Velocidad terminal y distancia recorrida con potencia constante pero limitada

Si aplicamos una fuerza$F$a una masa$m$y una fuerza de fricción (arrastre)$F_d$también actúa sobre él el diagrama de fuerzas se convierte en:

Con$a$la aceleración que experimenta el objeto, la ecuación de movimiento se convierte en:

$F=ma+F_d$.

A medida que la masa se mueve hacia la derecha, digamos por una distancia infinitesimal$dx$, una cantidad infinitesimal de trabajo$dW$se realiza en$m$por$F$:

$dW=(ma+F_d)dx$.

Si dividimos ambos lados con$dt$entonces$\frac{dW}{dt}=P$con$P$la potencia, constante en este caso. Entonces tenemos:

$P=\frac{dW}{dt}=(ma+F_d)\frac{dx}{dt}$y por definición$\frac{dx}{dt}=v$, entonces:

$P=(ma+F_d)v$.

Ahora la pregunta es, ¿qué es$F_d$?

Sabemos que en general$F_d \propto v^n$, dónde$v$es la velocidad y$n$es algún exponente. Por ejemplo, en el caso de arrastre de Navier Stokes (arrastre viscoso de un fluido sobre un objeto esférico),$n=1$.

Para el caso de la resistencia del aire el exponente$n=2$generalmente se supone.

Sin embargo, exploremos el caso de$n=1$, de modo que$F_d=kv$, con$k$una constante de proporcionalidad, por lo que obtenemos:

$P=(ma+kv)v$.

Con$a=\frac{dv}{dt}$, obtenemos:

$P=mv\frac{dv}{dt}+kv^2$, una ecuación diferencial que se puede separar por variables para producir:

$m \frac{v}{P-kv^2}dv=dt$.

Esto se puede integrar entre$t=0, v=0$y$t, v$y rendimientos después del reprocesado:

$\Large{v=\sqrt{\frac{P}{k}(1-e^{-\frac{2kt}{m}})}}$.

Para$t \to +\infty$el término exponencial$e^{-\frac{2kt}{m}} \to 0$, de modo que la velocidad terminal$v_t$se logra para$t = +\infty$y viene dada por:

$\large{v_t=\sqrt{\frac{P}{k}}}$.

Como la velocidad terminal sólo se alcanza para$t = \infty$, se logrará también solo para$x = \infty$.

La forma general de la$(v,t)$función es la siguiente, con$v_t$siendo alcanzada solo asintóticamente:

Esta puede no ser la respuesta definitiva ya que no conozco las relaciones cuantitativas entre las variables. Pero puedo decir lo siguiente:

La velocidad última está determinada por la potencia ($P$) del coche (u otros objetos, usemos coche por ejemplo) y la fricción ($\mathbf{f}$). Ahora eso

$$P=\mathbf{v}\cdot \mathbf{f}$$ Significa que toda la potencia del automóvil se utiliza para vencer la fricción para moverse a una velocidad constante. Una vez que conoces los dos parámetros, puedes obtener la velocidad $\mathbf{v}$fácilmente.

La aceleración se puede calcular a partir de la función de$\mathbf{f}$con el tiempo y la masa del coche ($m$) por

$$\mathbf{a}(t)=\left(\frac{P}{v}\mathbf{e}_v-\mathbf{f}\right)/m,$$ donde debes saber cómo se relaciona la fricción con la velocidad y la posición. $\mathbf{e}_v$es el vector director de la velocidad $\mathbf{v}$en el momento $t$.

La posición del automóvil es solo una integral de tiempo de la velocidad, y la velocidad es solo la integral de tiempo de la aceleración. Puede calcularlos fácilmente si conoce el resto de las relaciones, especialmente cómo se relaciona la fricción con la velocidad, etc. Puede obtener un conjunto de ecuaciones para resolver completamente el problema.

Aquí hay algunos casos simples aplicados de ¿Cómo obtener distancia cuando la aceleración no es constante?

1. Poder constante$P$, fricción constante$F$ $$\begin{align} a(v) & = \frac{P}{m v} - \frac{F}{m} = \frac{P}{m} \left( \frac{1}{v} - \frac{1}{v_{final}}\right) \\ v_{final} &= \frac{P}{F} \\ t = \int \limits_{v_1}^v \frac{1}{a(v)}\,{\rm d}v &= \frac{m v_{final}^2}{P} \ln \left( \frac{v_1-v_{final}}{v-v_{final}} \right) - \frac{m v_{final}(v-v_1)}{P} \end{align}$$
2. Poder constante$P$, fricción lineal$F=\alpha v$ $$\begin{align} a(v) & = \frac{P}{m v} - \frac{\alpha v}{m} = \frac{P}{m} \left( \frac{1}{v} - \frac{v}{v_{final}^2} \right) \\ v_{final} & = \sqrt{\frac{P}{\alpha}} \\ t = \int \limits_{v_1}^v \frac{1}{a(v)}\,{\rm d}v & = \frac{m v_{final}^2}{2 P} \ln \left( \frac{v_1^2-v_{final}^2}{v^2-v_{final}^2} \right) \end{align}$$
3. Poder constante$P$, La resistencia del aire$F=\beta v^2$ $$\begin{aligned} a(v) & = \frac{P}{m v} - \frac{\beta v^2}{m} = \frac{P}{m} \left( \frac{1}{v} - \frac{v^2}{v_{final}^3} \right) \\ v_{final} &= \sqrt[3]{\frac{P}{\beta}} \\ x = \int \limits_{v_1}^v \frac{v}{a(v)}\,{\rm d}v & = \frac{m v_{final}^3}{3 P} \ln \left( \frac{v_{final}^3-v_1^3}{v_{final}^3-v^3} \right) \end{aligned}$$

El perfil de velocidad es demasiado complejo para incluir el último caso en esta respuesta. Le invitamos a utilizar Wolfram Alpha para resolver las integrales usted mismo.