Vínculo entre la entropía del agujero negro de Hawking-Bekenstein y la entropía del entrelazamiento

Actualmente estoy haciendo un proyecto sobre los agujeros negros de Ads-Schwarzschild de dos caras en el contexto de Ads/CFT. Quiero mostrar que la entropía de entrelazamiento entre las dos CFT corresponde aproximadamente a la entropía del agujero negro de Hawking-Bekenstein.

Entropía de Hawking-Bekenstein

Hagamos esto para el caso 3D (también conocido como el agujero negro BTZ) para mantenerlo simple. La métrica del agujero negro BTZ es

d s 2 = − F ( r ) d t 2 + F ( r ) − 1 d r 2 + r 2 d ϕ 2
con F ( r ) = k 2 ( r 2 − m 2 ) y m 2 = 8 GRAMO norte METRO k 2 . En este caso, el área del horizonte está dada por
A h = 2 π r h = 2 π 2 2 GRAMO norte METRO k
Y la entropía del agujero negro es S b h = A h 4 GRAMO . La temperatura del agujero negro está dada por k 2 π con k la gravedad superficial. si calculas k (lo que implica calcular los símbolos de Christoffel) y luego sustituirlo en T h , tu encuentras S b h = 2 METRO / T (dónde METRO es la masa del agujero negro.)

Entropía de entrelazamiento

En el lado de CFT, dicho agujero negro corresponde a un estado térmico de los dos CFT:

∣ ψ ( t ) ⟩ = 1 Z ∑ norte mi − β mi norte / 2 mi − 2 i mi norte t ∣ norte ⟩ 1 ⊗ ∣ norte ⟩ 2
dónde Z = ∑ norte mi − β mi norte / 2 . Después de trazar uno de los CFT encontramos una matriz de densidad reducida
ρ 1 = Tr 2 ∣ ψ ( t ) ⟩ ⟨ ψ ( t ) ∣= 1 Z ∑ norte mi − β mi norte ∣ norte ⟩ ⟨ norte ∣ .
A partir de esto podemos calcular la entropía de entrelazamiento entre los dos CFT:
S mi norte t = − Tr ( ρ 1 Iniciar sesión ⁡ ρ 1 ) = 1 Z ∑ norte mi − β mi norte ( β mi norte + Iniciar sesión ⁡ Z ) .

Uniendo los dos

Según tengo entendido, uno debería poder encontrar que estas dos entropías son aproximadamente iguales, pero realmente no veo cómo obtener esto. ¿Alguien puede indicar cómo debo hacer esto?

editar: creo que el vínculo entre los dos se basa en las propiedades del CFT de super-Yang-Mill que debe conectarse para obtener el mi norte . Esto puede estar un poco fuera de mi alcance ya que todavía no tengo experiencia en CFT.

Tal vez puedas encontrar algo aquí: relativity.livingreviews.org/Articles/lrr-2011-8

Respuestas (1)

Tiene razón: su problema radica en la falta de conocimiento del lado CFT. Esto es bastante complicado, así que solo podré darte pistas y referencias. ¡Una respuesta completa fácilmente llenaría 50 páginas!

estamos mirando ( 2 + 1 ) gravedad dimensional dual a un ( 1 + 1 ) CFT dimensional. Nuestro problema ahora es calcular la entropía de entrelazamiento en la CFT apropiada. Tenga en cuenta que esta no es realmente una teoría de "super-Yang-Mills". De hecho, no tenemos que estar exactamente seguros de la teoría en absoluto, porque resulta que la simetría conforme nos dice lo suficiente para determinar la entropía hasta algún factor.

El siguiente paso es acudir a la literatura, más precisamente a este artículo de Cardy y Calabrese. Calculan la entropía de entrelazamiento asociada a un área definida A del 1 + 1 espacio-tiempo dimensional en el que vive la teoría. Más precisamente, calculan una medida de enredo entre todo lo que vive dentro A y todo lo que vive fuera A .

Proceden usando el truco de la réplica ( buena revisión aquí ) en un QFT de celosía que dice que

S A = − Tr ( ρ A Iniciar sesión ⁡ ρ A ) = − límite norte → 1 ∂ ∂ norte Tr ρ A norte

donde la matriz de densidad ρ A está dada más o menos por su fórmula para ρ 1 en la pregunta

¿Por qué esto ayuda? Bueno, elimina la expresión complicada dentro de la Tr y lo reemplaza por uno que se puede calcular más fácilmente. De hecho, se puede calcular simplemente a partir de la simetría conforme utilizando una interpretación de superficie de Riemann. Reduciendo a la ecuación ( dieciséis ) en el documento anterior le dará la esencia.

Después de todo ese arduo trabajo, la respuesta resulta ser

S A = C Iniciar sesión ⁡ ( yo / a )

dónde C es el cargo central de la CFT, yo es el diámetro de nuestra región A , y a es el espaciado de la red.

A primera vista, ¡difícilmente se parece a la fórmula de Bekenstein-Hawking! De hecho, hay una buena razón para esto. El resultado de Bekenstein-Hawking es efectivamente semiclásico, por lo que la entropía de entrelazamiento es completamente cuántica. Así que deberíamos esperar obtener S B H como el primer término en una expansión de S A quizás.

En realidad, darse cuenta de esto es un ejercicio algo técnico para hacer coincidir los parámetros en cada lado de la correspondencia AdS/CFT. Para obtener más información, deberá sumergirse en este artículo de Cadoni y Mellis. La expansión de la que hablé es ecuación ( 41 ) .

La mejor de las suertes con su proyecto. ¿Supongo que es una disertación de maestría? Este tema puede ser bastante desalentador al principio, pero hay muchas matemáticas y física interesantes. Y realmente no importa si no entiendes todo, ¡nadie lo hace!

¡Gracias por la respuesta! No era para mi tesis de maestría sino para un proyecto más pequeño, por lo que esta fue una apuesta más allá del alcance de la misma.
Creo que el resultado de Cardy y Calabrese que se muestra arriba es la 'ley de área' en un sistema dimensional, S_BH está en 2 dimensiones. Entonces son diferentes. Si calcula la ley del área en 2 dimensiones, entonces es S_BH (el término principal) como se explica por la entropía de entrelazamiento holográfico.
Esta respuesta es ridículamente buena.
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