparado 1 2 ( | 0 ⟩ + | 1 ⟩ ) para obtener los estados del producto:

máquina 1
1 2 ( | 0 ⟩ + | 1 ⟩ ) | 0 ⟩ = 1 2 ( | 00 ⟩ + | 10 ⟩ )
1 2 ( | 0 ⟩ + | 1 ⟩ ) | 1 ⟩ = 1 2 ( | 01 ⟩ + | 11 ⟩ )

máquina 2
1 2 ( | 0 ⟩ + | 1 ⟩ ) ( | 0 ⟩ + pag | 1 ⟩ ) = 1 2 ( | 00 ⟩ + pag | 01 ⟩ + | 10 ⟩ + pag | 11 ⟩ )

Ahora introduzcamos una interacción que puede causar alguna interferencia:
| 00 ⟩ → | 00 ⟩
| 01 ⟩ → 1 2 ( | 01 ⟩ + | 10 ⟩ )
| 10 ⟩ → 1 2 ( | 01 ⟩ − | 10 ⟩ )
| 11 ⟩ → | 11 ⟩

ahora tenemos
la maquina 1
1 2 ( | 00 ⟩ + | 10 ⟩ ) → 1 2 | 00 ⟩ + 1 2 ( | 01 ⟩ − | 10 ⟩ )
1 2 ( | 01 ⟩ + | 11 ⟩ ) → 1 2 | 11 ⟩ + 1 2 ( | 01 ⟩ + | 10 ⟩ )
máquina 2
1 2 ( | 00 ⟩ + pag | 01 ⟩ + | 10 ⟩ + pag | 11 ⟩ ) → 1 2 ( | 00 ⟩ + pag 1 2 ( | 01 ⟩ + | 10 ⟩ ) + 1 2 ( | 01 ⟩ − | 10 ⟩ ) + pag | 11 ⟩ )
      = 1 2 ( | 00 ⟩ + ( pag + 1 ) 1 2 | 01 ⟩ + ( pag − 1 ) 1 2 | 10 ⟩ + pag | 11 ⟩ )

Ahora vamos a hacer dos mediciones. Primero mida el estado de B para que sea 0 o 1, luego mida el estado del átomo para que sea 0 o 1.

Probabilidad condicional sobre el conjunto:
Dado que encontramos B en el estado 1, ¿cuál es la probabilidad de encontrar el átomo en el estado 0?
máquina 1
(1/2) x 1 + (1/2) x (1/3) = 4/6

máquina 2
1 2 ( pag − 1 ) 2 1 2 ( pag − 1 ) 2 + pag 2 = 1 2 ( 2 − 2 porque ⁡ θ ) 1 2 ( 2 − 2 porque ⁡ θ ) + 1 = 1 − porque ⁡ θ 2 − porque ⁡ θ

Ahora promediando sobre θ
PAG r o b = 1 2 π ∫ 0 2 π 1 − porque ⁡ θ 2 − porque ⁡ θ d θ = 1 − 1 3


Ahora, es muy posible que haya cometido un error aquí. Pero mi punto principal es que las otras respuestas parecen estar desechando la información útil para obtener únicamente un promedio de los estados de salida iniciales. Tal como están las respuestas ahora, no me convencen matemáticamente de que nunca podamos obtener un efecto al agregar interacciones y múltiples medidas con probabilidad condicional o tal vez medidas 'débiles', ya que individualmente los estados tienen matrices de densidad muy diferentes. Con suerte, no cometí un error arriba, pero incluso si lo hice, me gustaría mucho escuchar más en las otras respuestas más allá de lo que está escrito actualmente. Esta es una pregunta fascinante, así que estoy muy interesado en discutir esto más a fondo.

+1 si corrige la respuesta para que sea correcta, en lugar de agregar un aviso de edición.
¡Interesante! Leeré detenidamente.
Hmm... parece ser que el problema es que tenía un conjunto de estados de forma | 0 ⟩ + mi i θ | 1 ⟩ con distribución uniforme en theta. Lo que parece querer es interactuar con los sistemas y luego pedir declaraciones condicionales (o rastrear los otros sistemas si al final no nos importan) para obtener | 0 ⟩ + mi i θ | 1 ⟩ → | 0 ⟩ + mi i ψ | 1 ⟩ tal que el conjunto tiene una distribución no uniforme en ψ . La pregunta es entonces, ¿podemos probar que esto es imposible?
+1 Por hacerme pensar. También aprecio a alguien que puede darse cuenta de su propio error Y admitirlo.

Las matrices de densidad en ambos casos son idénticas. Si la mecánica cuántica es exactamente lineal, ambos estados deberían ser indistinguibles. Pero si hay algunas ligeras no linealidades en la evolución del tiempo, deberíamos ser capaces de distinguirlas en principio. Pero hay que darse cuenta de que las no linealidades en la mecánica cuántica conducen a todo tipo de problemas, razón por la cual la mayoría de la gente asume que la mecánica cuántica es exactamente lineal.

Tal vez la máquina descrita aquí se pueda construir. Permítanme proponer un matraz calentado que contiene una mezcla 50-50 de carbono-14 monoatómico gaseoso y nitrógeno-14. Cuando presionas un botón, se abre un agujero de alfiler y permite que escape exactamente un átomo. ¿Es: un átomo de carbono o un átomo de nitrógeno, con un 50% de probabilidad, o es un átomo en una superposición 50-50 de los estados de carbono/nitrógeno?

EDITAR: Hagamos esto un poco diferente. Preparemos una botella de carbono-14 monotómico gaseoso puro y luego esperemos 7000 años. Ahora dejemos salir un átomo de la botella. ¿Es un átomo de carbono, un átomo de nitrógeno o una superposición 50-50 de ambos?

El peso de la opinión de los expertos en las respuestas publicadas hasta ahora parece indicar que estas dos descripciones son experimentalmente indistinguibles. Sospecho que esto es correcto, aunque es una conclusión divertida que va en contra de la creencia de sentido común de que un átomo es carbono o nitrógeno, pero no ambos. Sin embargo, creo que deben tenerse en cuenta dos estipulaciones:

  1. No veo ninguna razón por la que un átomo dado no deba aparecer en una superposición 80/20, siempre que el promedio a largo plazo sea 50/50.

  2. No creo que la máquina sea realmente construible porque no creo que haya un mecanismo que pueda producir de manera confiable exactamente un átomo a la vez. Nunca sabes exactamente cuántos átomos has dejado salir, y eso introduce suficiente incertidumbre en la medición para evitar cualquiera de las evidentes contradicciones que parecen estar presentes.

EDITAR: cuando Andrew publicó esta pregunta, prometió una pregunta de seguimiento. Han pasado seis meses y no he visto el seguimiento. Así que esto es lo que creo que sería el seguimiento:

Suponga que tiene un gas en equilibrio. Según la termodinámica, la probabilidad de que un átomo se encuentre en un estado dado viene dada por una función exponencial de la energía. Entonces, según Copenhague, tenemos átomos en diferentes estados propios de energía que hacen transiciones aleatorias de un estado a otro, emitiendo o absorbiendo fotones cuando hacen transiciones. Pregunta: ¿Hay alguna manera de distinguir experimentalmente este modelo de un modelo alternativo en el que todos los átomos se encuentran en superposiciones de estados continuamente variables, radiando o absorbiendo continuamente a medida que la distribución de carga de esas superposiciones oscila como antenas diminutas?

Si Andrew está por ahí, me pregunto si esta fue su pregunta de seguimiento.

Esta es una pregunta filosófica tan agradable con una resolución tan clara que no puedo resistir dejar un comentario. Las matrices de densidad reducida del átomo son las mismas para Stanford y National, pero la mecánica cuántica es irreductiblemente holística. La función de onda describe todo el universo. Si el átomo fue preparado por Stanford, se entrelazará con las huellas del registro ambiental en Stanford de una manera particular, pero si se preparó en National, se entrelazará con las huellas en National de una manera diferente pero aún específica. Holísticamente, de hecho hay una diferencia. Suponer que el átomo puede considerarse aislado del resto del mundo es una gran falacia en la mecánica cuántica.

¿Son estos dos sistemas cuánticos distinguibles?
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